龐　月　李春蘭

(內(nèi)蒙古師范大學數(shù)學科學學院　010022)

勾股定理被稱為千古第一定理，它揭示了直角三角形的三條邊之間的關系，一直以來受到人們的廣泛關注.迄今為止，知道該定理已有400多種證明方法.各套初中幾何教科書中勾股定理章節(jié)中證明方法的編排代表了我國各時期幾何證明的教學理念.初中階段幾何證明的學習是知識的靈活運用、思維的分析和綜合的過程，因此有必要從學習幾何證明的角度培養(yǎng)學生的邏輯推理能力.Mammana&Villani指出：如果學生在初中階段沒有學會幾何證明的話，那么，他們可能永遠失去了這個機會.**基金項目：本文是“內(nèi)蒙古師范大學研究生科研創(chuàng)新基金資助項目(課題主持人：龐月)的研究成果”.**本文通訊作者：lichunlan@imun.edu.cn①轉(zhuǎn)引自:鮑建生,周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海:上海教育出版社,2009:280數(shù)學大師陳省身在接受采訪時談到對于推理證明的看法：“學生應該學會推理，推理很要緊，推理不僅在數(shù)學，在其他學問里也是要用到的.”*周雪梅.中美幾何教材內(nèi)容中的推理與證明的比較研究[C].上海:華東師范大學,2012:3

證明是一種推理或者提出論據(jù)以說服某個人接受一種信念*(美)貝爾.中學數(shù)學的教與學[M].許振聲,譯.北京:教育科學出版社,1990:339，察古觀今，“證明”始終作為培養(yǎng)學生邏輯思維能力的重要手段，是數(shù)學學習的重中之重，是初中生必須掌握的一項基本技能.勾股定理的教育價值不僅在于其豐富的文化思想，它還是培養(yǎng)學生幾何推理證明的典型素材.自20世紀以來，幾何教科書中對證明的要求以及證明內(nèi)容的編排時移勢遷.勾股定理始終是幾何教科書中的經(jīng)典內(nèi)容.故本文以1951-2000年人民教育出版社出版(以下簡稱“人教版”)的10套全國通用中學數(shù)學教科書中“勾股定理”的證明方法為研究對象，對不同時期各套教科書中的勾股定理證明方法之編排進行研究，闡述不同版本中“勾股定理”證明方法的編排特點.但由于1966—1976是文化大革命的十年，教育系統(tǒng)遭到破壞，沒有全國統(tǒng)編的數(shù)學教科書，因此該階段教科書在本文不做研究.

1　人教版數(shù)學教科書中“勾股定理”證明方法編排概述

1.1　培養(yǎng)邏輯應用能力本位時期(1951—1963)

建國初期，教育部提出“以蘇為鑒”的教育方針，并要求幾何教學的目標應是發(fā)展學生的邏輯的思維和對于空間的想象力，并使他們運用所學到的知識去解決實際問題：進行實地測量，測定各種建筑物的表面積和容積等等.在這一方針的指導下，國家先后共頒布五個教學大綱，人教社分別出版了全國通用的第1套(1951年)、第2套(1954年)和第3套(1960年)初中幾何教科書.其中第2、3套初中幾何教科書中未編排勾股定理內(nèi)容.*根據(jù)1954年《中學數(shù)學教學大綱》(修訂草案)，將“勾股定理”內(nèi)容編排在由余元慶、奚今吾、管承仲、呂學禮編寫的《高級中學課本平面幾何》(二冊)，以供高中一年級學生學習.勾股定理則出現(xiàn)在第二分冊的第三章“三角形中及圓中各線段間的相互關系”中，證明方法是比例中項法

1950年，人民教育出版社成立后，根據(jù)教育部頒發(fā)的《數(shù)學精簡綱要(草案)》對舊課本進行修訂、改編，出版了《初級中學平面幾何課本二冊》(上冊1951年3月原版，下冊1951年8月原版)，即為第1套初中幾何教科書，以滿足全國開學后之需要.該套書在編輯大意中寫到：“本書對于定理的證明，理由敘述的很少，這是因為留作教學時教師們便于隨時發(fā)問使讀者自行思索.”

