趙宏宇, 黃得剛, 何啟志, 章衛(wèi)國(guó)

1.兵器工業(yè)集團(tuán) 航空彈藥研究院, 黑龍江 哈爾濱　150036;2.西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安　710129;3.陜西省飛行控制與仿真技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安　710129

我國(guó)著名科學(xué)家錢學(xué)森于1946年首次提出了高超聲速(Ma>5)的概念,能夠超過這個(gè)速度的飛行器包括導(dǎo)彈、火箭和航天飛機(jī),而在大氣層內(nèi)飛行的飛行器還未能以該速度巡航。從戰(zhàn)略偵查的角度來(lái)講,如果偵查飛行器具備了這種高超聲速巡航能力,那么其隱身性能將不再重要。速度是新的隱身,為應(yīng)對(duì)未來(lái)數(shù)十年可能產(chǎn)生的威脅與挑戰(zhàn),提高飛行速度十分必要。正如隱身技術(shù)改變今日的戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境一樣,速度將改變未來(lái)的戰(zhàn)場(chǎng)規(guī)則和作戰(zhàn)模式。

高超聲速飛行條件下,氣動(dòng)熱彈性為主要的物理問題[1-4]。氣動(dòng)熱彈性現(xiàn)象的存在將會(huì)引發(fā)飛行器的外形發(fā)生變化、機(jī)體彈性形變、彈性振動(dòng)等問題,也引入了動(dòng)態(tài)不確定因素[5],這種現(xiàn)象的存在已經(jīng)在美國(guó)SR-71偵察機(jī)上得到了驗(yàn)證[6],另外這種氣動(dòng)熱彈性引起的彈性振動(dòng)是一種極具破壞力的氣動(dòng)彈性不穩(wěn)定現(xiàn)象,劇烈的震顫將會(huì)對(duì)飛行器壁板結(jié)構(gòu)的疲勞壽命甚至飛行器的飛行性能產(chǎn)生十分不利的影響,甚至?xí)?dǎo)致飛行器在短時(shí)間內(nèi)解體[7]。再者,相比于亞聲速和超聲速飛行器來(lái)說,高超聲速飛行器在其控制問題上相對(duì)復(fù)雜[8],原因在于:①以X-43A和X-51A為代表的新一代高超聲速飛行器,普遍采用吸氣式?jīng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)為高速飛行推進(jìn)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案,研究表明,對(duì)于這一類飛行器來(lái)說,推進(jìn)系統(tǒng)與機(jī)身之間存在嚴(yán)重的耦合效應(yīng);②高超聲速飛行器與亞聲速/超聲速飛行器相比有許多不同的飛行特性,有的方面目前還無(wú)法完全掌握,使得高超聲速動(dòng)力學(xué)呈現(xiàn)強(qiáng)不確定性。高超聲速飛行器的不確定性主要來(lái)源于氣動(dòng)特性、氣熱特性和大氣干擾三方面[9-10];③高超聲速飛行時(shí),需要對(duì)飛行包線進(jìn)行保護(hù),一旦偏離飛行包線就會(huì)出現(xiàn)“熱阻現(xiàn)象”,這種熱現(xiàn)象顯著降低飛行器的整體性能,最直接的方法對(duì)航跡角進(jìn)行高精度控制[11];④隨著飛行速度的不斷提高,對(duì)飛行器的實(shí)時(shí)性要求越來(lái)越苛刻,對(duì)于以5馬赫速度飛行的飛行器,每延時(shí)1 ms,就會(huì)產(chǎn)生1.5 m的誤差。因此,控制系統(tǒng)的快速性也是一個(gè)需要解決的問題[12];⑤目前大量文獻(xiàn)中的高超聲速飛行器的控制問題一般只考慮縱向控制,如果加上橫側(cè)向的控制會(huì)使得問題變得更加復(fù)雜[13],因此,橫側(cè)向的控制對(duì)縱向控制的影響需要予以考慮。

