云南 唐明超

1.平面向量考題分析與母題探源

1.1考查數(shù)量積的坐標運算與夾角

(1)(2017·全國卷Ⅰ文·13)已知向量a=(-1，2)，b=(m，1).若向量a+b與a垂直，則m=______．

(2)(2017·全國卷Ⅲ文·13)已知向量a=(-2，3)，b=(3，m)，且a⊥b，則m=______.

母題(新課標人教A版必修四119頁A組題12題)已知a=(1，0)，b=(1，1)，λ為何值時，a+λb與a垂直？

試題分析：兩題均考查數(shù)量積的坐標運算與性質，側重考查利用數(shù)量積解決向量垂直問題；與課本母題如出一轍，充分體現(xiàn)出高考命題源于課本的規(guī)律性．考查基礎知識：對任意兩個非零向量a與b，有a∥b?x1y2=x2y1；a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0；a±b=(x1±x2，y1±y2)，a2=|a|2，a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．

1.2考查數(shù)量積的定義與模

(1)(2017·全國卷Ⅰ理·13)已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=______ .

(2)(2017·全國卷Ⅱ文·4)設非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|則

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A.a⊥bB.|a|=|b| C.a∥bD.|a|>|b|

母題(2)(新課標人教A版必修四91頁A組題8題)已知a，b為兩個非零向量，(1)求作向量a+b及a-b；(2)向量a，b成什么位置關系時，|a+b|=|a-b|(不要求證明)．

母題(3)(新課標人教A版必修四120頁B組題3題)已知向量a，b，c，d為非零向量，且a+b=c，a-b=d，求證：|a|=|b|?c⊥d，并解釋其幾何意義．

母題(4)(新課標人教A版必修四120頁B組題2題)已知向量a，b為非零向量，求證：a⊥b?|a+b|=|a-b|，并解釋其幾何意義．

試題(2)分析：(法1：公式法)由|a+b|=|a-b|平方得|a|2+2ab+|b|2=|a|2-2ab+|b|2，即a·b=0，則a⊥b，故選A.

(法2：幾何法)利用平行四邊形法則作出a+b，a-b，據(jù)題意可得該平行四邊形為矩形，從而得出正確答案.

考點分析：平面向量中涉及有關模長的問題，通法是將模平方，利用數(shù)量積公式進行處理，很容易得出答案；另外，向量是解決數(shù)學問題的一個重要工具，具備代數(shù)和幾何特征，解決此類問題可以利用數(shù)形結合的思想，能提高解題效率．復習過程中只要能準確掌握處理母題的基本思想方法，掌握基本原理，對此類高考題的解答就會顯得很自如．

1.3 借助坐標系化繁為簡

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A.3 B.-3

試題(1)分析：(坐標系法)依題意以BC為x軸，BC的垂直平分線AO為y軸，O為原點建立平面直角坐標系如圖所示,

試題(2)分析：(坐標系法)如圖所示，建立平面直角坐標系：

母題(1)分析：利用數(shù)量積定義，向量的模長已知，故只需確定其夾角即可，由向量夾角定義得向量a與b的夾角為120°，向量b與c的夾角為120°，向量c與a的夾角為120°．

考點分析：以上兩題重點考查平面向量的坐標運算、函數(shù)最值的求解方法.平面向量中有關最值問題的求解通常有以下兩種思路：一是利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷，充分體現(xiàn)化歸的數(shù)學思想；二是利用平面向量的坐標運算，把問題轉化為函數(shù)的最值或值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關知識來解決，充分體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想．但是如果能正確建立平面直角坐標系，利用坐標運算實現(xiàn)轉化，從而由函數(shù)的性質得出結論是較為簡單的．而母題選用的是正三角形，根據(jù)正三角形的三線合一這一特殊性質，容易建立平面直角坐標系，從而實現(xiàn)求解；就較基礎的題目而言，相比基底法與投影法，坐標系法的優(yōu)越性體現(xiàn)得不是很明顯，但是對于相對較復雜的題目，由于思維難度相對較高，此時合理利用坐標系法可以很快解決問題．

1.4課標卷考點綜合解讀

結合近幾年課標卷高考試題，發(fā)現(xiàn)平面向量這一章節(jié)的命題呈現(xiàn)以下規(guī)律：從考查題型看，一般會設置2個客觀題；從考查分值上看，約占10分，主要考查對基礎知識，基本運算，基本方法的掌握；從考查的知識點看，主要考查平面向量的線性運算，平面向量基本定理，數(shù)量積的運算及其性質，包括夾角，模及垂直；重點考查數(shù)形結合，函數(shù)與方程，化歸的數(shù)學思想．從命題思路來看有以下幾個方面：首先，結合三角形，平行四邊形等基本模型考查平面向量的線性運算；其次，結合坐標運算考查平面向量的共線與垂直，再者，結合向量的模，夾角等知識考查平面向量的數(shù)量積；最后，在知識交匯點處命題，往往結合向量與三角函數(shù)、解析幾何等綜合考查應用能力．

2.2018年復習策略探究

2.1回歸教材，夯實雙基

根據(jù)以上的命題特點及規(guī)律，復習本章時，要注意以下幾個方面：(1)要做到準確理解知識的本質，要重視對相關概念，定理的理解和掌握，如：相等向量，相反向量，單位向量，共線向量基本定理，平面向量基本定理，向量的模、夾角以及向量的數(shù)量積．(2)重視對運算法則及相關公式的理解與應用，如線性運算，數(shù)量積的相關運算公式．(3)注重解題方法和解題規(guī)律的總結與優(yōu)化．(4)重視數(shù)學思想方法的應用，平面向量中蘊含著十分豐富的數(shù)學思想方法，這也是高考必考的原因．

2.2吃透教材例題及習題，注重變式探究

高考題，特別是對本部分知識點的考查，立足教材，適當變形，適度整合，滲透數(shù)學思想是高考命題的常態(tài)，所以，萬變不離其宗，研究課本例習題就顯得尤為重要．

2.3跳出題海，高瞻遠矚，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

高考復習，一定量的練習是必要的，但是不能陷入題海，要注重一題多解與多題一解的學習實踐，所以要養(yǎng)成變式思維，注重對經典題目的變式練習．另外通過對經典例題的研究與變式，不斷提高數(shù)學抽象能力，邏輯推理能力，數(shù)學建模能力和數(shù)學運算能力．

3.課本母題變式舉例

改編意圖：旨在充分理解并運用平面向量基本定理，會線性表示平面上的任一向量，重點體會化歸的數(shù)學思想和函數(shù)與方程的思想，學會靈活運用數(shù)量積這一工具解決平面幾何的相關問題．

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①半徑r②弦AB的長 ③∠BAC④∠BCA

改編意圖：適當改變題目的問法，保證已知條件不變，題目的難度和深度加大了，這對平時的復習很有意義，母題重在考查平面向量數(shù)量積的幾何意義，而變式1不僅考查數(shù)量積的幾何意義，同時也考查了正、余弦定理．

改編意圖：受變式3的啟發(fā)，條件加強，立馬可以得出△ABC為等腰直角三角形．