在該套書中，勾股定理章節(jié)編排在下冊的第三章§220中，關于勾股定理的內(nèi)容闡述及證明方法如下：

定理直角三角形的兩條直角邊的平方的和等于它的斜邊的平方.

[假設]△ABC的C角是直角，∠A,∠B和∠C所對的邊分別是用a,b和c表示.

[終結(jié)]a2+b2=c2.

[證明]在下圖中作CD⊥AB,設AD=d則DB=c-d，由AB∶AC=AC∶AD和AB∶CB=CB∶DB，

即c∶b=b∶d和c∶a=a∶c-d.

∴b2=cd和a2=c(c-d)=c2-cd，兩式相加就得a2+b2=c2.

在該套教科書中直接給出勾股定理的表述，并用比例中項的方法證明，比例知識是初中算術的主要內(nèi)容，課標要求比例的運算道理是初中教學算術的主要教學目的.運用比例中項法是在學生已掌握原有知識的基礎上從圖形出發(fā)，數(shù)形結(jié)合，以分析法證明勾股定理.這不僅與其他科目相輔相成，符合學生的知識結(jié)構(gòu)特征，而且該方法是各套教科書中最為簡潔的一種.在證明之后又介紹了勾股定理的另外兩個名稱的由來，即畢達哥拉斯定理和商高定理，并重視對該定理的應用，介紹了如何利用一根繩子測量直角，同時說明了這一方法我國在很早就已應用.

1.2　培養(yǎng)邏輯推理能力本位時期(1963—1999)

隨著國際上數(shù)學教育現(xiàn)代化的興起，我國進入了數(shù)學教育改革的激進時期.1963年教育部頒布的《全日制中學數(shù)學教學大綱(草案)》中第一次明確提出要培養(yǎng)學生的“正確而且迅速的計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”.這一提法，將邏輯推理能力放在了突出的位置，并正視了幾何證明的重要性.在此后的30余年的時間內(nèi)，培養(yǎng)學生的三大能力成為數(shù)學主要的教學目的，并先后出版了第4至9套幾何教科書.

(1)第4套幾何教科書

1963年的教學大綱要求：“中學幾何雖與歐式幾何不同，但便于培養(yǎng)他們推理論證的能力，也應該在學生能夠接受的條件下，力求邏輯的嚴謹性.”*課程教材研究所.20世紀中國中小學課程標準教學大綱匯編(數(shù)學卷).[M].北京:人民教育出版社,2001:437根據(jù)這一綱領，人教社出版了第4套全國通用幾何教科書《初級中學課本平面幾何(暫用本)》第一冊(1963年第2版)和第二冊(1964年第2版).勾股定理內(nèi)容出現(xiàn)在第一冊的第五章“多邊形的面積”中，§5.8直接給出勾股定理的表述，如下：

5.8勾股定理 我們把直角三角形的兩條直角邊分別叫做勾和股，把斜邊叫做弦(如圖).直角三角形的勾、股、弦之間，有下面定理所說的關系.

勾股定理直角三角形弦上正方形的面積，等于勾上正方形面積與股上正方形面積的和.

已知：ABC是直角三角形，BCDE是它的斜邊BC上的正方形，ABFG和ACHK分別是它的直角邊AB和AC上的正方形，求證：正方形BCDE的面積=正方形ABFG的面積+正方形ACHK的面積.

證明：作AL⊥BC交BC于M、交ED于L；那么正方形BCDE被分成兩個矩形.所以

正方形BCDE的面積=矩形BMLE+矩形MCDL的面積.

連結(jié)AE和CF.由于矩形BMLE和△ABE有公共的底BE和相等的高(都等于平行線AL和BE間的距離)；所以矩形BMLE的面積=△ABE的面積×2.