對(duì)于高超聲速飛行器的控制問題,國(guó)內(nèi)外已有不少相應(yīng)的研究成果,如魯棒控制[14-16]、Backstepping控制[17-18]、滑模控制[19]、基于優(yōu)化方法的控制[20]、動(dòng)態(tài)逆控制[21]等,雖然這些先進(jìn)控制方法都取得了不錯(cuò)的控制效果,但是對(duì)于上述給出的高超聲速飛行器獨(dú)有的特性來(lái)說,這些控制方法中并沒有給予充分的考慮。本文以高超聲速飛行器在30 km處以6馬赫定速巡航飛行為研究背景,提出一種指令濾波積分動(dòng)態(tài)面backstepping滑?？刂品椒?該方法首先利用一個(gè)二階指令濾波器解決傳統(tǒng)backstepping方法中存在的“計(jì)算膨脹”問題;其次,引入滑?？刂平鉀Q存在匹配不確定性和外界擾動(dòng)的控制問題,采用帶調(diào)節(jié)函數(shù)的自適應(yīng)backstepping方法來(lái)處理存在匹配不確定性的控制問題。為了降低引入滑模控制帶來(lái)的抖動(dòng),本文利用高階滑?？刂频乃枷?在傳統(tǒng)backstepping方法上增加了一個(gè)虛擬控制狀態(tài)方程,將系統(tǒng)的最終輸出作用在一個(gè)積分器上,從而達(dá)到降低滑模抖動(dòng)的目的。這樣所設(shè)計(jì)的控制器不僅可以解決匹配和非匹配不確定性以及外界擾動(dòng)的問題,而且還可以降低引入滑模控制帶來(lái)的抖動(dòng);然而引入一個(gè)附加虛擬控制方程會(huì)導(dǎo)致傳統(tǒng)backstepping方法的“復(fù)雜性膨脹”問題,即隨著系統(tǒng)階次的增加,控制方法設(shè)計(jì)過程中的中間虛擬變量導(dǎo)數(shù)的計(jì)算將會(huì)維持不住[22],而動(dòng)態(tài)面方法可以有效解決這一問題[23]。最后,本文從理論上證明了所提方法的全局穩(wěn)定性,并同時(shí)通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的魯棒性和有效性。

1　高超聲速飛行器6自由度非線性數(shù)學(xué)模型

本文采用高超聲速飛行器的6自由度非線性模型作為研究對(duì)象

(1)

力和力矩的表達(dá)式為[16,26,27]

(2)

nA=nmrc+XcgY

i=1,2,3

式中

(3)

j=T,M,L,D

i=1,2,3

相關(guān)氣動(dòng)系數(shù)具體數(shù)值參見文獻(xiàn)[7,15-16,18,24,26]。

為了便于實(shí)際應(yīng)用中的控制器設(shè)計(jì),需要將(1)式按照縱向和橫側(cè)向解耦的形式進(jìn)行整理變形,可得縱向數(shù)學(xué)模型為

(4)

式中

fα=-tanβ(pcosα+rsinα)+

gα=1

fγ=

fh=0

gh=V

符號(hào)mA(δe)和L(α)表示俯仰力矩和升力的表達(dá)式中含有升降舵和迎角變量,可以利用相應(yīng)的氣動(dòng)關(guān)系導(dǎo)出所需的控制變量。同理橫側(cè)向的數(shù)學(xué)模型為

(5)

式中

由于fμ書寫過長(zhǎng),此處不在給出,按照(1)式中的傾斜角μ的微分方程可以很容易的導(dǎo)出fμ的具體表達(dá)式。另外符號(hào)lA(δa)和nA(δr)表示滾轉(zhuǎn)力矩和偏航力矩中含有副翼δa和方向舵δr變量,利用氣動(dòng)特性可以導(dǎo)出相應(yīng)的控制關(guān)系式。同樣的方法可以得到發(fā)動(dòng)機(jī)推力的數(shù)學(xué)模型為

(6)

式中

至此,根據(jù)(4)～(6)式的形式,很容易實(shí)現(xiàn)縱向?yàn)閔→γ→α→q→δe的控制,橫側(cè)向?yàn)棣獭鷓→δa和β→r→δr的控制,以及空速為V→Φ的控制。同時(shí)根據(jù)非線性數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn),還需要引入各種交叉耦合的影響。下面根據(jù)(4)～(6)式來(lái)設(shè)計(jì)6自由度非線性數(shù)學(xué)模型的控制器。

2　非線性控制器設(shè)計(jì)

2.1　二階指令濾波

本文采用二階backstepping控制方法,這樣推導(dǎo)控制律時(shí)需要計(jì)算期望輸入的二階導(dǎo)數(shù),故這里采用二階指令濾波。假設(shè)濾波器的傳遞函數(shù)如下

(7)

式中，ζ為阻尼比,ωn為濾波器的自然頻率,增加ωn可以使得閉環(huán)控制系統(tǒng)的解任意精度接近求解解析導(dǎo)數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)的解[28-29]。

2.2　積分backstepping控制

為了方便說明問題,本文僅以推導(dǎo)最內(nèi)環(huán)的俯仰角速率控制器的設(shè)計(jì)過程為例,其它控制環(huán)的設(shè)計(jì)過程類似,此處不再贅述。假設(shè)俯仰角速率狀態(tài)變量為x1,實(shí)際升降舵控制變量為x2,引入的虛擬控制u,則有

