楊建林 周 強(qiáng) 王 錦 沈 煒

(1.江蘇城鄉(xiāng)建設(shè)職業(yè)學(xué)院,常州 213147; 2.謝億民工程科技(常州)有限公司,常州 213000)

0 引 言

樹狀結(jié)構(gòu)是一種具有自然界樹木的形狀且具備一定支承作用的空間結(jié)構(gòu)。最初是由德國建筑師Frei Otto于20世紀(jì)60年代提出,具有多級分支、三維伸展的幾何特點(diǎn),分支覆蓋范圍廣[1]。因此,在不影響使用功能的前提下減少了上部水平構(gòu)件的跨度,使受力更均勻。樹狀柱根據(jù)桿件曲直可分為兩類,一類是直線型樹狀柱,如圖1的斯圖加特機(jī)場候機(jī)廳,采用了三級分叉的樹狀柱,圖2的深圳文化中心“黃金樹”,結(jié)構(gòu)非對稱不規(guī)則,此外還有長沙南站、徐州東站、深圳北站等國內(nèi)高鐵站候車站臺采用的樹狀柱;另一類是曲線型樹狀柱,如圖3的孟買宴會廳,由主干伸出一級曲線分支,再由一級分支伸出多根直線分支,每一分區(qū)的樹枝桿件在同一豎平面內(nèi),圖4的芝加哥某公園太陽能遮陽棚,僅有一級曲線分支,分支在豎平面內(nèi)單向彎曲。

圖1 斯圖加特機(jī)場候機(jī)廳Fig.1 Departure hall of Stuttgart

圖2 深圳文化中心“黃金樹”Fig.2 Golden Tree of Shenzhen culture center

圖3 孟買宴會廳樹狀結(jié)構(gòu)Fig.3 Dendritic structure of Bombay banquet hall

樹狀柱作為結(jié)構(gòu)的主要支承構(gòu)件,其穩(wěn)定性分析和計(jì)算長度確定是必要的。構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題是一個(gè)整體性問題,結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定由構(gòu)件的穩(wěn)定性決定,而構(gòu)件的穩(wěn)定取決于構(gòu)件本身幾何形狀、相鄰構(gòu)件對其的約束以及荷載的分布。合理的穩(wěn)定性分析方法和計(jì)算長度確定方法對于曲線型樹狀柱在工程中的運(yùn)用具有重要意義。

文獻(xiàn)[1]通過有限元軟件ANSYS,在樹狀柱桿件上施加一對集中力,來進(jìn)行線彈性屈曲分析,然后根據(jù)歐拉公式反算計(jì)算長度系數(shù),給出了樹狀柱構(gòu)件計(jì)算長度系數(shù)取值建議。文獻(xiàn)[2]以一個(gè)六柱支承的圓形屋蓋結(jié)構(gòu)為例,進(jìn)行了考慮材料和幾何非線性的屈曲分析,研究了該結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性;然后采用整體模型提取法,找出各樹狀柱桿件失穩(wěn)時(shí)的屈曲荷載系數(shù),求得對應(yīng)屈曲荷載,并按歐拉公式反算計(jì)算長度系數(shù)。文獻(xiàn)[3]以一多級分支樹狀柱為例,推導(dǎo)了有側(cè)移情況下的樹干計(jì)算長度系數(shù)的解析表達(dá)式,并通過有限元法驗(yàn)證了其合理性,并表示多級分叉樹狀柱的分支計(jì)算長度系數(shù)需通過線性特征值屈曲分析來反推。

本文以某樹狀結(jié)構(gòu)工程設(shè)計(jì)為例,從整體結(jié)構(gòu)彈性屈曲穩(wěn)定分析出發(fā),結(jié)合歐拉公式確定曲線型樹狀柱的計(jì)算長度,然后討論了分支矢高比、分支與主干長度比、分支與主干線剛度比對分支計(jì)算長度系數(shù)影響,最后對樹狀結(jié)構(gòu)進(jìn)行了非線性分析。