又由于正方形ABFG和△FBC有公共的底FB和相等的高(都等于平行線GC和FB間的距離)；所以正方形ABFG的面積=△FBC的面積×2.

另一方面，在△ABE和△FBC中，AB=FB，BE=BC(正方形的四條邊都相等)，∠ABE=∠FBC(都等于∠ABC與一個直角的和)；∴△ABE?△FBC，從而△ABE的面積=△FBC的面積.∴矩形BMLE的面積=正方形ABFG的面積.用同樣的方法，連結(jié)AD和BH，可以證明矩形MCDL的面積=正方形ACHK的面積.∴正方形BCDE的面積=正方形ABFG的面積+正方形ACHK的面積.

根據(jù)勾股定理可以知道，如果直角三角形的勾、股、弦分別是a、b、c，那么a、b、c之間有下面的關系：c2=a2+b2.

勾股定理這一章節(jié)采用“定理”—“已知”—“證明”的編排結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)嚴謹，直截了當.證明過程用了一頁篇幅之多，是各套教科書中證明過程最為嚴密的一套，同時，也明確了歐幾里得公理體系的地位.在歐幾里得證法之后，又以“趙爽弦圖”輔助證明，闡述較簡潔，僅說明了這種方法記載于趙爽的《勾股方圓圖注》中，利用面積相等法即可證明勾股定理，說明了我國古代數(shù)學的輝煌成就.同時，該章節(jié)的不足之處在于勾股定理的表述并不明確，僅說出直角三角形三邊的幾何關系，即“弦上正方形的面積，等于勾上正方形面積與股上正方形面積的和”，容易造成學生理解誤區(qū)，故在之后的數(shù)學教科書中未再采取該表述方式.

(2)第5套幾何教科書

1978年頒布的《全日制十年制學校中學數(shù)學教學大綱(試行草案)》是文革后的第一個教學大綱，并以此發(fā)行了《全日制十年制學校初中課本(試用本)數(shù)學》(6冊)，這是建國以來第一套混編通用數(shù)學教科書.勾股定理內(nèi)容位于第三冊(1978年第1版)的第四章“直角三角形”中，§2.17勾股定理編排方式如下：

如圖，三角形ABE、BCF、CDG、DAH是四個全等的三角形，它們的兩條直角邊分別等于a和b，斜邊等于c，把這四個直角三角形拼成如圖所示的四邊形ABCD,那么四邊形ABCD的面積等于這四個直角三角形的面積與四邊形EFGH的面積的和.

∵AB=BC=CD=DA=c，

∠DAB=∠EAB+∠HAD=∠EAB+∠EBA=Rt∠,

同理，∠ABC=∠BCD=∠CDA=Rt∠，

∴ 四邊形ABCD是正方形，它的面積等于c2.

∵EF=FG=GH=HE=b-a，∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=Rt∠,

∴ 四邊形EFGH是正方形，它的面積等于(b-a)2.

即a2+b2=c2.

勾股定理在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊平方的和.

該套教科書，以我國《周髀算經(jīng)》中“勾三股四弦五”的記載引入，利用“趙爽弦圖”的方法證明，做到從特殊到一般的歸納推理形式.這是在教科書中首次使用以“趙爽弦圖”進行推理證明，并在腳注中注明了這個方法出自于趙爽的《勾股方圓圖注》.但是“趙爽弦圖”的拼圖思路及拼圖過程并沒有闡述，這樣的教學方式固化了學生的思維，限制了學生自由探索勾股定理奧秘的思路.這是東方數(shù)學教學的一大弊端.教科書的編寫首次擴大了公理體系，勾股定理的逆定理首次被編排在這一章節(jié)中，并用反證法予以證明，這是培養(yǎng)學生的邏輯思維能力的強有力手段.足以見得，對幾何證明的重視程度正在不斷提高.在章末,傳說中的畢達哥拉斯證明勾股定理的方法以習題的形式出現(xiàn)，但遺憾的是，并未介紹這一證法的名稱及由來.

