安徽 高 鑫

在求解輕繩、輕桿兩端關(guān)聯(lián)速度時(shí)，常利用沿著輕繩、輕桿方向速度相等的關(guān)系來建立方程。在一些問題中也利用到類似的方法，如被輕繩連接的兩物體的加速度大小也是相等的，也據(jù)此列方程求解。仔細(xì)回想不難發(fā)現(xiàn)，后者必定是兩物體的合加速度就是沿著輕繩方向的，而不需要進(jìn)行類似速度那樣進(jìn)行分解的，這些題目編寫時(shí)為什么不約而同的刻意避開分解加速度的問題呢？筆者將結(jié)合物理競賽教學(xué)，揭開其中的謎底。

一、加速度沿繩、桿的分量的關(guān)系

物體相關(guān)速度的特征可分為三類：

1.桿或繩約束物系各點(diǎn)速度的相關(guān)特征：在同一時(shí)刻必具有沿桿、繩方向的相同的分速度。

2.接觸物系接觸點(diǎn)速度的相關(guān)特征：沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)相同。

3.線狀相交物系交叉點(diǎn)的速度：相交雙方沿對(duì)方切向運(yùn)動(dòng)分速度的矢量和。

高中階段要求熟練掌握應(yīng)用的是第一種，先通過例題來說明關(guān)聯(lián)速度在高中課程中的求解方法。

【例題1】如圖1所示，一汽車用輕繩經(jīng)定滑輪拉船靠岸，不計(jì)滑輪大小和質(zhì)量，滑輪距水面的高度h，若繩與水面夾角為θ時(shí)，車向左的速度為v0，加速度為a0(均未必是常量)，試求此時(shí)船的速度v和加速度a。

圖1 圖2 圖3

1．船的速度求解

【方法一】速度分解法：

如圖2有v平行=vcosθ=v0

【方法二】微元法：

如圖3，作圖得AC=AD，因∠CAD非常小，故可認(rèn)為CD垂直于AB，則在△BCD中有BD=BCcosθ，即

2.加速度的求解

對(duì)比兩解發(fā)現(xiàn)，正解比錯(cuò)解多了一項(xiàng)，接下來討論該項(xiàng)的意義：

小船加速度沿繩方向的分量為a平行=acosθ

3.多出項(xiàng)的含義

圖4

由前面的計(jì)算可知，v船對(duì)繩=v繩對(duì)地tanθ

所以船相對(duì)繩末端的向心加速度等于

可見，輕繩、輕桿在非平動(dòng)的運(yùn)動(dòng)中，兩端點(diǎn)的速度沿繩、桿方向的分量是相等的，而兩端點(diǎn)的加速度沿繩、桿的分量是不相等的，兩者之差為一個(gè)端點(diǎn)相對(duì)于另一個(gè)端點(diǎn)的向心加速度。

4.舉例應(yīng)用說明

圖5

【例題2】如圖5所示，物塊A穿過光滑的豎直桿，物塊B放在水平地面上，兩物塊通過鉸鏈和輕桿連接起來，輕桿長度為L，如圖輕桿和水平面的夾角為θ，物塊A正在下滑，速度和加速度分別是v0和a0，求此時(shí)刻物塊B的速度和加速分別是多少？

【分析】速度關(guān)系如圖6所示、A、B兩物體沿著輕桿的速度分別是

vA平行=v0sinθ，vB平行=vcosθ

可得B的速度為v=v0tanθ

圖6 圖7

加速度的分解如圖7所示，可得到兩物體沿著輕桿方向的加速度分別是aA平行=a0sinθ，aB平行=acosθ

圖8

平行于輕桿方向的加速度的相互關(guān)系是

可見不能錯(cuò)誤地類比速度的計(jì)算方法，錯(cuò)誤地得到B的加速度a=a0tanθ。

二、高考范圍內(nèi)的關(guān)聯(lián)加速度關(guān)系

在高中階段，有很多的練習(xí)題中都是兩個(gè)物體的加速度是相等的，接下來用剛才的討論來進(jìn)行說明。

1．典型例題

圖9

由于m1和m2的速度都是沿著輕繩方向，速度必然相等。又因?yàn)閙2的速度一直沿輕繩豎直向下，所以相對(duì)于輕繩滑輪處沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，不存在由相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而引起的向心加速度。

圖10

因此m1和m2沿著輕繩方向的加速度也是相等的，m1和m2的實(shí)際加速度就是沿著輕繩方向，所以m1和m2的加速度是相等的，第一次都是a，第二次都是a′。

第一次m2g-FT=m2a，F(xiàn)T-m1gsinθ=m1a，得

2．小結(jié)