徐章韜

(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院　430079)

1　引言

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)指出：核心素養(yǎng)是各學(xué)科教育留在學(xué)生身上最有價值的必備品格及關(guān)鍵能力，是知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀的整合.核心素養(yǎng)在一個人身上可以體現(xiàn)出不同的水平，從知識理解、經(jīng)知識遷移到知識創(chuàng)造.[1]一個人的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)充分發(fā)展之后，其獲取知識、運(yùn)用知識、創(chuàng)造知識的能力和思維品質(zhì)必大大超出常人.在數(shù)學(xué)學(xué)科中，“問題與解”常常用來測評一個人的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平達(dá)到何種程度.在之前的文章中，已經(jīng)從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的角度論述了“問題之解何處來”[2]，帶著這個問題，深入研讀了章建躍老師的系列作品[3-4]，逐漸明晰了在學(xué)科核心素養(yǎng)的指引下探尋“問題之解”的一般套路.下面通過一些難度較大的問題來說明這種主張及其程序化做法，最后闡述這種主張的教育學(xué)意義.

2　主張及程序

數(shù)學(xué)教學(xué)就是傳授數(shù)學(xué)研究之道，要把“研究”的思想及其設(shè)計引入到課程內(nèi)容的深度分析及問題求解之中，讓學(xué)生獲取數(shù)學(xué)的基本思想方法、基本活動經(jīng)驗，發(fā)展核心素養(yǎng).

下面是一些可操作的具體程序.

首先，要明確研究問題是什么.沒有問題驅(qū)動，就沒有數(shù)學(xué)，更沒有作為研究結(jié)果的知識.如，驅(qū)動向量產(chǎn)生的問題之一就是如何計算方向，驅(qū)動三角函數(shù)產(chǎn)生的問題之一就是如何刻畫周期現(xiàn)象.要從生活現(xiàn)實、數(shù)學(xué)現(xiàn)實和科學(xué)現(xiàn)實中發(fā)現(xiàn)和提出問題，并把其表述成一個數(shù)學(xué)問題.

其次，要明確研究對象是什么.研究對象就是分析單位.如，長度、角度、面積是平面幾何中的基本研究對象，探究這些對象本身，及它們之間有何關(guān)聯(lián)，便演繹出了很多精彩的內(nèi)容.

再次，要選好研究工具.明確了研究問題和對象之后，就要選擇恰當(dāng)?shù)难芯抗ぞ?如，不能把單位圓僅僅看作是需要掌握的一個知識點，而應(yīng)當(dāng)把其還原或視為解決三角函數(shù)的有力工具，要把知識點還原成認(rèn)識工具[5].同一個問題，由于個體視角的不同，可以看作不同領(lǐng)域的問題，因此便可選擇不同的工具.如同一個問題，有時可以看作一個代數(shù)問題，有時又可以看作一個幾何問題，因此便可選用不同的研究工具，采用不同的研究方法.研究方法即是使用研究工具的方法.

把三方面綜合起來考慮，就是要做好研究設(shè)計.如果把科學(xué)研究的一套程序引進(jìn)教學(xué)研究中來，不僅能對目前教學(xué)研究的思路和方式起到顛覆性地改變，還能讓學(xué)生自然而然地習(xí)得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，找到“從課本到習(xí)題”的正確學(xué)習(xí)路徑，那么解區(qū)區(qū)幾道試題就更不在話下.

3　典型例題分析

普通的試題由于臉譜化了，學(xué)生經(jīng)過大量的訓(xùn)練，早已形成了條件反應(yīng)，似乎不需要遵循上述程序；然而在一些難度較大的試題中，如果遵循上述程序，思考起來就會次序井然，化難為易.單墫先生認(rèn)為，組合數(shù)學(xué)最能反映解題對于數(shù)學(xué)的理解，反映它的靈活性，建議多學(xué)一點組合問題[6].下面所選取的例子都是組合數(shù)學(xué)的.

例1平面上任給1995個不在同一條直線上的點，求證：存在經(jīng)過三個已給點的圓，使得所有的1995個點都不在該圓的內(nèi)部.

分析按“研究問題——研究對象——研究工具” 的程序進(jìn)行分析.

(1)研究問題.本題研究的問題從本質(zhì)上講，是討論點與圓的位置關(guān)系.這些點不在某圓的內(nèi)部，即在該圓上或外部.

(2)研究對象.研究對象是經(jīng)過某三點的圓，以及剩下的1992個點.而且這個圓是依靠某三個點生存的，故從根本上說是研究這三個點.

