江登英，王亞雄，張徐軍

（武漢理工大學 理學院，武漢 430070）

0 引言

在群組決策問題中，Atanassov[1]對經(jīng)典的模糊集進行發(fā)展與擴展，提出了直覺模糊理論，由于直覺模糊集對模糊現(xiàn)象刻畫的同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息，更加細膩地刻畫模糊性的本質，因而得到了廣泛的應用[2，3]。針對信息不完全條件下的直覺模糊群組決策問題，國內外學者主要從屬性權重信息不完全和決策信息不完全兩方面進行研究。在屬性權重信息不完全條件下：王堅強、張忠[4]提出屬性權重不完全的直覺梯形模糊多準則決策的最優(yōu)線性規(guī)劃方法；徐澤水[5]提出了一種先進行局部優(yōu)化再組合賦權的兩階段決策方法等[6，7]。在決策信息不完全條件下：鞏在武[8]利用判斷矩陣的乘性一致性關系，給出了殘缺信息下直覺模糊群組判斷的最優(yōu)排序模型；Laarhoven和Pedrycz[9]給出了殘缺三角模糊判斷矩陣的最小二乘排序方法等[10，11]。由此可見，現(xiàn)有文獻對決策信息不完全和屬性權重不完全單方面的研究較多，但是對屬性權重信息和決策信息雙重不完全條件下的直覺模糊群決策方法研究較少。因此，本文結合前景理論、TOPSIS和灰色關聯(lián)分析法，提出一種能解決雙重信息不完全條件下的直覺模糊群組決策問題的新方法。

1 相關概念和定義

1.1 直覺模糊理論

定義1[2，3]：設是一個論域。若 X 上兩個 映 射 μA∶X→[0 ， 1] 和 υA∶X→[0 ， 1] ，使 得 xi∈X|→ μA(xi)∈[0 ， 1] 和 xi∈X|→ υA(xi)∈[0 ， 1] ，則 記 為 A=可簡記為分別稱μA和υA為A隸屬度和非隸屬度。如果滿足條件0≤μA≤1,0≤υA≤1,0≤μA+υA≤1，則 μA和υA確定了論域X上的一個直覺模糊集（IFS）,其中πA(xi)=1-μA(xi)-υA(xi)為xi隸屬于A的猶豫度，也稱直覺模糊指數(shù)。

定義 2[12]：設 a1= μa1，υa1和 a2= μa2，υa2是直覺模糊集A上的兩個直覺模糊數(shù)，則a1與a2之間的Hamming距離為：

1.2 殘缺直覺模糊決策矩陣和理想方案

現(xiàn)有m個非劣（或有效）方案xi(i = 1，2，...，m )組成的方案集X={x1，x2，...，xm} ，t個決策者（或專家）el(l = 1，2，...，t)組成一個決策群體對每個方案關于n個屬性（或目標）oj(j =1，2，...，n )進行評價，記屬性集為O={o1，o2，...， on} ，假設決策者el對方案xi∈X關于屬性oj∈O的評價值可表示為直覺模糊數(shù)其中和分別表示決策者el對方案xi關于屬性oj所給定的滿意度（或隸屬度）、不滿意度（或非隸屬度），表示猶豫度。于是，決策者el對方案xi關于所有屬性的評價結果可以用向量表示為：

定義3：直覺模糊正理想方案x+和直覺模糊負理想方案x-，記為：

其中：

然而在實際問題中，有些決策者對于方案xi關于屬性oj的評價信息不能（或不愿意）給出，導致直覺模糊決策矩陣Rl出現(xiàn)殘缺，本文把信息有缺失的直覺模糊決策矩陣稱為殘缺直覺模糊決策矩陣，對于殘缺元素，記為×。例決策者el對方案x1關于屬性o2的評價信息不能給出，則=×，即：

1.3 前景理論

前景理論是從心理學角度詮釋影響人類行為決策的非理性因素，其認為人們對待收益風險和損失風險的心理是不對稱的：面臨方案收益時，往往對風險回避；面臨方案損失時，則趨向于對風險追求。

Kahneman和Tvsersky[13]的前景理論由決策權重函數(shù)和價值函數(shù)確定，即：

其中，g(p)為決策權重函數(shù)，h(x)為價值函數(shù)。

而Tvsersky等定義的價值函數(shù)為如下的冪函數(shù)：

其中，α為風險偏好系數(shù)，β為風險規(guī)避系數(shù)，θ為收益與損失的敏感系數(shù)。

Tvsersky等定義的決策權重函數(shù)如下：

其中，p為判斷概率，γ為風險態(tài)度系數(shù)。

2 雙重信息不完全條件下的直覺模糊群組決策方法

為了解決雙重信息不完全條件下的直覺模糊群組決策問題，這里給出了一種基于前景理論的風險決策新方法，具體步驟如下：

2.1 建立正負灰色關聯(lián)系數(shù)矩陣

依據(jù)前景理論，本文采用TOPSIS思想，以正（負）理想方案為參考點來衡量決策的收益和損失。根據(jù)定義3可確定正理想方案x+和負理想方案x-，又由灰色關聯(lián)分析法可知，決策者el關于方案xi與正（負）理想方案x+，x-的關聯(lián)系數(shù)分別為：

則個體決策者el直覺模糊評價下的正負關聯(lián)系數(shù)矩陣可以表示為若直覺模糊決策矩陣出現(xiàn)殘缺，例 Rl，則

2.2 構建正負前景價值矩陣

本文將前景價值函數(shù)代替灰色關聯(lián)系數(shù)[14，15]，依據(jù)前景理論，若方案優(yōu)于負理想方案，則方案是收益的，人們常?；乇茱L險。若方案xi劣于正理想解方案，則方案是損失的，人們常常追求風險。

