◎王軍紅

(西安市遠東第一中學(xué)，陜西　西安　710000)

線性規(guī)劃知識自進入中學(xué)數(shù)學(xué)教材以來，就受到了高考命題專家、數(shù)學(xué)研究者和廣大的中學(xué)數(shù)學(xué)教師的青睞.線性規(guī)劃習(xí)題取材廣泛、形式靈活、背景新穎，恰當?shù)厝跀?shù)的分析于形的直觀推理之中，成為命制高考試題的新陣地.要充分學(xué)好線性規(guī)劃內(nèi)容，作為一名高中數(shù)學(xué)教師，我通過近幾年的教學(xué)實踐，特別是新課改下的教學(xué)實踐，覺得要掌握好線性規(guī)劃知識及其應(yīng)用、提升解題能力，需要從以下幾個方面努力.

一、注重程序，實現(xiàn)解題模式的格式化

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“注重通性通法，淡化特殊技巧”是高考早已提出的要求.線性規(guī)劃問題的基本解題思路是“畫圖→平移求點→代值解答”.其中，規(guī)范作圖是準確解答的基礎(chǔ).不僅要規(guī)范地作出可行域，還要能準確體現(xiàn)出線性目標函數(shù)與可行域邊界在傾斜程度上的差異.舉例如下.

圖1

點評用線性規(guī)劃求最值是數(shù)形結(jié)合的一個重要方面，它使眾多變量匯聚的代數(shù)問題變得直觀、簡捷，而規(guī)范的作圖則是成功求解的基礎(chǔ).線性規(guī)劃的這一基本應(yīng)用程序要讓學(xué)生形成熟練的解題模式.

圖2

點評處理線性規(guī)劃整數(shù)解問題的基本思路是：若頂點恰為整數(shù)，則它就是最優(yōu)解；若不是整數(shù)點，應(yīng)先求出該點坐標，并計算目標函數(shù)z的值，而后在可行域內(nèi)適當放縮目標函數(shù)的值，使其為整數(shù)且距離z最近，依次找點求最值.

讀者不妨練習(xí)：某實驗室需購買某種化工原料106 kg.現(xiàn)在市場上該原料有兩種包裝，一種是每袋35 kg，價格是140元；一種是每袋24 kg，價格是120元.在滿足需要的前提下，最少要花費多少元？

二、挖掘潛力，提升應(yīng)用能力

可行域是線性規(guī)劃問題研究的重點，確定可行域的基本方法是：直線定界，特點定域.確定區(qū)域時遵循：同側(cè)同號，異側(cè)異號.

例3已知直線l過點P(-1，2)且與以A(-2，-3)，B(3，0)為端點的線段有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍.

圖3

解析(當然此題有多種不同的解法，這里僅用可行域的思想求解)設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+1)，令f(x，y)=kx-y+k+2，A，B不落在l的同側(cè)，又l可過A，B兩點，所以f(-2，-3)·f(3，0)≤0，

點評當然本題的解答有多種方法，而且此法并非最簡.但從利用可行域的思想可以看出，上述解法新穎獨特，別具一格，而且很好地回避了k的正負分類討論.

類似地練習(xí)：若直線l1：y=kx+2與l2：y=-2x+4的交點在第一象限內(nèi)，求k的取值范圍.

三、發(fā)散思維，拓展應(yīng)用層次

線性目標函數(shù)具有明顯的幾何意義，學(xué)習(xí)時要充分挖掘目標函數(shù)的幾何意義，常見的目標函數(shù)有以下幾種類型：

(2)距離型z=(x-a)2+(y-b)2，即z的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(x，y)與定點(a，b)的距離的平方；

解析設(shè)f(x)=x2+ax+2b，由方程x2+ax+2b=0的一個根在(0，1)內(nèi)，另一根在(1，2)內(nèi)可知

圖4

設(shè)P(a，b)為上述不等式組所確定的可行域(如圖4所示陰影部分)內(nèi)的任一動點，A(-1，0)，B(-2，0),C(3，0).

又BD2=13，而DA2=8，DC2=17，

∴(a-1)2+(b-2)2的取值范圍是(8，17).

(3)令z=a+b-3，結(jié)合圖形可知，當l：a+b-3=0平移分別過點A，B時，z值分別取最大值、最小值，依次為-4，-5，∴z=a+b-3的取值范圍為(-5，-4).

實踐表明，充分重視以上三個方面的學(xué)習(xí)與練習(xí)，能促進學(xué)生對線性規(guī)劃的理解以及應(yīng)用能力的提升.