1 工程概況

該工程塔樓形狀趨于五邊形,39層,結(jié)構(gòu)高度179.97 m,底部三層帶有外擴(kuò)附屬裙房,塔樓東北面有3層附屬裙樓,與塔樓上部結(jié)構(gòu)完全脫開,塔樓幕墻自標(biāo)高57.7 m開始由主塔樓自由延伸至裙樓上方,形成屋面結(jié)構(gòu),屋面結(jié)構(gòu)為空腹桁架體系,為了支承該屋面,在屋面覆蓋范圍內(nèi)設(shè)置樹狀柱,如圖6所示,一級分支為曲線,總計(jì)20棵樹狀柱,主干截面有P500 mm×20 mm、P550 mm×20 mm、P650 mm×30 mm三種,長度為3 m至17.7 m,一級分支截面有P300 mm×20 mm、P350 mm×20 mm、P350 mm×25 mm、P370 mm×20 mm四種,曲線長度為6m至21m,材料為Q345鋼材,一級分支頂部與屋面鋼結(jié)構(gòu)采用剛接。圖7為該工程典型樹狀柱造型。

2 計(jì)算長度系數(shù)確定

2.1 單棵柱計(jì)算長度系數(shù)

樹狀柱分支與主干采用鑄鋼節(jié)點(diǎn),為剛性連接,以Tree-Z02樹狀柱為例,考慮分支上部懸臂、鉸接、剛接三種約束情況,對各個(gè)分支施加一對集中力進(jìn)行線彈性屈曲分析,然后反推計(jì)算長度系數(shù),如表1所示,懸臂時(shí)計(jì)算長度系數(shù)接近3.0,鉸接時(shí)為1.0左右,剛接時(shí)為0.7左右。因此分支上部與主結(jié)構(gòu)采用剛接更有利,除了能減小分支的計(jì)算長度,還可以增加樹狀柱的剛度。

圖6 樹狀柱分布Fig.6 Distribution of dendritic column

圖7 典型樹狀柱造型Fig7 Modeling of dendritic column

表1不同頂部約束時(shí)分支的計(jì)算長度系數(shù)

Table 1 Effective length coefficients of deferent constraint dendritic column

2.2 整體分析方法

為了考慮與樹狀柱分支相連的桿件初始內(nèi)力和約束影響,宜將樹狀柱放入整體模型中分析,來計(jì)算其分支計(jì)算長度系數(shù)。目前的工程實(shí)踐中,對于復(fù)雜空間桿系結(jié)構(gòu)計(jì)算長度系數(shù)的確定主要分3個(gè)步驟:①對主導(dǎo)荷載作用下的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力線性分析得到所分析桿件的軸力作為初始態(tài)軸力;②對主導(dǎo)荷載作用下的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行線性屈曲分析,得到所分析構(gòu)件對應(yīng)的臨界荷載系數(shù);③用所分析構(gòu)件對應(yīng)的臨界荷載系數(shù)乘以其初始態(tài)軸力,得到屈曲荷載,然后根據(jù)歐拉公式反算該構(gòu)件計(jì)算長度系數(shù)[2]:

(1)

但是上述方法要在眾多失穩(wěn)模態(tài)中識別出某根桿件對應(yīng)的失穩(wěn)模態(tài),工作量是巨大的,需要做些改進(jìn)。由于,結(jié)構(gòu)的屈曲模態(tài)與荷載大小無關(guān),而臨界荷載為臨界荷載系數(shù)與初始荷載的乘積,并且本工程案例中,樹狀柱主要受軸向力作用,那么,可以在要分析的桿件上加一對較大的集中力,該構(gòu)件的屈曲臨界荷載系數(shù)就會變小,相應(yīng)的屈曲模態(tài)就會最先得到,可以想到,如果一對集中力足夠大,前幾階屈曲模態(tài)中就能找到該構(gòu)件的屈曲模態(tài)。經(jīng)多次試算,虛擬集中力為主導(dǎo)荷載作用下分支最大軸力的10倍的數(shù)量級時(shí),前幾階屈曲模態(tài)中就能找出分支對應(yīng)的屈曲模態(tài)。事實(shí)上,虛擬集中力大小取該構(gòu)件兩端簡支約束下的歐拉臨界荷載值是最有效的,計(jì)算長度可取約束點(diǎn)間的直線距離,此時(shí)其臨界荷載系數(shù)為個(gè)位數(shù)量級,本工程中分支最大軸力為193.3 kN,對應(yīng)歐拉臨界荷載為1 833 kN,因此本工程虛擬臨界荷載取10倍最大軸力是合適的,當(dāng)用在其他工程上時(shí),建議虛擬集中荷載大小取對應(yīng)的歐拉臨界荷載值。