在決策者el的直覺模糊評價下，方案xi的各準則對應的前景價值函數(shù)為：

根據(jù)Kahneman和Tversky[16]的試驗測定，式中θ=2.25，α=β=0.88。決策專家el評價下的正負前景矩陣為如果直覺模糊決策矩陣出現(xiàn)殘缺，例Rl，則在后續(xù)計算中，將當作0計算。

在決策者el的直覺模糊評價下，方案xi的各準則對應的決策權重函數(shù)為：

其中，根據(jù)Kahneman和Tversky[16]的試驗測定，式中r+與r-分別取0.61和0.69。

2.3 構建最大綜合前景值改進模型

在決策者el評價下，若直覺模糊決策矩陣沒有殘缺元素，則方案xi的前景值為正前景值與負前景值之和：

但是在實際問題中，決策者el往往由于某些原因，對于方案xi在屬性oj下不愿意或者不能給出評價信息，導致直覺模糊決策矩陣出現(xiàn)殘缺，因此需要對模型進行改進[15]：

因每個方案xi的評價結果由專家組共同決策，故需對群體專家關于方案xi的前景值加以綜合，本文采用加權算術平均（WAA）算子[17]進行信息集結，即得群決策下方案xi的綜合前景值模型如下：

依據(jù)方案綜合前景值越大越好，構建所有方案綜合前景值最大的非線性改進模型：

其中ωj是屬性oj對應的權重，wl是決策者el對應的權重，W*是最優(yōu)屬性權重向量，H是部分已知屬性權重組成的集合。利用MATLAB中的遺傳算法工具箱對優(yōu)化模型求解，由于遺傳算法每次測算的結果會有細微的差別，為了得到更加可靠的結果，本文選取100次測算結果中maxD最大值對應的權重向量作為最優(yōu)屬性權重向量W*=( )ω1，ω2，...，ωn。

2.4 計算綜合前景值以及方案排序

將最優(yōu)屬性權重W*=(ω1，ω2，...，ωn)帶入公式(9)求得方案綜合前景值向量D=(D1，D2，...，Dm)'，根據(jù)各方案綜合前景值Di的大小將方案進行排序。

3 算例分析

本文在文獻[15]的基礎上提出了解決雙重信息不完全條件下的直覺模糊群組決策問題的方法，適用性較廣，步驟也較為簡化。為了檢驗本文所提出方法的可行性和有效性，下面通過算例分析，在屬性權重不完全條件下、決策信息不完全或者完全兩種情景下分別加以分析驗證。

3.1 決策信息不完全

rl

ij5×5如下：

（1）確定正負理想方案如下：

根據(jù)公式(5)計算得到正負關聯(lián)系數(shù)矩陣如表1至表8所示。

表1 關聯(lián)系數(shù)矩陣η+1

表2 關聯(lián)系數(shù)矩陣η+2

表3 關聯(lián)系數(shù)矩陣η+3

表4 關聯(lián)系數(shù)矩陣η+4

表5 關聯(lián)系數(shù)矩陣η-1

表6 關聯(lián)系數(shù)矩陣η-2

表7 關聯(lián)系數(shù)矩陣η-3

表8 關聯(lián)系數(shù)矩陣η-4

（2）由公式(5)和公式(6)計算得到正負前景價值陣如表9至表16所示。

表9 前景價值矩陣H+1

表10 前景價值矩陣H+2

表11 前景價值矩陣H+3

表12 前景價值矩陣H+4

表13 前景價值矩陣H-1

表14 前景價值矩陣H-2

表15 前景價值矩陣H-3

表16 前景價值矩陣H-4

（3）根據(jù)公式(10)構建最大綜合前景值模型，在測算過程中，將×看作0計算,即：

利用MATLAB中的遺傳算法工具箱對優(yōu)化模型求解，得到最優(yōu)的屬性權重向量W*=(0.1364，0.2000，0.1500，0.2003，0.3122)。

（4）將最優(yōu)權重向量帶入公式(9)，得到各方案最優(yōu)綜合前景值：

根據(jù)綜合前景值的大小對方案排序，可得決策結果為：x4＞x3＞x5＞x1＞x2。

3.2 決策信息完全

若對決策專家給出的決策信息完全信任，不刪除信息，采用本文方法得到的屬性權重向量W*=(0.1001，0.2000，0.1500，0.2000，0.3489)，帶入公式(9)得各方案最優(yōu)綜合前景值：

D=(-0.1163， -0.1411， -0.1253， -0.1001， -0.1250)'

根據(jù)綜合前景值的大小對方案排序，從而得到?jīng)Q策結果為：x4＞x1＞x5＞x3＞x2。

3.3 算例結果的對比分析

本文提出的方法與文獻[18，19]得到的決策結果進行對比分析，結果如表17所示。

表17 算例結果對比

根據(jù)表17，應用本文提出的方法得到的決策結果與文獻[18，19]進行對比分析如下：如果對于決策信息完全信任，則得到的排序結果完全一致；如果對于猶豫度的決策信息表示懷疑，則方案x1和x3位置互換，但是最優(yōu)方案仍然為x4，其他方案的排序也相同。由此可見，本文提出的方法和模型對于屬性權重和直覺模糊決策信息不完全條件下的群組決策問題，具有一定的研究意義。

4 結論

基于前景理論構建最大綜合前景值非線性改進模型，并將其運用到雙重信息不完全的直覺模糊群決策問題中，通過算例的結果對比分析，得出采用本文提出的方法和模型解決屬性權重、直覺模糊決策信息不完全條件下的群組決策問題，具有理論上的可行性和應用上的有效性。