(3)研究工具.既然是研究平面上的點，那么就應(yīng)知道這些點的大致分布.如，建立平面直角坐標(biāo)系的目的之一就是為了定量地刻畫點的分布.平面上一旦給定了這些點，這些點便可限定在一個矩形中.這是從距離的角度刻畫這些點，故距離是一個研究工具.另外還要從這些點中找到一個圓.憑直覺，若這個圓的半徑充分大，就能把所有的點都包含在里面了，故這個圓的半徑不應(yīng)充分大，應(yīng)比較小才好.而在有限個點中，必定有兩點的距離最小，設(shè)這兩個點為P1,P2.接著還要找到第三個點才能確定這個圓.對平面幾何問題而言，還有一個基本量——角度，故試著把角度作為切入點來思考這個問題.由已知，這1995個點不在同一直線上，因此在直線P1P2外有已知點，考慮這些點對線段P1P2的張角，由P1P2的最短性，顯然，這些張角都是銳角.這些張角至多有1993個，因此必有一個最大角，設(shè)點P3不在直線P1P2上，且∠P1P3P2最大.過P1,P2,P3作一個圓，即是所求的圓.

以下的證明就是順理成章的事情了.由P1P2最短，則在線段P1P2上不可能再有已知的點，所以若已知點在直線P1P2上，也必在P1P2的延長線或其反向延長線上.因此，這些點也在圓之外.

若已知點不在直線P1P2上，考慮除點P1,P2,P3之外，不在直線P1P2上的任意一點記為P，由于∠P1PP2≤∠P1P3P2，故點P必在圓的外部或圓周上.故，命題得證.

一些競賽類書刊上常把這種問題歸結(jié)為極端原理.從上面的分析來看，為何要使用極端原理，何時使用極端原理是很自然的事情.

例2某地區(qū)網(wǎng)球俱樂部的 20 名成員進(jìn)行 14 場單打比賽，每人至少上場一次.求證：必有 6 場比賽，其 12 個參賽者各不相同.

分析按“研究問題——研究對象——研究工具” 的程序進(jìn)行分析.

(1)研究問題.首先這不是一個數(shù)學(xué)問題，而是一個生活問題，要把生活問題符號化、模型化，轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題.這個問題既可以建模成一個圖論問題，也可以建模成一個集合問題.如果把兩個比賽的人組成一個集合，那么研究問題就變成了必有6個集合，這些集合兩兩之交為空集.

(2)研究對象.研究對象不再是某一個體，而是兩個有關(guān)聯(lián)的人，也就是一個二元集.

(3)研究工具.對集合而言，交、并、補(bǔ)使集合能夠運(yùn)算，是研究集合間關(guān)系的重要工具.

兩個人進(jìn)行一場比賽，這時這兩個人可看作一個二元集.由于進(jìn)行了14場比賽，故有14個集合，如果這14個集合兩兩相交均為空集，那么這14個集合的并集總共有28個元素，這顯然不可能.故這14個集合中的某些集合必定有交集，而且形成的交集中元素的個數(shù)是8.這里有有限的幾種情形，可以一一列出來，從而得到結(jié)論.這里僅列舉最簡單的一種，其余的和這種情況是類似的.

記每一組對象為ai和bi.這種最簡單情況是：ai對bi(1≤i≤6)，在剩下的8組里，是a1對bi(7≤i≤14)，即a1這個元素共出現(xiàn)了9次，而各bi各不相同.這是符合結(jié)論的.

這個問題也可建模成一個圖論問題，那么由于研究問題和研究對象不一樣了，使用的研究工具也不一樣了.

例3p個男孩和q個女孩圍坐在一個圓周上，將相鄰兩個男孩的組數(shù)記為a，相鄰兩個女孩的組數(shù)記為b，求證：a-b=p-q.

分析按“研究問題——研究對象——研究工具” 的程序行分析.

(1)研究問題.這是一個生活問題，首先要進(jìn)行符號化和數(shù)字化，使其轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題.這個問題說到底是一個計數(shù)問題.

(2)研究對象.這里的研究對象不僅僅是具體的人，而是人與人之間的關(guān)系，如相鄰男、女的組數(shù).為了便于計量，必須要把具體的人進(jìn)行數(shù)量化，然后轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題.如把男孩視作+1，女孩視作-1，那么這個生活問題就成了一個數(shù)學(xué)問題：在一個圓周上分布著p個“+1”，q個“-1”，共有a組相鄰的兩個“+1”，b組相鄰的兩個“-1”，求證：a-b=p-q.