為了驗(yàn)證本文方法的適用性,取一兩層平面框架,層高3 m,開間6 m,柱底固接,梁柱截面為H300×150×6.5×9,約束樓層水平位移,計(jì)算其一層邊柱和中柱的計(jì)算長度系數(shù),分別為0.662和0.648,規(guī)范值分別為0.706和0.685,計(jì)算值與規(guī)范值相差5%,說明本文方法的合理性。另外,本文方法是基于彈性穩(wěn)定理論求得的屈曲臨界荷載,不適用于有側(cè)移框架。

2.3 整體分析結(jié)果

構(gòu)件的屈曲模態(tài)是局部桿件基于外荷載作用及周邊約束條件下發(fā)生的失穩(wěn),找出所分析構(gòu)件的屈曲失穩(wěn)模態(tài)是確定計(jì)算長度系數(shù)的前提。根據(jù)本文提出的分析方法,選取恒載和活載標(biāo)準(zhǔn)組合作為主導(dǎo)荷載,并在分析構(gòu)件上施加一對集中力,由于“恒載+活載”作用下,分支最大軸力為193.3 kN,因此集中力大小可取103數(shù)量級,本文取1 000 kN進(jìn)行線性屈曲分析。

以Tree-Z02樹狀柱為例,圖8為分支編號,圖9為其前三階屈曲模態(tài)。第1階模態(tài)為支點(diǎn)有側(cè)移的曲線平面外彎扭屈曲,第2階模態(tài)為支點(diǎn)無側(cè)移的曲線平面外彎扭屈曲,第3階模態(tài)為曲線平面內(nèi)彎曲屈曲。由于屋面空腹桁架對各個(gè)支點(diǎn)約束強(qiáng)弱不同,前兩種屈曲模態(tài)先后順序也不同。分支主要發(fā)生曲線平面外的彎扭屈曲。

圖8 Tree-Z02分支編號Fig.8 Branching numbering of Tree-Z02

Tree-Z02樹狀柱的6根一級分支的屈曲臨界荷載、幾何長度和計(jì)算長度系數(shù)見表2,同時(shí)也采用整體模型提取法[3]計(jì)算了Tree-Z02各分支的計(jì)算長度系數(shù),并列于表2中,兩種方法所得分支臨界荷載相差5%左右,而計(jì)算長度系數(shù)相差只有0.02%左右,說明本文方法是可行的。Tree-Z02分支計(jì)算長度系數(shù)為0.7左右,非常接近單棵樹狀柱獨(dú)立分析時(shí)剛接情況。

圖9 Tree-Z02分支屈曲模態(tài)Fig.9 Buckling modes of Branching Tree-Z02

表2Tree-Z02分叉計(jì)算長度系數(shù)

Table 2 Effective length coefficients of Tree-Z02

為了了解虛擬集中力大小對計(jì)算結(jié)果的影響,本文又取了100 kN集中力和1 000 kN集中力結(jié)果對比,以Tree-Z02樹狀柱為例,結(jié)果見表3,可以看出兩種大小的虛擬集中力計(jì)算的臨界荷載十分接近,誤差在0.5%以內(nèi),由此計(jì)算的計(jì)算長度系數(shù)基本相同。但是,1 000 kN集中力作用下的分支屈曲模態(tài)均出現(xiàn)在第1階,而100 kN集中力作用下的分支屈曲模態(tài)出現(xiàn)在第6～16階,其中在前100階屈曲模態(tài)內(nèi)沒有找到6號分支的屈曲模態(tài)?？梢?“足夠大的虛擬集中力”有助于快速甄別分支屈曲模態(tài),而不影響分支臨界荷載大小。

