安徽 唐錄義

策略性失誤是指解題方向上的偏差或方法策略上的笨拙，造成思路受阻，或?qū)е陆忸}難度增大，致使出錯的概率增大或潛在失分.

一、未切中問題本質(zhì)

要解決一個數(shù)學(xué)問題,關(guān)鍵在于能否把這個數(shù)學(xué)問題“看破”，即把握解決問題的核心與關(guān)鍵,揭示問題的本質(zhì).在解題過程中,如何有效地揭示一個問題的本質(zhì)，讓學(xué)生真正了解知識的來龍去脈,回到問題起點，則需要從問題所涉及的基本概念、性質(zhì)與思想方法出發(fā),分析思考問題,并由此來把握解決問題的關(guān)鍵,揭示問題的本質(zhì),以達(dá)到較快解決問題的效果.

案例1(2015·四川卷理·19)如圖，A，B，C，D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.

【考點涉及】二倍角公式，誘導(dǎo)公式，余弦定理，簡單的三角恒等變換．

化簡后則進(jìn)行不下去.

【錯點查找】(請仔細(xì)閱讀上面的“錯解呈現(xiàn)”，并將其中錯誤之處勾畫出來)(1)數(shù)學(xué)的某些題的解題思路來得簡單，但不一定能夠運(yùn)算下去，不具有可行性.(2)不能根據(jù)所給邊長和角A角C的互補(bǔ)關(guān)系，構(gòu)造三角形，由余弦定理建立等式求出A角B角的正弦值.

【出錯歸因】由待證結(jié)構(gòu)式發(fā)現(xiàn)，需要用倍角的正余弦表示半角的正切，很容易想到升冪公式，但停留在聯(lián)立這一步，使得運(yùn)算量很大，無法進(jìn)行下去；不能將四邊形轉(zhuǎn)化成三角形處理，這是心理性失誤,理解不透，忽略隱含條件，不能利用角A角C的互補(bǔ)關(guān)系建立等式，這是策略性失誤,未著眼問題本質(zhì)，陷入求解困境.

連接BD，在△ABD中，

有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA，

在△BCD中，

有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC，

因為A+C=180°,

所以AB2+AD2-2AB·ADcosA=BC2+CD2+2BC·CDcosA，

連接AC，同理可得

【反思總結(jié)】本題的錯解,展示了數(shù)學(xué)解題的一種現(xiàn)象：思路來得很常規(guī)，理論分析也沒問題，但不一定有運(yùn)算結(jié)果.因此，數(shù)學(xué)思考必須要嚴(yán)謹(jǐn)，注重可行性，想到了升冪公式，若再進(jìn)一步思考升冪降冪公式特征，不難想到倍角表示單角必須在冪上是單角的二次冪，所以要升冪，再化簡，問題就迎刃而解.高考中經(jīng)常將三角恒等變換與解三角形知識綜合起來命題，本題第(Ⅰ)題的證明為第(Ⅱ)題的化簡提供了保證.恒等式證明與代數(shù)式證明一樣，主要證明方法有從左到右或從右到左；左右歸一或變更命題.選擇哪一種證法的依據(jù)是“化繁為簡”.觀察函數(shù)名和角，想到切化弦和升冪公式，得證.第(Ⅱ)題利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將四邊形變成三角形，根據(jù)正余弦定理啟用兩角互補(bǔ)關(guān)系和一組公共邊，建立兩個方程，解決兩個未知數(shù).本題很好的考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力.

二、解題角度不當(dāng)

找到一個恰當(dāng)?shù)慕忸}角度，知識就會為你打開一扇通向解題成功的大門，反之，解題角度不當(dāng)，就會增大難度，甚至根本就找不到解題的方法.

(Ⅰ)討論a=1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)性和極值；

【考點涉及】函數(shù)單調(diào)性的判斷，不等式，極值的判斷.

【出錯歸因】策略性失誤：解題角度不當(dāng)，增大求解難度.

【反思總結(jié)】構(gòu)造函數(shù)是解導(dǎo)數(shù)問題的基本方法，也是高考中的熱點問題，如何合理的構(gòu)造函數(shù)，不僅是教學(xué)的難點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點和困惑.構(gòu)造合理，就會使證明過程簡潔而又準(zhǔn)確.但數(shù)學(xué)問題是千變?nèi)f化，解題方法也是多種多樣，善于構(gòu)造，但不能局限于構(gòu)造，才是我們解決導(dǎo)數(shù)這類問題的根本之道.

三、解題方法不當(dāng)

一個數(shù)學(xué)問題的求解可采用的策略可能有多種,但好的策略不僅可以使問題的求解過程簡潔明快,而且決定著問題的最終正確解決．差的方法策略會產(chǎn)生曲折的思維回路,舍簡求繁，方向不準(zhǔn)，誤入歧途，從而使問題求解受阻,或增大求解的難度與長度,即使解出來了也因費時費力而產(chǎn)生潛在失分.

案例3已知{an}是遞增數(shù)列，且對任意n∈N*都有an=n2+λn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是

( )

A.[0，+∞) B.(1，+∞)

C.[-2，+∞) D.(-3，+∞)

【考點涉及】數(shù)列的單調(diào)性，恒成立問題.

【出錯歸因】方向不準(zhǔn)，判斷數(shù)列單調(diào)性的方法不當(dāng).

【正解參考】因為{an}是遞增數(shù)列，所以an0對任意n∈N*恒成立，可得λ>-2n-1對任意n∈N*恒成立，又-2n-1≤-3所以λ>-3.故正確答案選D.

【反思總結(jié)】數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.如果數(shù)列{xn}滿足xnxn+1，n=1,2,3，…，則稱數(shù)列{xn}為單調(diào)遞減數(shù)列.主要判定方法有：比較法、函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等.

四、模型選擇不當(dāng)

數(shù)學(xué)模型是一種模擬，是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、程序、圖形等對實際問題本質(zhì)屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現(xiàn)象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略.數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現(xiàn)實問題進(jìn)行深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識.這種應(yīng)用知識從實際問題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模．如果模型選擇不當(dāng)，得出的結(jié)果可能與實際相差甚遠(yuǎn)，使預(yù)測失真，會導(dǎo)致決策失誤．

案例4(2015·全國卷Ⅰ·文19理19)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

x y w∑8i=1(xi- x)2∑8i=1(wi- w)246.65636.8289.81.6∑8i=1(xi-x)(yi-y)∑8i=1(wi-w)(yi-y)1 469108.8

(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.

(Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果回答下列問題:

(ⅰ)年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?

(ⅱ)年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?

附:對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為

【考點涉及】散點圖，線性回歸，非線性回歸，回歸分析.

【錯解呈現(xiàn)】(Ⅰ)由散點圖可以判斷，y=a+bx適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.

(Ⅱ)建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于

【錯點查找】(請仔細(xì)閱讀上面的“錯解呈現(xiàn)”，并將其中錯誤之處勾畫出來)顯然，由散點圖可知y關(guān)于x的函數(shù)圖象更可能是拋物線，y=a+bx不適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型.

【出錯歸因】模型選擇不當(dāng)，觀察能力不足.

(ⅱ)根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值

故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大.

【反思總結(jié)】本題考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，將非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題,題目給出線性回歸方程系數(shù)公式以及有關(guān)數(shù)據(jù).根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測預(yù)報，并利用二次函數(shù)求最值，體現(xiàn)了函數(shù)思想的運(yùn)用.