(3)第6、7套幾何教科書

第7套初中幾何教科書(1989年)是第6套初中幾何教科書的改編本，因此關于勾股定理內(nèi)容編排并無差異，在此以第6套初中幾何教科書為例，闡述勾股定理的證明方法.

1982年4月《全日制六年制重點中學數(shù)學教學大綱(征求意見稿)》中指出：教學中要積極啟發(fā)、引導學生進行歸納、演繹、分析、綜合、抽象、推廣，使學生形成正確的數(shù)學概念，理解法則定理以及各種方法.*課程教材研究所.20世紀中國中小學課程標準教學大綱匯編(數(shù)學卷)[M].北京:人民教育出版社,2001:488在這一方針指導下， 1983年人民教育出版社數(shù)學編輯室編寫了《初級中學課本幾何》(2冊)，勾股定理被編排在第一冊的第五章“面積、勾股定理”的第二節(jié).

定理直角三角形兩條直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方.

a2+b2=c2

已知，在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b.求證：a2+b2=c2.

證明：如圖乙那樣，取四個與Rt△ABC全等的三角形，放在邊長為a+b的正方形內(nèi)，得到邊長分別為a、b的正方形Ⅰ、Ⅱ.

再將同樣的四個直角三角形，如圖丙那樣放在邊長為a+b的正方形內(nèi)，這時，得到的四邊形Ⅲ也是正方形，并且邊長等于△ABC的斜邊c.

比較乙、丙兩個圖形，正方形Ⅰ、Ⅱ的面積的和a2+b2與正方形Ⅲ的面積c2都是同一正方形面積與4倍△ABC面積的差，所以a2+b2=c2.

1983年版教科書中勾股定理的表述，首次將文字與符號融為一體，使定理表述的更加形象具體.證明方法采用的是上冊練習題中的畢達哥拉斯證法，通過三個小正方形的面積關系，得出定理.在證明過程中，第一次不再采用羅列步驟的形式，而以說理的方式完成證明.這是學生在熟練掌握證明方法及步驟之后，以培養(yǎng)學生分析能力為主要目的，證明步驟可以簡略.這種方式減少了符號描述，抽象性降低，易于理解.歐幾里得證法在例題中以證明題的形式出現(xiàn)，相比于第4套教科書中的證明步驟，較簡略，并說明這種方法是歐幾里得在《幾何原本》中的證明方法.“趙爽弦圖”在課后習題中也以證明題的形式出現(xiàn)，并說明了證法的由來.三種證明方法異曲同工，豐富了學生證明數(shù)學問題的方法和手段.

(4)第8、9套幾何教科書

第8套(1990年)和第9套(1993年)初中幾何教科書關于勾股定理內(nèi)容編排并無差異，在此第8套初中幾何教科書為例，闡述勾股定理的證明方法.

《義務教育三年制初級中學教科書幾何(實驗本)》(第一冊、第二冊1990年第1版，第三冊1991年第1版)是根據(jù)1988年頒布的《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱(初審稿)》編寫的.課標中要求：“使學生能夠用直接證法進行簡單的推理，初步培養(yǎng)觀察、分析、綜合、抽象、概括等能力以及分類、類比等思想，了解反證法，從而提高學生的邏輯思維能力.”*課程教材研究所.20世紀中國中小學課程標準教學大綱匯編(數(shù)學卷)[M].北京:人民教育出版社,2001:568勾股定理證明內(nèi)容設置在第二冊§3.17中，具體編排如下：

勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊的平方.

a2+b2=c2

下面我們用拼圖的方法來證明.

用8個全等的直角三角形.設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像圖中那樣拼成兩個正方形.

