馬躍如，王子彥，萬光羽

（1.中南大學 商學院，長沙 410083；2.湖南大學 經(jīng)濟與貿(mào)易學院，長沙 410006）

0 引言

長期以來，價格始終是影響客戶購買決策的重要因素[1]。在互聯(lián)網(wǎng)時代，隨著市場競爭的加劇，顧客對時間的敏感性越來越強，更多的顧客在要求低價的同時強調(diào)更短的交貨期，時間成為影響客戶購買決策的又一要素。企業(yè)如何在保障交貨期的同時確認自身的利益是其生存發(fā)展的關(guān)鍵。企業(yè)界和理論界也更多地開始關(guān)注在顧客需求不確定情況下如何在交貨期和產(chǎn)品價格間做出權(quán)衡，以更快的速度響應(yīng)顧客需求，從而獲得更大的收益。

在對于企業(yè)生產(chǎn)決策的早期研究中，大量學者將研究重點集中在交貨期和產(chǎn)品價格這兩個因素對企業(yè)生產(chǎn)決策的影響上。部分學者認為制定合適的訂單交貨期可以幫助企業(yè)在激烈的競爭中獲得特有的優(yōu)勢[1-5]。但是只探討了通過設(shè)定合適的訂單交貨時間達到企業(yè)利潤最大化的目標，缺乏對產(chǎn)品價格變動的影響研究。還有部分學者從產(chǎn)品價格的角度對企業(yè)生產(chǎn)決策進行優(yōu)化[6-8]。事實上，交貨期與價格均是影響消費者購買決策的重要要素，同時考慮這兩者對企業(yè)生產(chǎn)決策的影響具有現(xiàn)實意義，學者們開始探討產(chǎn)品單價和交貨時間對企業(yè)生產(chǎn)決策的共同影響[9-11]。但此類研究僅考慮產(chǎn)品價格和交貨時間其中一個因素變動帶來的影響，同時也未提出有效改進企業(yè)訂單管理的措施。

雖然產(chǎn)品價格和交貨前置期受到了廣泛的關(guān)注，但同時考慮價格和交貨時間協(xié)調(diào)的研究較少。此外，隨著交貨期的縮短，在帶來市場需求增長的同時，也對企業(yè)的生產(chǎn)能力提出嚴峻的挑戰(zhàn)：產(chǎn)能過低，會使得市場需求無法被滿足，在激烈的競爭中容易被其他企業(yè)所替代，不利于企業(yè)市場占有率的提升；而在產(chǎn)能過剩時，生產(chǎn)的產(chǎn)品無法在市場中被完全消費，給企業(yè)帶來財務(wù)困境與庫存壓力，不利于企業(yè)的資金流通與長期發(fā)展，因此研究產(chǎn)能約束下的訂單的交貨時間和產(chǎn)品單價具有現(xiàn)實意義?；诖耍疚难芯恳粋€供應(yīng)商和多個零售商組成的兩級供應(yīng)鏈，建立隨機混合整數(shù)規(guī)劃模型，研究在產(chǎn)能約束下，不同的交貨前置期和產(chǎn)品單價對企業(yè)生產(chǎn)決策的影響。

1 模型描述與符號定義

1.1 符號定義

T ：生產(chǎn)周期，包括 n 個小周期，T={T1，T2，...，Tn}，其中

Qmax：供應(yīng)商的最大產(chǎn)能；

LTi：訂單的交貨前置期；

q(ti)：交貨前置期LTi內(nèi)，ti時刻零售商對產(chǎn)品的需求率；

pLT：前置期LTi下的產(chǎn)品單價；

C(Q)：周期內(nèi)的生產(chǎn)成本；

C(P)：周期內(nèi)訂單延誤的處罰成本；

m：單位產(chǎn)品延遲交貨的處罰成本；

c：單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本；

Q(LT，q)：交貨前置期結(jié)束后，仍需生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。

1.2 問題描述

本文研究一個供應(yīng)商和多個零售商組成的兩級供應(yīng)鏈，該供應(yīng)商生產(chǎn)的一類產(chǎn)品有多個零售商訂貨。在生產(chǎn)周期內(nèi)，供應(yīng)商先制定訂單的交貨前置期和產(chǎn)品單價，對零售商的訂單采取FCFS（first come first service，先來先服務(wù)）的方式。零售商根據(jù)消費者的需求向供應(yīng)商提交產(chǎn)品訂單，允許產(chǎn)品分期交付。

該規(guī)劃期內(nèi)，供應(yīng)商均以最大產(chǎn)能Qmax安排生產(chǎn)，在生產(chǎn)過程中采取MTO（make to order，按訂單生產(chǎn)）方式生產(chǎn)，允許機器存在空轉(zhuǎn)，Beemsterboer等[12]和方志梅等[13]都進行了類似研究。在整個規(guī)劃期內(nèi)，供應(yīng)商庫存與零售商需求時間變化如圖1所示。

