福建 湯小梅

有關(guān)概率與其他知識(shí)相交匯的考題，能體現(xiàn)“返璞歸真，支持課改；突破定勢(shì)，考查真功”的命題理念，越來(lái)越受到高考命題者的青睞，但有些考生對(duì)此類概率的交匯題卻無(wú)從入手，為了揭示此類題的命題方向與求解策略，讓考生視之似云卷云舒，現(xiàn)聚焦2017年高考題與各省市模擬題，介紹六種概率的交匯題，供考生借鑒．

1.概率與不等式“相見(jiàn)”

【例1】(2017·安徽省江南十校高三聯(lián)考)質(zhì)地均勻的正四面體表面分別印有0,1,2,3四個(gè)數(shù)字，某同學(xué)隨機(jī)的拋擲正四面體2次，若正四面體與地面重合的表面數(shù)字分別記為m,n，且兩次結(jié)果相互獨(dú)立，互不影響.記m2+n2≤4為事件M，則事件M發(fā)生的概率為_(kāi)_______.

【點(diǎn)撥】用數(shù)對(duì)(x,y)表示兩次的點(diǎn)數(shù)，寫出樣本空間所含的基本事件數(shù)，再求出事件M發(fā)生所含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式，即可得事件M發(fā)生的概率．

2.概率與函數(shù)“相約”

【極速突擊】本題是概率與函數(shù)相交匯的常規(guī)命制試題，門檻低，入手容易．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：一是會(huì)求函數(shù)的定義域，會(huì)解一元二次不等式；二是利用公式，即會(huì)利用幾何概型的概率計(jì)算公式．

3.概率與平面幾何“相會(huì)”

【例3】(2017·全國(guó)卷Ⅰ理·2)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

( )

【點(diǎn)撥】利用圖象的對(duì)稱性，得黑色部分的面積，再利用幾何概型的概率公式，即可得結(jié)果．

【極速突擊】本題是以數(shù)學(xué)文化為背景的概率、平面幾何相交匯的試題，具有“觀圖讀信息”的顯著特點(diǎn)．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵：一是觀圖，即會(huì)觀察所給的圖形特征，判斷其對(duì)稱性；二是利用公式，即會(huì)利用幾何概型的概率公式計(jì)算．

4.概率與統(tǒng)計(jì)“牽手”

【例4】(2017·寧德一中月考)某校某班的一?？荚嚁?shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,可見(jiàn)部分如下:

試根據(jù)圖表中的信息解答下列問(wèn)題:

(Ⅰ)求該班的學(xué)生人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[70,80)之間的人數(shù);

(Ⅱ)為快速了解學(xué)生的答題情況，老師按分層抽樣的方法從位于[70,80),[80,90)和[90,100]分?jǐn)?shù)段的試卷中抽取8份進(jìn)行分析，再?gòu)闹腥芜x2人進(jìn)行交流，求交流的2名學(xué)生中,恰有一名成績(jī)位于[70,80)分?jǐn)?shù)段的概率．

【點(diǎn)撥】(Ⅰ)由莖葉圖和直方圖，求分?jǐn)?shù)在[50,60)上的頻數(shù)和頻率，得全班的學(xué)生人數(shù)，由莖葉圖，求分?jǐn)?shù)不在[70,80)上的頻數(shù)，全班的學(xué)生人數(shù)減去分?jǐn)?shù)不在[70,80)上的人數(shù)，得結(jié)果；

(Ⅱ)由分層抽樣，求樣本中分?jǐn)?shù)在[70,80)的人數(shù)，利用古典概型的概率公式，得結(jié)果．

(Ⅱ)按照分層抽樣，三個(gè)分?jǐn)?shù)段抽樣數(shù)之比等于相應(yīng)頻率之比,又[70,80),[80,90)和[90,100]分?jǐn)?shù)段頻率之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的樣本中分?jǐn)?shù)在[70,80)的有5份,記為A,B,C,D,E,分?jǐn)?shù)在[80,90)的有2份,記為F,G,分?jǐn)?shù)在[90,100]的有1份，記為H.現(xiàn)從中抽取2人的所有可能情況為{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}，{A,G}，{A,H}，{B,C}，{B,D},{B,E}，{B,F}，{B,G}，{B,H}，{C,D}，{C,E}，{C,F}，{C,G}，{C,H}，{D,E}，{D,F}，{D,G}，{D,H}，{E,F}，{E,G}，{E,H}，{F,G}，{F,H}，{G,H}，共28個(gè)基本事件.