這一時期的教科書，呈現(xiàn)的勾股定理的證明方法更加多樣化.以畢達哥拉斯的證法為主要的證明方法.在習題中，“趙爽弦圖”以證明題的形式出現(xiàn).在課后閱讀部分，介紹了證明勾股定理的方法已經(jīng)有幾百種，并呈現(xiàn)了劉徽的青朱出入圖和美國總統(tǒng)加菲爾德證明勾股定理的圖形.力求學生在學會勾股定理的前提下，能從不同思維角度入手，解決同一問題，提高學生的邏輯思維能力.勾股定理的逆定理共給出兩種證明方法，不再拘泥于反證法，而是向合情推理過渡.先闡述勾股定理的逆定理的定義，然后結(jié)合已積累的知識，概括抽象出猜想，最后以實例進行論證.

1.3　培養(yǎng)邏輯推理思想本位時期(2000—至今)

2001年7月頒布的《全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》中提出教育目的應是進一步培養(yǎng)運算能力，發(fā)展思維能力和空間觀念，思維能力主要指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理，會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點.自此，幾何證明教學中的要求不再局限在證明的方法、步驟，而是在證明的過程中嚴謹、合理的證明思想.

(1)第10套數(shù)學教科書

根據(jù)實驗稿的課程標準，人教社于2004年出版了第10套初中幾何教科書，注重對證明本身的理解，而不追求證明的數(shù)量和技巧.在該套教科書中，勾股定理內(nèi)容設置在八年級下冊第十八章中，由學生探究一般直角三角形三邊關系引出勾股定理，并用“趙爽弦圖”證明.具體編排如下：

命題1如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

證明命題1的方法有很多，下面介紹我國古人趙爽的證法.

趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路如下：把邊長為a，b的兩個正方形連在一起，它的面積是a2+b2；另一方面這個圖形可分割成四個全等的直角三角形(紅色)和一個正方形(黃色).把圖(1)中左、右兩個三角形移到圖(2)中所示位置，就會形成一個以c為邊長的正方形圖(3).因為圖(1)與圖(3)都由四個全等的直角三角形(紅色)和一個正方形(黃色)組成，所以它們的面積相等.因此，a2+b2=c2.

這樣我們就證實了命題1的正確性，命題1與直角三角形的邊有關，我國把它稱為勾股定理.

在該套書中，勾股定理自成一章，并配有大量習題，增強對證明意義和必要性的重視.該章節(jié)中，雖然繼續(xù)沿用“趙爽弦圖”為主要的證明方法，但史料介紹是最細致生動的一套，使之明確證明方法的由來.在結(jié)構(gòu)編排上也有所不同，該套教科書僅闡述了證明的思路，進而得出結(jié)論，并沒有證明過程，不同于以前版本的教科書而設置“證明”的字樣.可以看出，該套教科書更重視證明思維的培養(yǎng)，明確證明的思路與過程.在課后閱讀部分中，畢達哥拉斯證法、“趙爽弦圖”的另一種證法以及美國總統(tǒng)加菲爾德的證法的精彩呈現(xiàn)，是學生進一步學習勾股定理的素材.勾股定理及其逆定理的證明是作為探究活動的自然延續(xù)，使學生了解合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，并且證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理.

1.4　小結(jié)

勾股定理的核心即直角三角形三邊之間的關系，在10套全國通用的幾何教科書中，共用了4種方法對其進行證明，分別是比例中項法、歐幾里得證法、畢達哥拉斯證法以及“趙爽弦圖”的證明方法.在課后閱讀及練習題中共提及7種證法，除以上證明方法外，還有美國總統(tǒng)加菲爾德的證法，劉徽的“青朱出入圖”以及弦圖的另一種證法，用以輔助證明、加深理解，詳情見表1.各個時期對勾股定理證明的方法符合時代特征，發(fā)展學生邏輯思維的廣闊性和靈活性是幾何證明的共同要求.