圖1 供應(yīng)商庫存與零售商需求時間變化圖

生產(chǎn)周期T內(nèi)，零售商對產(chǎn)品的需求q(ti)是隨機變動的，均在期初t0時向供應(yīng)商下達訂單。t1時刻前，q(ti)≤Qmax；[t1，ta1] 時 段 ，q(ti)＞Qmax；[ta1，t3] 時 期 ，q(ti)≤Qmax；t3時刻，q(ti)＞Qmax。其中，Qmax為供應(yīng)商的最大產(chǎn)能。在t1時刻前，零售商的需求q(ti)小于供應(yīng)商的產(chǎn)能，機器存在空轉(zhuǎn)；[t1，ta1]時段，供應(yīng)商以最大產(chǎn)能生產(chǎn)，但無法滿足零售商的需求；[ta1，t2]時期，供應(yīng)商以最大產(chǎn)能Qmax生產(chǎn)，彌補在[t1，ta1]時段缺失的產(chǎn)能。[t2，t3]時期，零售商的需求q(ti)小于供應(yīng)商的產(chǎn)能。整個生產(chǎn)周期T內(nèi)，允許存在缺貨，訂單能全部得到滿足，通過上述設(shè)置，探討存在不同交貨前置期、不同產(chǎn)品價格下，供應(yīng)商的生產(chǎn)決策優(yōu)化問題。

2 模型建立

2.1 目標函數(shù)

供應(yīng)商按MTO方式安排生產(chǎn)，在極短的訂單交貨前置期下，供應(yīng)商的存儲成本和機器空轉(zhuǎn)成本對總體的利潤影響較小，可忽略不計。因此，本文構(gòu)建產(chǎn)能約束下的隨機混合整數(shù)規(guī)劃模型，以供應(yīng)商利潤最大化為目標函數(shù)，僅考慮供應(yīng)商的銷售收入、訂單延誤的處罰成本和生產(chǎn)成本的影響。

（1）銷售收入。由于在整個生產(chǎn)周期T內(nèi)允許存在缺貨的情況，供應(yīng)商能夠生產(chǎn)出零售商下達訂單的所有產(chǎn)品。供應(yīng)商的銷售收入為：

（2）訂單延誤的處罰。在[t1，t2]周期內(nèi)，若零售商總需求則供應(yīng)商產(chǎn)能可以滿足零售商的需求，不存在訂單延誤，處罰成本為0；當零售商總需求時，在訂單交貨前置期LT結(jié)束后，供應(yīng)商仍無法滿足零售商的需求，此時存在訂單的延誤處罰。

設(shè)在LT結(jié)束后的ti時刻，仍需生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量：Q1(LT，q)=q(ti)-(LT+ti-t1)Qmax。因此，在 [t1，t2]周期內(nèi)仍需生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量：

其中[X]+=max[X，0]。

該[t1，t2]周期的處罰成本：

因此，整個生產(chǎn)周期T仍需生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為：

整個生產(chǎn)周期的處罰成本：

（3）生產(chǎn)成本。零售商總需求數(shù)量為∑q(ti)，供應(yīng)商能全部生產(chǎn)出訂單的全部產(chǎn)品。因此，供應(yīng)商的生產(chǎn)成本是：

綜上所述，在整個生產(chǎn)周期T內(nèi)，供應(yīng)商的目標函數(shù)為：

即：

該目標函數(shù)是非線性的，供應(yīng)商通過設(shè)定不同訂單的產(chǎn)品單價 pLT和交貨前置期LT來實現(xiàn)利潤最大化。在整個生產(chǎn)周期內(nèi)，零售商的需求是隨機變動的，隨機需求均反應(yīng)在期初向供應(yīng)商下達的訂單大小。而本文所建立的模型是隨機混合整數(shù)規(guī)劃模型，目標函數(shù)中包含多個隨機變量，涉及多個小周期，求解過程較為復雜，且目前對混合整數(shù)規(guī)劃問題沒有較為成熟的求解方法。根據(jù)本文需解決的產(chǎn)能約束下的訂單管理，對該模型進行模擬仿真求解。這種求解方法更適用整數(shù)變量較少的情況，同時更適合現(xiàn)實中的訂單管理，具有現(xiàn)實意義。

2.2 性質(zhì)

結(jié)合式（2），在 [t1，t2]時段仍需生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量

定理1：當q(ti)≤(LT+ti-t1)Qmax時，供應(yīng)商訂單延誤的處罰C(P)=0。

證明：已知在ti時刻，仍需生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量Q(LT，q)=當 q(ti)＞(LT+ti-t1)Qmax時，此時 Q(LT，q)＞0，存在訂單的延誤，延誤的處罰C(P)＞0 ；當 q(ti)≤(LT+ti-t1)Qmax時，有t-t1)Qmax≤0，此時Q(LT，q)=0，即不存在訂單延誤，訂單延誤的處罰C(P)=0，得證。

