王麗

(西北工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院, 陜西 西安　710072)

脈沖微分方程對(duì)在瞬時(shí)干擾下?tīng)顟B(tài)發(fā)生突然變化的演變過(guò)程提供了一種自然的描述，關(guān)于該類(lèi)方程的基本理論可參考文獻(xiàn)[1]。周期解理論是脈沖微分方程理論中的重要分支[2]，Mawhin延拓定理則是研究脈沖微分方程周期解存在性的一種有利工具[3-4]。事實(shí)上，Mawhin延拓定理也常被用來(lái)研究其它類(lèi)型微分方程周期解的存在性，例如：泛函微分方程[5]，Lienard型方程[6]，P-Laplacian方程[7]等等，限于篇幅，此處不一一贅述。

2008年，謝毅、李憲高教授在文獻(xiàn)[8]中首次利用Mawhin延拓定理證明了一類(lèi)單種群模型的概周期解的存在性。隨后,J O Alzabut等人延續(xù)文獻(xiàn)[8]的思路,利用Mawhin延拓定理證明了一類(lèi)Logarithmic 種群模型的概周期解的存在性[9]。本文作者在文獻(xiàn)[10]中通過(guò)研究逐段連續(xù)的概周期函數(shù)性質(zhì),將Mawhin延拓定理應(yīng)用到了證明帶脈沖的一類(lèi)種群模型的概周期解的存在性上。到目前為止,還未發(fā)現(xiàn)有文獻(xiàn)利用Mawhin延拓定理研究方程的漸近概周期解的存在性。事實(shí)上,漸近概周期作為概周期的一種推廣,具有重要的實(shí)際意義及研究?jī)r(jià)值[11],鑒于此,本文將利用Mawhin延拓定理研究一類(lèi)脈沖擾動(dòng)下的種群模型的嚴(yán)格正的漸近概周期解的存在性。顯然,本文具有一定的創(chuàng)新性。除此之外,本文結(jié)論部分也說(shuō)明了,本文的主要結(jié)果是已有相關(guān)結(jié)果的推廣。

1　預(yù)備知識(shí)

在這一節(jié)我們將給出一些預(yù)備知識(shí),為后面主要結(jié)論的證明做準(zhǔn)備。首先要注意到的是,脈沖方程的解是分段連續(xù)的,所以,區(qū)別于Bohr意義下連續(xù)的漸近概周期函數(shù)[12](這類(lèi)函數(shù)的全體組成的空間用AAP(R)表示),本文首先給出分段連續(xù)的漸近概周期函數(shù)定義,令PC(R,R)表示全體從R到R的具有第一類(lèi)間斷點(diǎn)tk并在tk處左連續(xù)的分段連續(xù)函數(shù)全體。

注1分段連續(xù)的漸近概周期函數(shù)定義2是Bohr意義下連續(xù)的漸近概周期函數(shù)定義[12]的推廣。

本文主要研究一類(lèi)帶脈沖的種群模型：

(1)

進(jìn)一步的,假設(shè)方程(1)中參數(shù)滿(mǎn)足如下條件:

(H1)a(·),b(·),d(·)∈AAP(R),τ(·)∈AP(R),b(·),d(·)的概周期部分b1(·),d1(·)非負(fù),{ck}是概周期序列,{tk} 是一致概周期序列;

在開(kāi)始研究方程(1)的嚴(yán)格正的漸近概周期解的存在性之前,我們首先考慮方程:

注意到條件(H2),類(lèi)似于文獻(xiàn)[10]可知,方程(1)和(2)的解有如下關(guān)系:

令y(t)=ex(t),則x(t)滿(mǎn)足方程:

顯然,若方程(3)存在AAP(R)解,則方程(2)存在嚴(yán)格正的AAP(R)解。結(jié)合引理3可知,為了證明方程(1)存在嚴(yán)格正的漸近概周期解,只需證明方程(3)的Bohr意義下的漸近概周期解的存在性。本文用到的方法Mawhin延拓定理可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4-10,13],為節(jié)省篇幅,此處省略不提。

2　論證過(guò)程

在這一節(jié),我們將利用Mawhin延拓定理證明方程(3)的漸近概周期解的存在性。為此,我們首先令:

此處,α1,α,M是給定的正常數(shù),F(·)是給定的概周期函數(shù),令X=X1?X2,Z=Z1?Z2,對(duì)任意的φ∈XorZ,定義||φ||=supt∈R|φ(t)|,則有:

引理4X和Z均是Banach空間。

接下來(lái)我們定義一些Mawhin延拓定理中涉及的算子,令:

則,我們有:

引理5L是指標(biāo)為0的Fredholm算子且P,Q連續(xù),ImL=KerQ,ImP=KerL。

那么

接下來(lái),我們給出本文的主要結(jié)論:

定理6假設(shè)條件(H1)～(H3)成立,那么,方程(1)存在嚴(yán)格正的漸近概周期解。

證明:從上面的分析可知,為了證明方程(1)存在嚴(yán)格正的漸近概周期解,只需要證明方程(3)的Bohr意義下的漸近概周期解的存在性。定義:J:ImQ→KerL是個(gè)恒等算子,為了應(yīng)用Mawhin延拓定理證明方程(3)的Bohr意義下的漸近概周期解的存在性,我們接下來(lái)需要尋找合適的延拓定理中提及的有界開(kāi)子集Ω。對(duì)任意λ∈(0,1),方程Lx=λNx意味著:

(4)

如果x(·)是方程(4)的解,我們對(duì)方程(4)兩邊取平均極限值,可得:

因此

從而可得

由此可以斷言,一定?t*∈R, s.t.|x(t*)|

注意到x(·)是方程的解,其概周期部分記為x1(·)滿(mǎn)足方程:

基于上面的不等式,我們立刻可得:

取

類(lèi)似[8,10]可知此時(shí)Ω滿(mǎn)足Mawhin延拓定理的所有條件,根據(jù)該定理可知方程(3)存在漸近概周期解,從而方程(1)存在嚴(yán)格正的漸近概周期解。證畢。

3　結(jié)　論

Mawhin延拓定理之前被廣泛用于證明各類(lèi)微分周期解或概周期解的存在性,本文用該定理證明了一類(lèi)脈沖種群模型的漸近概周期解的存在性,因此,本文具一定的創(chuàng)新性。

利用Mawhin延拓定理,文獻(xiàn)[8]研究了當(dāng)ck=0時(shí)方程(1)的Bohr意義下的概周期解的存在性;文獻(xiàn)[10]研究了方程(1)的概周期解的存在性。本文研究了方程(1)的漸近概周期解的存在性,根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知,此時(shí)方程一定存在概周期解,故本文的結(jié)論推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)論。