(8)

式中

首先定義位置誤差為

z1=x1-zd

(9)

式中，zd為狀態(tài)x1期望的輸入指令信號(hào),則

(10)

定義

z2=x2-α1

(11)

(12)

定義Lyapunov函數(shù)

(13)

并定義

(14)

式中，Γ是正定矩陣,V1對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(15)

令

(16)

τ1=φ1z1

(17)

從而可得虛擬控制量α1為

(18)

式中，c1>0,并將α1通過一個(gè)一階濾波器

(19)

這樣可以利用(19)式直接得到α1的一階導(dǎo)數(shù),無(wú)需再計(jì)算α1的解析一階導(dǎo)數(shù),因?yàn)殡S著系統(tǒng)階數(shù)增加,α1各階導(dǎo)數(shù)的解析形式十分復(fù)雜。

再對(duì)(11)式求導(dǎo)可得

(20)

(21)

如果z2=0,則V1≤0,為此需要進(jìn)行下一步的設(shè)計(jì)

定義Lyapunov函數(shù)

(22)

對(duì)V2求導(dǎo)可得

(23)

由此可見,當(dāng)采用動(dòng)態(tài)面后,推導(dǎo)自適應(yīng)backstepping方法的第二步時(shí),彈性模態(tài)部分也被包含在中間虛擬變量α1中,同樣無(wú)須計(jì)算彈性模態(tài)的導(dǎo)數(shù),降低了backstepping方法的復(fù)雜性。

(24)

(25)

(26)

整理可得最終的虛擬控制量u為

(27)

從而可得

(28)

由(27)式可見,相比于傳統(tǒng)的backstepping方法,所得最終控制律的形式十分簡(jiǎn)潔。

以上可稱為標(biāo)稱系統(tǒng)的控制律設(shè)計(jì),可以記為ueq=u,為了保證系統(tǒng)對(duì)外界的擾動(dòng)和匹配不確定性的魯棒性,設(shè)計(jì)切換控制律usw為

usw=-εsgn(s)-ks

(29)

式中，s為

s=λ(z1+z2)

(30)

式中，ε>0,k>0,λ>0,sgn(·)為符號(hào)函數(shù),從而系統(tǒng)總的輸出量為

U=ueq+usw

(31)

將(31)式的結(jié)果積分后恰為模型所需的升降舵控制輸入x2,該指令濾波積分backstepping滑模控制的結(jié)構(gòu)方框圖如圖1所示。

圖1　指令濾波積分動(dòng)態(tài)面backstepping滑?？刂平Y(jié)構(gòu)圖

3　控制器的穩(wěn)定性分析

為了分析控制器整體的穩(wěn)定性,首先分析動(dòng)態(tài)面Backstepping控制的穩(wěn)定性,為此給出如下假設(shè)1和定理2。

定理1考慮非線性系統(tǒng)(8),給定非線性特性和不確定性滿足假設(shè)條件1,則對(duì)于任意初始狀態(tài),存在面增益系數(shù)ci,i=1,2和時(shí)間常數(shù)ε1使得動(dòng)態(tài)面backstepping控制器能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂到原點(diǎn)。

證明略,詳細(xì)證明過程參見文獻(xiàn)[22]。

得到動(dòng)態(tài)面backstepping控制的穩(wěn)定性之后,需要繼續(xù)證明指令濾波動(dòng)態(tài)面積分backstepping滑?？刂破鞯姆€(wěn)定性。不失一般性,假設(shè)圖1中的虛線內(nèi)為一般非線性控制系統(tǒng)為

(32)

式中，y為實(shí)際控制輸入經(jīng)過指令濾波器后的控制量,同時(shí)將(7)式指令濾波器轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間形式

y=hξ,ξ∈Rq,u∈R

(33)

(34)

假設(shè)當(dāng)y=0時(shí),系統(tǒng)(32)在平衡點(diǎn)x=0處全局穩(wěn)定,且存在Lyapunov函數(shù)V(x)滿足

(35)

式中，W(x)正定。此時(shí)需要解決系統(tǒng)(34)是否為全局穩(wěn)定的問題,該問題可以轉(zhuǎn)化為鎮(zhèn)定系統(tǒng)(33)不影響系統(tǒng)(32)穩(wěn)定性的問題。

假設(shè)2系統(tǒng)(A,b,h)為反饋正實(shí)系統(tǒng),即對(duì)于系統(tǒng)(33),存在線性反饋?zhàn)儞Qu=Kξ+v,使得(A+bK)是Hurwitz的,且存在p>0,Q≥0滿足