用本文方法計(jì)算了20棵樹狀柱的146根一級分支計(jì)算長度系數(shù)見圖10,由圖可以看出,樹狀柱一級分支的計(jì)算長度系數(shù)為0.6～0.8,與等截面無鉸拱的計(jì)算長度系數(shù)很接近[4]。圖11為分支計(jì)算長度系數(shù)和相同截面的一級分支初彎曲幅值v與分支端點(diǎn)距離L比值的關(guān)系圖,由圖可以看出,計(jì)算長度系數(shù)隨v/L比值總體呈增大趨勢,由于樹狀柱結(jié)構(gòu)幾何造型所限,v/L比值在0.05～0.25之間。圖12為分支計(jì)算長度系數(shù)與分支弧長比關(guān)系,圖13為分支計(jì)算長度系數(shù)與分支主干線剛度之比關(guān)系,規(guī)律不明顯。設(shè)計(jì)時(shí)分支計(jì)算長度系數(shù)可統(tǒng)一取0.8。

表3兩種集中力對應(yīng)的計(jì)算長度系數(shù)

Table 3 Effective length coefficients of two concentrated forces

圖10 樹狀柱一級分支計(jì)算長度系數(shù)Fig.10 Effective length coefficients of first branching structure members

圖11 分支計(jì)算長度系數(shù)與v/L關(guān)系Fig.11 Relationship of effective length coefficients and v/L

圖12 分支計(jì)算長度系數(shù)與分支弧長比關(guān)系Fig.12 Relationship of effective length coefficients and ratio arc length

圖13 分支計(jì)算長度系數(shù)與分支主干線剛度比關(guān)系Fig.13 Relationship of effective length coefficients and main ratio stiffness

3 非線性屈曲分析

取相應(yīng)分支第1階屈曲模態(tài)作為結(jié)構(gòu)的初始幾何缺陷,缺陷最大值為最長分支的1/300,同時(shí)考慮材料非線性,進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性分析。以Tree-Z02樹狀柱為例,其非線性分析結(jié)果如圖14所示,結(jié)構(gòu)失穩(wěn)形式與線性屈曲分析的屈曲模態(tài)不同,是由于分支在曲線平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)導(dǎo)致,分支沿著彎曲方向變形不斷增大,該分支初始軸力100 kN,臨界荷載對應(yīng)的分支軸力為1 100 kN,因此荷載系數(shù)為11,大于規(guī)范[6]規(guī)定的2.0,滿足穩(wěn)定性要求。

4 結(jié) 論

通過對一樹狀結(jié)構(gòu)工程實(shí)例中曲線形樹狀柱計(jì)算長度及穩(wěn)定性研究,得出以下主要結(jié)論:

圖14 考慮雙重非線性的穩(wěn)定分析結(jié)果Fig.14 Stability analysis with geometric and material nonlinearity

(1) 在整體模型提取法基礎(chǔ)上,在分析構(gòu)件上施加一對“足夠大的集中荷載”,可以快速獲得該構(gòu)件屈曲模態(tài),從而計(jì)算構(gòu)件計(jì)算長度系數(shù),與整體模型提取法計(jì)算結(jié)果誤差在0.02%左右,本文方法合理可行。

(2) 分支頂部約束方式對分支計(jì)算長度系數(shù)影響較大,分支頂部宜采用剛性連接;隨著矢高比v/L增大,分支計(jì)算長度系數(shù)有增大趨勢;分支與主干長度比和分支與主干線剛度比對分支計(jì)算長度系數(shù)無明顯影響。

(3) 對于本文所分析的曲線型樹狀柱,當(dāng)分支頂部采用剛接連接時(shí),分支計(jì)算長度系數(shù)在0.6～0.8之間,設(shè)計(jì)時(shí)可統(tǒng)一取0.8。

(4) 曲線型樹狀柱結(jié)構(gòu)的的安全系數(shù)達(dá)到11,大于規(guī)范[6]規(guī)定的2.0,滿足穩(wěn)定性要求。