定理2：當q(ti)＞(LT+ti-t1)Qmax時，供應(yīng)商延誤訂單的處罰C(P)是分段函數(shù)。

證明：當q(ti)＞(LT+ti-t1)Qmax，至少存在一個時刻ti使得 Q(LT，q)=0 。假定其間存在 i個小周期 t1，t2，...，ti，仍需生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為 Q(LT，q(t1))，...，Q(LT，q(ti))，因此，供應(yīng)商訂單延誤的處罰C(P)=m(Q(L T ，q(t1))+...+Q(L T ，q(ti)) ) 。

如果q(ti)＞q(t1)，有：Q(LT，q(t1))=0；

如果q(ti)＞q(t2)，有：Q(LT，q(t1))=Q(LT，q(t2))=0；

…

如果 q(ti)≥q(ti)，有：Q(LT，q(t1))=Q(LT，q(t2))=...=Q(LT，q(ti))=0。

因此，供應(yīng)商訂單延誤的處罰函數(shù)為：

即q(ti)＞(LT+ti-t1)Qmax時，供應(yīng)商延誤訂單的處罰C(P)是分段函數(shù)，得證。

3 算例分析

在中國，每年的“雙十一”將會產(chǎn)生巨額的需求，而“雙十一”期間許多廠商無法及時交貨，嚴重影響企業(yè)的信譽，而在“雙十一”開始前的一段時間，通過設(shè)置合理的交貨前置期和產(chǎn)品單價將有效解決該問題。本文運用一個仿真算例分析來模擬“雙十一”期間供應(yīng)商制定的訂單交貨前置期和產(chǎn)品單價，基于上述隨機混合整數(shù)模型，分析供應(yīng)商的不同訂單前置期和產(chǎn)品單價下的決策。

本文考慮一個10天的生產(chǎn)周期，即T=10，期間包括多個小周期，供應(yīng)商生產(chǎn)該產(chǎn)品的單位成本c=2；在初始訂單交貨前置期LT=3下，產(chǎn)品單價為pLT=6；每單位產(chǎn)品延遲一天交貨的處罰成本m=5；供應(yīng)商產(chǎn)能Qmax=20；零售商每天需求率q(t10)=[14 26 27 10 7 5 13 25 14 6]T，即在該生產(chǎn)周期內(nèi)，零售商的總需求為平均每天需求

（1）當產(chǎn)品單價保持不變。

在前置期LT=3時，供應(yīng)商的利潤如表1所示。

表1 交貨前置期LT=2，供應(yīng)商利潤表（pLT=6）

這10天的生產(chǎn)周期中包含2個小生產(chǎn)周期。其中，第1天零售商的訂單q(t1)＜Qmax，機器存在空轉(zhuǎn)；第2—6天，為第一個小生產(chǎn)周期，其中第3天零售商的需求無法滿足，需要通過延長交貨時間，存在訂單延誤的處罰；第7天零售商的訂單q(t1)＜Qmax，機器空轉(zhuǎn)；第8—10天，為第二個小生產(chǎn)周期，不存在訂單延誤的情況。在該生產(chǎn)周期內(nèi)，供應(yīng)商設(shè)置的交貨前置期 LT=2，產(chǎn)品的單價pLT=6，此時，供應(yīng)商的利潤為∏=548。

同理，在不同訂單交貨前置期下，供應(yīng)商利潤如表2所示。

表2 不同交貨前置期下供應(yīng)商利潤表（pLT=6）

不同的訂單交貨前置期直接影響供應(yīng)商訂單延誤的數(shù)量和缺貨處罰成本，在越長的交貨前置期訂單延誤的數(shù)量越少，生產(chǎn)的不確定性也越小。而本算例供應(yīng)商在實現(xiàn)最大利潤下可設(shè)置的最小訂單交貨前置期LT=3，此時最大的利潤∏=588。

（2）當訂單交貨前置期保持不變。

在產(chǎn)品單價pLT=4時，供應(yīng)商利潤如表3所示。

表3 產(chǎn)品單價 pLT=4，供應(yīng)商利潤表（LT=3）

在訂單交貨前置期為LT=3時，不存在訂單延誤的處罰，此時產(chǎn)品的單價pLT=4，供應(yīng)商的利潤∏=294。

同理，在訂單交貨前置期LT=3時，在不同單價下的供應(yīng)商利潤如表4所示。

表4 不同產(chǎn)品單價，供應(yīng)商利潤情況表（LT=3）

在訂單前置期LT=3不變的情況下，不同的產(chǎn)品單價不會對訂單延誤的處罰產(chǎn)生影響。此時，供應(yīng)商仍需生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量和生產(chǎn)時間都已確定，單價的變動只會影響供應(yīng)商的銷售收入。在一定的價格范圍內(nèi)，供應(yīng)商更傾向設(shè)置高的價格，如產(chǎn)品的單價在[4，8]范圍內(nèi)變動時，供應(yīng)商更傾向于設(shè)定高的單價 pLT=8，此時有最大利潤∏=882。

