揭 勛

(廣東文理職業(yè)學(xué)院，廣東 廉江 524400)

利用極限和函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)以及極值點(diǎn)的定義，可以探求連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)，從而系統(tǒng)全面地解決連續(xù)函數(shù)的極值求解問(wèn)題，這個(gè)方法思路一致且較易理解，可作為高校講授函數(shù)極值問(wèn)題的補(bǔ)充方法或后繼課程.

1 關(guān)于一元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)

1.1 關(guān)于一元連續(xù)函數(shù)的極大值點(diǎn)

先看看一元連續(xù)函數(shù)的極大值及極大值點(diǎn)的定義[1]148.

定義1設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有定義,x0∈(a,b), 如果對(duì)于x0兩側(cè)近旁的任意點(diǎn)x(x≠x0)，均有f(x)

我們知道，一元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)必然是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，但駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)則不一定是極值點(diǎn).因此，結(jié)合一元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義[2]15,[3]29,[4]29及一元連續(xù)函數(shù)的極大值的定義，可得下面的結(jié)論：

上述結(jié)論也可描述為：

設(shè)點(diǎn)x0是一元連續(xù)函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，在該點(diǎn)處，若Δx→0,則Δy→0-,即：

該結(jié)論把一元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義、極大值的定義和極大值點(diǎn)處的函數(shù)圖像特征聯(lián)系了起來(lái)，便于理解和記憶，依據(jù)該結(jié)論探求極大值點(diǎn)的計(jì)算過(guò)程也簡(jiǎn)單易行.

1.2 關(guān)于一元連續(xù)函數(shù)的極小值點(diǎn)

根據(jù)一元連續(xù)函數(shù)極大值點(diǎn)的上述判斷方法，可以類似地判斷一元連續(xù)函數(shù)的極小值點(diǎn).

定義2設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x) 在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有定義,x0∈(a,b), 如果對(duì)于x0兩側(cè)近旁的任意點(diǎn)x(x≠x0)，均有f(x)>f(x0) 成立, 則稱f(x0) 是函數(shù)f(x) 的一個(gè)極小值, 點(diǎn)x0稱為f(x) 的一個(gè)極小值點(diǎn)[5]66,[6]91.

故有下面的結(jié)論：

也可以表述為：

1.3 關(guān)于一元連續(xù)函數(shù)的非極值點(diǎn)

1.4 關(guān)于一元連續(xù)函數(shù)極值問(wèn)題的例題分析

解：該函數(shù)的定義域?yàn)?-∞，+∞)

1)在x=1處，

2)在x=0處，

3)在x=2處，

故x=1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，此時(shí)的極大值是1；x=0是f(x)的極小值點(diǎn)，此時(shí)的極小值為0；x=2是f(x)的極小值點(diǎn)，此時(shí)的極小值為0.

例2討論函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值.

解：f(x)的定義域?yàn)镽，f′(x)=6x(x2-1)2

故f(x)的駐點(diǎn)為x=-1或x=0或x=1，沒(méi)有不可導(dǎo)點(diǎn).

由于f″(x)=6(x2-1)(5x2-1)，

故f″(-1)=f″(1)=0,因此，若試圖根據(jù)國(guó)內(nèi)現(xiàn)行《高等數(shù)學(xué)》教材所介紹的方法：利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(即利用極值的第二充分條件[6]93)來(lái)判斷駐點(diǎn)x=-1和x=1是否極值點(diǎn)，是不可行的.但我們可按本文介紹的方法來(lái)判斷，事實(shí)上

在x=1處，

上式中，若Δx→0+，則其結(jié)果是0+；但若Δx→0-，則其結(jié)果是0-，故其結(jié)果無(wú)法一致統(tǒng)一為0+或0-，故x=1不是f(x)的極值點(diǎn).同理，經(jīng)過(guò)計(jì)算極限后可判斷，點(diǎn)x=-1處也存在類似的結(jié)論，也不是f(x)的極值點(diǎn)；而x=0是極小值點(diǎn)，極小值為0.

2 關(guān)于二元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)

現(xiàn)行高校的教材對(duì)二元連續(xù)函數(shù)極值點(diǎn)的判斷要借助駐點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)值來(lái)討論[7]218(其重大缺點(diǎn)是不考慮不可微點(diǎn))，才能判斷駐點(diǎn)是否極值點(diǎn)，這種方法不可靠(會(huì)漏掉不可微點(diǎn)這類極值點(diǎn))，只能求解某些函數(shù)的某些極值點(diǎn).

我們可以參考上述一元連續(xù)函數(shù)極值點(diǎn)的判斷方法，進(jìn)行思路延伸，探索出二元連讀函數(shù)[7]171的極值點(diǎn)的方法.

定義3設(shè)二元連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于該鄰域中任何不同于(x0,y0)的點(diǎn)(x,y)，成立不等式f(x,y)≤f(x0,y0) (或f(x,y)≥f(x0,y0))，則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處取得極大(或極小)值，點(diǎn)(x0,y0)稱為函數(shù)f(x,y)的極大(或極小)值點(diǎn).