表1　“人教版”10套初中幾何教科書中勾股定理證明方法匯總

比例中項法僅在第1套教科書中使用，其原理是射影定理，被奉為是歷來的經(jīng)典之作.后來算術科目的消失，成為勾股定理證明不再采用比例中項證法的主要原因.歐幾里得證明方法和“趙爽弦圖”是東西方數(shù)學史上璀璨的明珠，兩者相較，歐幾里得證法采用的是分析法，執(zhí)果索因，而“趙爽弦圖”則為綜合法，由因?qū)Ч宫F(xiàn)了文化差異下的不同思維方式，是各自文明中思想傳統(tǒng)的直接體現(xiàn)，是中國的“數(shù)形統(tǒng)一”和古希臘“算術與幾何證明分離”傳統(tǒng)的思維碰撞.在各套數(shù)學教科書中，畢達哥拉斯的證法與“趙爽弦圖”的證法是出現(xiàn)次數(shù)最多的兩種證明方法，其實質(zhì)皆為拼圖法，即利用直角三角形拼成不同的圖形，通過面積相等得出勾股定理.拼圖法與其他方法相比更能聯(lián)系學生生活實際，從已有的知識出發(fā)，啟發(fā)、引導學生進行歸納、推理.兩種方法異曲同工，而畢達哥拉斯證法逐漸被“趙爽弦圖”所取代，培養(yǎng)學生愛國主義情懷和增強民族自豪感的的教學目標可能是主要原因.

2　勾股定理證明方法編排變遷特點分析

2.1　“趙爽弦圖”的證明方法由輔助證明演變?yōu)槿骊U述

第4套教科書中，在歐幾里得證法之后，引入了“趙爽弦圖”的方法輔助證明勾股定理，作為加深理解之用.從第6套教科書至第9套教科書，“趙爽弦圖”都在練習題中以證明題的形式出現(xiàn).在這幾套教科書中，弦圖被介紹為“勾股方圓圖”，原因是趙爽在《勾股方圓注》中證明了勾股定理.第5和10套數(shù)學教科書則在正文中利用大量的篇幅介紹了古人趙爽、“趙爽弦圖”的由來，以及如何利用“趙爽弦圖”證明勾股定理.“趙爽弦圖”是我國歷史上數(shù)學繁榮發(fā)展的表征，在證明過程中融入數(shù)學史，是激發(fā)學生對證明的興趣的基本素材.同時，足以見得，在培養(yǎng)學生證明能力的同時，注重對證明興趣的培養(yǎng).

2.2　歐幾里得證法由正文的全面闡述演變?yōu)槔}證明

古希臘數(shù)學家歐幾里得曾把勾股定理編寫在他所編著的《幾何原本》一書中，并對其證明，證明的方法稱為歐幾里得證明方法.在第4套教科書，勾股定理這一章節(jié)中，利用歐幾里得的證法來證明勾股定理.該方法是純粹幾何圖形之間的關系，不涉及數(shù)，證明是及其嚴格的，但遺憾的是原書中并沒有歐幾里得的相關介紹.第6、7套幾何教科書中，歐幾里得證明方法以例題的形式出現(xiàn)，給出圖形，證明直角三角形三邊關系.由于是例題，證明過程僅呈現(xiàn)主要步驟，簡潔明了，并介紹了這種方法的由來.歐幾里得證法其核心是使用演繹法證明，將數(shù)學的嚴謹性和抽象性相結(jié)合，但后來歐幾里得證法在教科書中的逐漸消失，也是幾何學習不再過度強調(diào)嚴謹性的重要表征.

2.3　拼圖法逐漸成為證明勾股定理的主要方式

第1套和第4套的幾何教科書分別采用比例中項法和歐幾里得證明方法，采用純演繹推理的方式.除此之外，則以拼圖法為主要證明方法，在理性證明的同時兼用實用性證明.第6—9套教科書中采用8個三角形構(gòu)造出兩個不同正方形，利用其面積相等的方法來證明勾股定理.第5套和10套幾何教科書則直接將4個三角形拼補成“趙爽弦圖”，利用不同的面積表示方法進行證明.證明的過程也不再是嚴格的三段論推理，加入了說理的方法，語言更加簡明扼要.圖形的表示也不僅只是靜態(tài)的數(shù)形結(jié)合而是生動形象的描繪了拼圖的過程，感受數(shù)學實證的過程.