(A+bK)TP+P(A+bK)=-Q

Pb=hT

(36)

引理設(shè)V(x)為系統(tǒng)(32)的Lyapunov函數(shù),且滿足式(35)。如果(A,b,h)是反饋正實(shí)系統(tǒng),那么系統(tǒng)(34)的Lyapunov函數(shù)為

Va(x,ξ)=V(x)+ξTPξ

(37)

且控制律

(38)

因?yàn)閂a徑向無(wú)界,且Va的導(dǎo)數(shù)為負(fù)半定,故x(t)和ξ(t)全局有界。此外LaSalle定理保證了x(t)和ξ(t)收斂到Ea的最大不變集Ma上。為了說明鎮(zhèn)定系統(tǒng)(33)不影響系統(tǒng)(32)的穩(wěn)定性,首先證明圖1中虛線框內(nèi)的積分動(dòng)態(tài)面backstepping滑模控制器的穩(wěn)定性。

定理2對(duì)于系統(tǒng)(8),采用控制律(31)可以使系統(tǒng)(8)漸近穩(wěn)定。

證明:根據(jù)等效控制理論可知,為使設(shè)計(jì)的控制律U穩(wěn)定系統(tǒng)(8),需滿足滑模穩(wěn)定條件[31],則定義Lyapunov函數(shù)

(39)

將其對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得

(40)

整理可得

(41)

定理3如果y=0時(shí),系統(tǒng)(32)在平衡點(diǎn)x=0處為全局漸近穩(wěn)定,那么系統(tǒng)(33)在平衡點(diǎn)x=0,ξ=0處也為全局漸近穩(wěn)定。

定理4如果內(nèi)回路控制為全局漸近穩(wěn)定,那么外回路控制亦為全局漸近穩(wěn)定。

證明假設(shè)內(nèi)回路俯仰角速率控制系統(tǒng)的跟蹤誤差為eq,針對(duì)外回路的迎角控制,需要考慮內(nèi)回路對(duì)外回路的影響,為此選取Lyapunov函數(shù)為

(42)

(43)

(44)

即內(nèi)環(huán)俯仰角速率若為全局漸近穩(wěn)定,那么其外環(huán)的迎角控制也為全局漸近穩(wěn)定。由此易知,外環(huán)的航跡角控制和高度控制,各個(gè)回路均為全局漸近穩(wěn)定;同理可知,橫側(cè)向控制系統(tǒng)亦為全局漸近穩(wěn)定。至此,證明了所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)能夠保證高超聲速飛行器6自由度非線性數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)定性。

4　仿真計(jì)算驗(yàn)證

臨近空間指的是20～100 km的空間范圍,本文假設(shè)高超聲速飛行器以6馬赫的速度飛行,飛行高度為30 km,該高度屬于平流層,臨近空間平流層的氣流運(yùn)動(dòng)相對(duì)穩(wěn)定,氣流以水平運(yùn)動(dòng)為主,根據(jù)NASA給出的35 km以內(nèi)的平均風(fēng)速隨高度的變化曲線示意圖可知30 km處的風(fēng)速平均為14 m/s左右[33],故本文利用Matlab中的Dryden風(fēng)場(chǎng)模型,在高超聲速飛行器過程中加入14 m/s的常值風(fēng)干擾,并將文獻(xiàn)[7,14-15,17,21]給出的所有氣動(dòng)數(shù)據(jù)攝動(dòng)+20%,以此來(lái)驗(yàn)證所提方法的控制效果。

初始條件設(shè)定為

x0=[h,V,γ,μ,α,β,p,q,r]=[30 000,5 859.7,0,

0,0.447 88°,-0.1,0,0,-0.082]，仿真時(shí)間設(shè)定為50 s,以高度30 km定高飛行時(shí),6馬赫對(duì)應(yīng)的飛行速度為5 859.7 m/s,仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2　高度跟蹤　　　　圖3　高度跟蹤誤差　圖4　速度跟蹤