我們知道，若二元函數(shù)z=f(x,y)在某區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則其圖像一般是空間直角坐標(biāo)系下的一個(gè)連續(xù)曲面，其極值點(diǎn)必然是駐點(diǎn)或一階偏導(dǎo)數(shù)不全(或全不)存在的不可微點(diǎn)，反之，駐點(diǎn)或一階偏導(dǎo)數(shù)不全(或全不)存在的不可微點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).在每個(gè)極大值點(diǎn)的某個(gè)鄰域，函數(shù)z=f(x,y)的圖像會(huì)從任意方向向極大值點(diǎn)處擠逼，形成圖像在極大值點(diǎn)處向上突起的現(xiàn)象，該極大值點(diǎn)處的函數(shù)值為該鄰域內(nèi)函數(shù)的最大值；在每個(gè)極小值點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)，函數(shù)的圖像會(huì)從任意方向向極小值點(diǎn)處擠逼，形成圖像在極小值點(diǎn)處向下凹陷的現(xiàn)象，可以形象地理解到，該極小值點(diǎn)處的函數(shù)值為該鄰域內(nèi)函數(shù)的最小值.若函數(shù)的某個(gè)駐點(diǎn)或一階偏導(dǎo)數(shù)不全(或全不)存在的不可微點(diǎn)處不具有上述圖像特征，則該駐點(diǎn)或不可微點(diǎn)必非極值點(diǎn)；若函數(shù)的某個(gè)駐點(diǎn)或一階偏導(dǎo)數(shù)不全(或全不)存在的不可微點(diǎn)處具有上述圖像特征，則該駐點(diǎn)或不可微點(diǎn)就是極值點(diǎn).

受二元連續(xù)函數(shù)極值點(diǎn)處的圖像特征及受二元連續(xù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義[8]68啟發(fā)，我們可以得出下列結(jié)論:

上述結(jié)論也可表述為：

同理，該結(jié)論也可表達(dá)為：

例3討論函數(shù)z=f(x,y)=-x2+y3+6x-12y+10的極值點(diǎn).

解：借助函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，可求得兩個(gè)駐點(diǎn)(3,2)和(3,-2)，它們是該函數(shù)所有的可能極值點(diǎn).

1)在點(diǎn)(3,2)處，

顯然，上式的結(jié)果可能是0+，也可能是0-，故點(diǎn)(3,2)不是該函數(shù)的極值點(diǎn).

2)在點(diǎn)(3,-2)處，

故點(diǎn)(3,-2)是該函數(shù)的極大值點(diǎn)，可求得極大值為35.

3 關(guān)于三元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題

這類問(wèn)題，國(guó)內(nèi)現(xiàn)行教材沒(méi)有提及.依照前述探討一元、二元連續(xù)函數(shù)極值問(wèn)題的思路，可以得出求解三元連續(xù)函數(shù)極值的方法，以之作為相關(guān)知識(shí)的補(bǔ)充，可使學(xué)生的知識(shí)面得到系統(tǒng)性的加強(qiáng).

根據(jù)三元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義及三元連續(xù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義，得：

解：借助f(x,y,z)的一階偏導(dǎo)數(shù)，可知點(diǎn)(0,0,0)是一階偏導(dǎo)數(shù)全不存在的點(diǎn)，該點(diǎn)是函數(shù)唯一的可能極值點(diǎn).在點(diǎn)(0,0,0)處，

故點(diǎn)(0,0,0)是f(x,y,z)的極小值點(diǎn)，易求得極小值是0.

4 關(guān)于n元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題

更有意義的是，利用極限和n元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義及極值點(diǎn)的定義，可以探求n元連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)，可以系統(tǒng)全面地解決多元連續(xù)函數(shù)的極值求解問(wèn)題，并為相關(guān)學(xué)科的相關(guān)計(jì)算提供可行的理論方法.這個(gè)方法思路一致且較易理解，可作為高校講涭函數(shù)極值問(wèn)題的補(bǔ)充方法或后繼課程.

5 結(jié)語(yǔ)

極值是連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)之一，生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)踐中常遇到的最優(yōu)化問(wèn)題，就與函數(shù)的極值有著密切的關(guān)系.極值問(wèn)題是高職院?！陡叩葦?shù)學(xué)》和《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)》的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，但現(xiàn)行教材并沒(méi)有全面系統(tǒng)地介紹多元連續(xù)函數(shù)極值的求解方法.本文論述的方法是：利用導(dǎo)數(shù)求出連續(xù)函數(shù)可能的極值點(diǎn)后，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的特征及極值點(diǎn)的定義，借助極限的計(jì)算判斷出連續(xù)函數(shù)的全部極值點(diǎn)并求得所有的極值，為相關(guān)問(wèn)題的計(jì)算提供了可行的方法，且對(duì)一元及多元連續(xù)函數(shù)的極值求解具有思維方法上及計(jì)算方法上的一致性，容易強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)極值問(wèn)題的系統(tǒng)性理解及發(fā)散性思維的培養(yǎng)，可以作為現(xiàn)行教材相關(guān)知識(shí)的必要補(bǔ)充或后繼內(nèi)容.