3　啟示與建議

縱觀我國50年初中幾何教科書中勾股定理證明之變遷歷程，可以看出，各時期幾何證明的教學均適應當時的社會發(fā)展和教學大綱要求，并逐步受到重視.但方興未艾，未來數(shù)學教科書應從歷史的發(fā)展中擇善而從，為未來數(shù)學學科的發(fā)展做好準備.故回顧人教社出版的10套教科書，在勾股定理章節(jié)編排的建設上，提出以下建議.

3.1　編排體系應力求嚴謹

縱觀10套數(shù)學教科書的發(fā)展史，自第4套教科書出版以來，每每受到許多教師的贊譽，稱贊“六三本好”，認為其優(yōu)點在于內(nèi)容充實，理論、文字嚴謹，編排科學，講解細致，例習題配備合理、充足*李潤泉,陳宏伯,蔡上鶴等.中小學數(shù)學教材五十年(1950—2000)[M].北京:人民教育出版社,2008:231，即編排體系合理、嚴謹.嚴謹合理不僅體現(xiàn)在證明過程中，還表現(xiàn)在知識的呈現(xiàn)方式，結(jié)構(gòu)體系的設計，素材的選配，證明方法的選擇等方面，正如胡敦復所說：“結(jié)構(gòu)不必宏達，見地需獨到，材料不妨淺近而說理務宜精詳.”故此，在編排體系上，之后的勾股定理章節(jié)編寫可從第4套教科書中吸取優(yōu)點，當然，編排內(nèi)容也應符合現(xiàn)代的社會發(fā)展，與時俱進.

3.2　理性證明和實驗性證明能力的培養(yǎng)并重

證明貫穿于數(shù)學教學的始終，證明能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程.義務教育階段要注重學生思考的邏輯性，不要過分強調(diào)推理的形式.F.H.Bell在1978年將證明分為實驗性證明和理性證明，應使這兩種證明方式相輔相成.在勾股定理章節(jié)甚至現(xiàn)今的幾何教科書中，實驗性證明的培養(yǎng)并不受到重視.然而兩種證明形式是既對立又統(tǒng)一的，數(shù)學證明的理解與接受需要實驗性證明的幫助，這是以理解為價值取向的數(shù)學教學的需要，證明結(jié)論的正確性則需要理性證明的確認，單一的理性證明方式能夠有效地培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，但實驗性證明與理性證明相結(jié)合的手腦合一的方式是學好證明更有效的途徑.故在勾股定理這一章節(jié)，證明方法應兼顧實用性證明.

3.3　證明方法的編排應注重證明思想的差異性

勾股定理作為初等幾何的著名定理，現(xiàn)今的證明方法已有400余種，這種“多”不僅體現(xiàn)在數(shù)量上還有證明思路、方法上，不同的證明方法是證明思想差異的產(chǎn)物.要培養(yǎng)學生多角度的證明思維，應將勾股定理證明方法按照證明思路分門別類，使學生更多的了解不同思想實質(zhì)下的證明方法.這不僅是挑戰(zhàn)學生思維的極限，還能夠?qū)⑵矫鎺缀沃械某Ｒ娮C明思路結(jié)合起來，理解不同證明方法間的橫向關系，達到融會貫通的目的.但因數(shù)學教科書篇幅有限，不可能將各種證明思路均呈現(xiàn)，但有些經(jīng)典的證明還是要給出來的.其中我國數(shù)學史上經(jīng)典的“趙爽弦圖”證法和最具嚴謹性的歐幾里得證法皆是學生鍛煉邏輯思維能力的最好素材.因此，以上兩種證法應被編排在勾股定理章節(jié)中，其他證法應根據(jù)時代需求，按照證明思路進行適當編排.