圖5　速度跟蹤誤差　　　　圖6　航跡角跟蹤　圖7　側(cè)滑角跟蹤

圖8　彈性模態(tài)的分量

圖9　彈性模態(tài)分量的疊加　　　圖10　升降舵偏轉(zhuǎn)　圖11　燃料當(dāng)量比

利用文獻(xiàn)[16, 24]中給出的氣動(dòng)熱引起的彈性振動(dòng)表達(dá)式得到的仿真結(jié)果如圖8和9所示,圖8給出了彈性模態(tài)的3個(gè)分量,圖9給出彈性模態(tài)3個(gè)分量的疊加結(jié)果,將這三者疊加后分別作用在升力、阻力、俯仰力矩和推力力矩上,以此來(lái)模擬氣動(dòng)彈性熱對(duì)高超聲速飛行器定速巡航時(shí)的影響。根據(jù)仿真圖8和圖9可知,當(dāng)所有氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)+20%時(shí)(彈性模態(tài)參數(shù)同樣攝動(dòng)+20%),由于迎角、升降舵和彈性模態(tài)之間的耦合影響,使得舵面偏轉(zhuǎn)加劇的同時(shí),彈性模態(tài)分量的變化也隨之加劇,從而使得疊加后的彈性模態(tài)振動(dòng)加劇,顯著影響高度跟蹤的精度;從圖2～圖7的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),氣動(dòng)參數(shù)未攝動(dòng)的情況下,高超聲速飛行器可以很好實(shí)現(xiàn)高度的跟蹤、航跡角的跟蹤、側(cè)滑角的跟蹤和速度的跟蹤控制,然而當(dāng)所有的氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)+20%之后,去掉滑?？刂频目刂菩Ч@然要差,這樣從實(shí)驗(yàn)的角度說明了滑?？刂圃谔幚砥ヅ洳淮_定性和外界擾動(dòng)問題的優(yōu)越性。然而,即便是所有的氣動(dòng)參數(shù)攝動(dòng)+20%之后,本文所提控制方法能夠保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性,而且跟蹤誤差成漸近收斂的趨勢(shì)。另外,根據(jù)圖6的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,航跡角約在1°范圍內(nèi)進(jìn)行波動(dòng),系統(tǒng)不會(huì)出現(xiàn)“熱阻現(xiàn)象”。再者,在設(shè)定的50s仿真時(shí)間內(nèi),升降舵的偏轉(zhuǎn)如圖10所示,該實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,在飛行器高超聲速飛行時(shí),升降舵的偏轉(zhuǎn)角度在規(guī)定的范圍內(nèi)偏轉(zhuǎn),同時(shí)觀察圖10右下方的小圖,該小圖表明所設(shè)計(jì)的控制器沒有因?yàn)橐肓嘶？刂贫a(chǎn)生抖動(dòng)現(xiàn)象;值得注意的是在仿真開始時(shí),舵面的調(diào)整幅度較大,原因在于氣動(dòng)熱彈性模態(tài)引起的振動(dòng)較大,需要利用升降舵的偏轉(zhuǎn)對(duì)其進(jìn)行抑制。而在參數(shù)未攝動(dòng)的情況下,隨著氣動(dòng)熱彈性振動(dòng)趨于平穩(wěn)狀態(tài),升降舵的偏轉(zhuǎn)也趨于穩(wěn)定狀態(tài),收斂值約為-4°,而當(dāng)升降舵偏轉(zhuǎn)角度出在5°偏轉(zhuǎn)角的范圍內(nèi)時(shí),飛行器高超聲速飛行的阻力會(huì)顯著降低[25],適合高超聲速飛行;在參數(shù)攝動(dòng)+20%的情況下,升降舵偏角同樣可以收斂到5°偏轉(zhuǎn)角的范圍內(nèi),同樣滿足高超聲速飛行的條件;最后,利用文獻(xiàn)[16]中給出的燃料當(dāng)量比的計(jì)算公式,可以得到相應(yīng)的燃料當(dāng)量比的仿真結(jié)果,如圖11所示,根據(jù)該仿真結(jié)果可知,燃料當(dāng)量比滿足其約束范圍。

5　結(jié)　論

高超聲速飛行器在30 km處以6馬赫定速巡航時(shí),不僅存在氣動(dòng)參數(shù)的不確定性和外界大氣擾動(dòng),而且由于高超聲速飛行導(dǎo)致的氣動(dòng)熱彈性問題較為嚴(yán)重,這種彈性振動(dòng)對(duì)飛行器的穩(wěn)定性的影響十分顯著,處理不好這種彈性振動(dòng)會(huì)使得高超聲速飛行器變得不可控,甚至出現(xiàn)飛行器解體的危險(xiǎn),為此,本文提出了一種指令濾波積分動(dòng)態(tài)面backstepping滑?？刂破?仿真結(jié)果表明,所提出的控制方法不但可以有效地應(yīng)對(duì)引言中提到的高超聲速飛行器獨(dú)有的一些飛行特性問題,而且可以較好地完成高超聲速飛行器6馬赫定速巡航的飛行任務(wù)。