【極速突擊】求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)分層抽樣應(yīng)把握每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與抽取樣本容量與總體容量的比相等，即所有層應(yīng)采用同一抽樣比等可能抽樣；會(huì)讀懂“雙圖”(頻率分布直方圖與莖葉圖)中的數(shù)據(jù)；對(duì)古典概型會(huì)運(yùn)用概率公式計(jì)算，即可速解此類交匯性問(wèn)題．注意：常用列表法、畫(huà)圖法、列舉法、列式計(jì)算等方法求基本事件個(gè)數(shù)．

5.概率與線性回歸“共舞”

【例5】甲、乙兩人在2017年1月至5月的純收入(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：

月份x12345甲的純收入y2.93.33.64.44.8乙的純收入z2.83.43.84.55.5

(Ⅰ)由表中數(shù)據(jù)直觀分析，甲、乙兩人中誰(shuí)的純收入較穩(wěn)定?

(Ⅱ)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)甲在2017年12月份的純收入；

(Ⅲ)現(xiàn)從乙這5個(gè)月的純收入中，隨機(jī)抽取2個(gè)月，求恰有1個(gè)月的純收入在區(qū)間(3,4)中的概率．

【點(diǎn)撥】(Ⅰ)利用表中數(shù)據(jù)，判斷甲的純收入與乙的純收入的集中程度，即判斷誰(shuí)的收入更穩(wěn)定；

(Ⅲ)先求從乙這5個(gè)月的純收入中，隨機(jī)抽取2個(gè)月的基本事件數(shù)，再求恰有1個(gè)月的純收入在區(qū)間(3,4)中所含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式，即可得結(jié)論．

【解】(Ⅰ)由表中數(shù)據(jù)可知，甲的純收入比乙的純收入集中，故甲的純收入較穩(wěn)定．

所以預(yù)測(cè)甲在2017年12月份的純收入為8.21千元．

6.概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)“相融”

【例6】(2017·全國(guó)卷Ⅱ文·19)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg),其頻率分布直方圖如下：

(Ⅰ)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計(jì)A的概率；

(Ⅱ)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量≥50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法

(Ⅲ)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較．

附：

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

【點(diǎn)撥】(Ⅰ)觀察頻率分布直方圖，求出事件A的頻率，再利用樣本估計(jì)總體的思想，即可估計(jì)A的概率；

(Ⅱ)設(shè)箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法無(wú)關(guān)，列出2×2列聯(lián)表，計(jì)算K2的觀測(cè)值，并將其與臨界值進(jìn)行對(duì)比，即可判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；

(Ⅲ)利用頻率分布直方圖，判斷兩種養(yǎng)殖法的平均數(shù)(或中位數(shù))的大小，越大越好；再?gòu)臄?shù)據(jù)分布的情況，看穩(wěn)定性，越集中越好，即可判斷出兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣．

【解】(Ⅰ)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62，因此，可估計(jì)事件A的概率為0.62；

(Ⅱ)設(shè)箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法無(wú)關(guān)，

根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，得2×2列聯(lián)表如下：

箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量≥50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466

由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).

(Ⅲ)新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg 到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．

從以上六種類型可見(jiàn)，“交匯型”概率的問(wèn)題，通常是選取合適的數(shù)學(xué)背景，把新交匯等巧妙地融入試題中去，雖然它的構(gòu)思巧妙、題意新穎、體現(xiàn)出新意，讓人久久回味．但是，它考查的還是基本知識(shí)和基本技能．解這類題的關(guān)鍵在于用慧眼去找尋“交匯點(diǎn)”，用心靈去感受題意，科學(xué)合理地推理運(yùn)算．因此，“交匯題”不一定是“難題”，只有夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握好雙基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是我們?nèi)俚姆▽殻?/p>