(3)研究工具.計數(shù)問題的研究工具有方程，可以算兩次.

從上面的論述中，可以看到有時研究問題和研究對象交織在一起，兩者之間的關(guān)系一時難以理清.這時，可以適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類.一類是從問題到對象，抽象出數(shù)學(xué)問題之后，然后進(jìn)一步明確這個數(shù)學(xué)問題是圍繞哪一類對象展開的，由此自如地確定合適的研究工具，這實際上是“應(yīng)用已有數(shù)學(xué)知識解決問題”.如把上面的例2抽象成一個圖論問題，那么就知道這個問題圍繞度、邊等對象而展開的.如果把已有工具用得十分嫻熟，那么“草木均可為劍”；若能發(fā)明新工具，那就具有重大的革新意義了.另一類是從對象到問題，就是要研究一個數(shù)學(xué)對象，以及如何確定研究內(nèi)容(即研究問題)及相應(yīng)的研究工具和方法.例如，要研究一個三角形，就要從明確研究對象開始，實際上就是要明確它的組成要素、內(nèi)涵，再明確研究的路徑和線索.這類研究是有基本套路的，而這些基本套路正是學(xué)生要獲取的數(shù)學(xué)基本活經(jīng)驗.

4　分析與討論

教師知識的研究成果支持了上述主張.MKT(面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識)中的SCK(教學(xué)用的內(nèi)容知識)是教師為了教學(xué)必須具備的一種獨特的數(shù)學(xué)知識，并能對教學(xué)的目標(biāo)走向起到戰(zhàn)略定向作用的知識，是指能推動某一主題發(fā)展的研究問題及研究動機(jī)的知識，是解決這一問題的研究方法和研究手段的知識，是得到的研究結(jié)果又如何解釋，如何運(yùn)用的知識[7].從上面的實例還可以看到，這種知識不但可作為教師教育取向地理解數(shù)學(xué)的一種框架，也可作為“問題之解如何來”的一種思考框架.教師若具備了這種知識，對教材內(nèi)容的解讀方式將會發(fā)生深刻的變革，不再熱衷于解題技巧的討論，而會在教學(xué)中以“事實——概念——性質(zhì)(關(guān)系)——結(jié)構(gòu)(聯(lián)系)——應(yīng)用”為明線，以“事實——方法——方法論——數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)觀”為暗線[2]在本質(zhì)上進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué).有研究表明，西方的MKT和中國的教育數(shù)學(xué)，具有異曲同工之妙[7].從數(shù)學(xué)出發(fā)，做教育數(shù)學(xué)，教好數(shù)學(xué)，是教師專業(yè)發(fā)展的一個動向.

教師的教育科學(xué)研究、數(shù)學(xué)教育研究可以使教師更好地從事本職工作.長期以來，為了提高教師的專業(yè)水平，各級教育主管部門或?qū)＜覀兲栒俳處熥鲅芯啃徒處?這種主張或提法本身沒有錯，但在實踐的過程中，就會在一定程度上使教師身心俱疲.一線教師的教學(xué)研究，不能用教育研究來取代，而應(yīng)尋找兩者之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián).教學(xué)研究和教育研究各有側(cè)重點.教育研究可能更側(cè)重于理論研究或事物間關(guān)系的探求；教學(xué)研究可能更側(cè)重于解釋教學(xué)中的實踐問題，可能更像工程一樣，如一節(jié)課的教學(xué)難點如何突破、教學(xué)重點如何確定等等.一直以來，由于教學(xué)研究沒有科學(xué)研究方法論的指導(dǎo)，被人們稱之為經(jīng)驗研究.但是通過上面的論述，如果采用“研究問題——研究對象——研究工具”的框架做教學(xué)研究，不但可以加深教師對教育教學(xué)研究方法的理解，而且加深了對數(shù)學(xué)本身的理解.要做好教育理論研究，從根本而言就是要對由“研究問題——研究對象——研究工具”構(gòu)成的研究框架有明晰的認(rèn)識；要加深對數(shù)學(xué)本身的研究，也要從方法論的高度把作為研究結(jié)果的數(shù)學(xué)解讀出來，也要回答上述幾個方面的問題.故強(qiáng)調(diào)“研究問題——研究對象——研究工具”的研究框架，早已超越了本文所論述的問題本身，具有更大的意義.