湖北 廖慶偉

數(shù)學(xué)是一種文化，它是人類文明的重要組成部分.本文以數(shù)列知識(shí)為依托，幫助同學(xué)們理解數(shù)學(xué)文明的文化價(jià)值，欣賞數(shù)學(xué)智慧之美.

一、求首項(xiàng)

( )

A.{1,4} B.{2,3,4}

C.{4,5,32} D.{4,5,32,64}

即m=4.

②若a1=m為奇數(shù)，則a2=3a1+1=3m+1為偶數(shù)，

所以m取值的集合為{4,5,32}，故選C.

二、求公差

例2.(2017·江西上饒一模)《張丘建算經(jīng)》卷上第 22題為：“今有女善織，日益功疾(注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布)，第1天織6尺布，現(xiàn)一月(按30天計(jì))共織540尺布”，則從第2天起每天比前一天多織布

( )

【解析】依題意每天織布尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為{an}，公差為d，

【點(diǎn)評(píng)】《九章算術(shù)》教會(huì)了人們用等差數(shù)列的知識(shí)來解決問題.本題需要構(gòu)造等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的求和公式求解.

三、求公比

所以AB=AC=a1=2，

【點(diǎn)評(píng)】本題以等腰直角三角形為載體，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)能感受數(shù)學(xué)圖形之美．

四、求通項(xiàng)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，

所以f(x)=a(x-1)(x-2)=a(x2-3x+2)，

所以an+1=2an，

即數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且通項(xiàng)公式為an=2n.

五、求項(xiàng)數(shù)

例5.(2017·欽州二模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤．?dāng)啬┮怀?，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長(zhǎng)5尺，一頭粗，一頭細(xì)．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為M，現(xiàn)將該金杖截成長(zhǎng)度相等的10段，記第i段的重量為ai(i=1，2，…，10)，且a1

【解析】由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為{an}，設(shè)公差為d，

即39+6i=75，解得i=6．

【點(diǎn)評(píng)】由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列.注意等差數(shù)列的重要性質(zhì)：若m+n=s+t，則am+an=as+at．下標(biāo)的特點(diǎn)往往是數(shù)列問題求解的切入點(diǎn).

六、求和

例6.(2017·全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈

( )

A．1盞 B．3盞

C．5盞 D．9盞

【點(diǎn)評(píng)】用已知信息，合理建立數(shù)學(xué)模型——數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型，是求解的關(guān)鍵.要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題還是最值問題．

例7.(2017·荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)．?dāng)?shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱為神奇數(shù)．具體數(shù)列為：1,1,2,3,5,8，…，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和．已知數(shù)列{an}為“斐波那契”數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則(1)S7=________；(2)若a2017=m，則S2015=________．(用m表示)

【解析】(1)由已知得S7=1+1+2+3+5+8+13=33.

(2)因?yàn)镾n+2-Sn=an+2+an+1=an+3，

所以S2015-S2013=a2016，

S2013-S2011=a2014，

……，

S3-S1=a4,

累加得S2015-S1=a2016+a2014+a2012+…+a6+a4，

因?yàn)閍2017=a2016+a2015=a2016+a2014+a2013=a2016+a2014+a2012+a2011+…+a4+a3=S2015-S1+a3，

所以S2015=a2017+S1-a3=m+1-2=m-1.

【點(diǎn)評(píng)】斐波那契數(shù)列的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

例8.如圖，在楊輝三角中，斜線l的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前n項(xiàng)和為Sn，則S21=

( )

A．229 B．283

C．361 D．374

【解析】根據(jù)圖中鋸齒形數(shù)列的排列，

發(fā)現(xiàn)a1=1，

a3=3=1+2，

a5=6=1+2+3，

a21=1+2+3+…+11，

而a2=3，

a4=4，

a6=5，

……，

a20=12，

所以前21項(xiàng)的和

【點(diǎn)評(píng)】本題以楊輝三角為例，由圖中鋸齒形數(shù)列排列，其規(guī)律是：奇數(shù)項(xiàng)的第n項(xiàng)可以表示成正整數(shù)的前n項(xiàng)和的形式，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．

七、求最值

例9.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，該女子所需的天數(shù)至少為______ .

【點(diǎn)評(píng)】本題實(shí)質(zhì)上是等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．

例10.(2017·全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ理)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是

( )

A．440 B．330

C．220 D．110

【解析】設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來兩項(xiàng)為第2組，再接下來三項(xiàng)為第3組，依此類推．

即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14)，k=log2(n+3)，所以n的最小值為n=29，k=5，

【點(diǎn)評(píng)】本題非常巧妙地將實(shí)際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含意，以及觀察所給數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個(gè)數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.