（3）當交貨前置期與價格成線性關(guān)系變動時。

Rao等[14]、Celik和Maglaras[15]的研究均表明交貨前置期對消費者具有重要的意義，不同偏好下消費者意愿支付的產(chǎn)品單價不同。本文設(shè)定該產(chǎn)品的單價與初始交貨前置期成線性關(guān)系：pLT=α*6*3 LT，即產(chǎn)品的單價與訂單交貨前置期成反比。其中α為價格對訂單交貨前置期的敏感系數(shù)，為外生變量。

當交貨前置期LT=3時，pLT=6α。供應(yīng)商利潤如表5所示。

表5 前置期為LT=3下，供應(yīng)商利潤表（pLT=6α）

可知供應(yīng)商在給定的前置期LT=3時，產(chǎn)品單價為pLT=6α，此時供應(yīng)商的利潤∏=882α-294。

同理，在不同訂單前置期下的供應(yīng)商利潤如表6所示。

表6 不同訂單前置期和產(chǎn)品單價下的供應(yīng)商利潤表

越短的訂單交貨前置期，反應(yīng)出消費者對該產(chǎn)品有極大的偏好；此時，在較短的訂單交貨前置期下，供應(yīng)商面臨較少的生產(chǎn)時間，需求的不確定性和生產(chǎn)的不確定性對供應(yīng)商的要求極高。面對巨大的訂單需求，此時供應(yīng)商更傾向于設(shè)定高的產(chǎn)品單價，即單價對交貨前置期的敏感程度存在：β≥γ≥α≥λ≥μ。

當交貨前置期LT≥3時不存在訂單延誤的處罰。當交貨前置期越長，產(chǎn)品的單價越低，供應(yīng)商的收益越小，此時供應(yīng)商可設(shè)定最優(yōu)的交貨前置期LT=3，最優(yōu)的收益為882α-294；當交貨前置期LT＜3時，前置期越短，產(chǎn)品的單價越高，此時伴隨著訂單延誤數(shù)量的增加，供應(yīng)商面臨較大的經(jīng)營不確定性。而當交貨前置期LT=2時，訂單延誤的處罰C(P)=40，此時縮短交貨前置期帶來的銷售收入的增加更為明顯。綜上，供應(yīng)商在設(shè)定合適的訂單交貨前置期LT=2和產(chǎn)品單價9γ，即在較短的交貨前置期下，設(shè)定較高產(chǎn)品的單價，此時可擁有更高的利潤，自身的產(chǎn)能和庫存都能較好地符合市場的需求。

4 結(jié)論

企業(yè)在生產(chǎn)運營的過程中，由于受到自身產(chǎn)能的約束以及市場需求不確定性的影響，會通過追加生產(chǎn)來達到維持經(jīng)營穩(wěn)定性的目的。但追加生產(chǎn)往往會導致生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量高于市場需求從而使得企業(yè)的庫存不斷增加。如何解決企業(yè)實現(xiàn)自身利益最大化的同時降低庫存正是本文的核心問題。本文通過建立隨機混合整數(shù)規(guī)劃模型分析了在產(chǎn)能約束的條件下，企業(yè)如何解決企業(yè)訂單管理的一類方法。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當訂單的交貨前置期適當較長時，企業(yè)經(jīng)營的不確定性會較低。反之，則會增加企業(yè)經(jīng)營的不確定性。為了彌補企業(yè)縮短訂單前置期可能帶來的損失，企業(yè)可以選擇在適當縮短訂單交貨前置期的同時提高產(chǎn)品的單價，這樣可以有效彌補訂單延誤造成的處罰。

在供給側(cè)戰(zhàn)略改革的新形勢下，“去庫存”已不再是一句簡單的口號，而是企業(yè)生存發(fā)展的重要前提之一。這對企業(yè)的訂單管理和庫存管理提出了更高層次的要求，良好的訂單管理和庫存管理是解決該問題的重要手段。根據(jù)本文的結(jié)論，在面對實際經(jīng)營問題時，企業(yè)可以在考慮自身實際情況的基礎(chǔ)上，設(shè)定適合企業(yè)自身的交貨前置期和產(chǎn)品單價組合，平衡企業(yè)經(jīng)營不確定性和企業(yè)利潤最大化之間的矛盾。在實現(xiàn)自身最大化利潤的同時降低企業(yè)庫存，提高產(chǎn)品的有效供給，促進整個社會庫存的下降。