劉志偉

一、 對衍生品價(jià)格波動(dòng)刻畫的研究綜述

1.分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的研究綜述。法國數(shù)學(xué)家Louis Bachelier在其博士論文—投機(jī)理論（Théorie de spéculation）中首次用Brown運(yùn)動(dòng)來描述股票價(jià)格的變化，并給出了歐式買權(quán)的定價(jià)公式。英國著名水文學(xué)家 Hurst 是研究分?jǐn)?shù) Brown 運(yùn)動(dòng)的先驅(qū)，他在觀察尼羅河水的規(guī)律過程中提出了分?jǐn)?shù) Brown 運(yùn)動(dòng)。隨著金融市場的發(fā)展， 大量實(shí)證研究表明： B-S 模型的初始假定與實(shí)際情形存在差異； 規(guī)模效應(yīng)， 季節(jié)效應(yīng)， 尖峰厚尾等越來越多的現(xiàn)象已經(jīng)無法用標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的模型進(jìn)行解釋；并且股票收益率的波動(dòng)具有顯著的記憶性。 由分?jǐn)?shù) Brown 運(yùn)動(dòng)本身具有的特性可以看出， 它能夠更好地描述金融市場資產(chǎn)價(jià)格的演變過程，由此大量學(xué)者開始利用分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)描述標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)行為。據(jù)此1968年Benoit Mandelbrot和Van Ness布朗運(yùn)動(dòng)模型引入金融市場：它具有自相似性、非平穩(wěn)性兩個(gè)重要性質(zhì)，反應(yīng)了許多自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象的內(nèi)在特性，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)有時(shí)也稱為分形布朗運(yùn)動(dòng)、有偏的隨機(jī)游走、分形時(shí)間序列、分形維納過程等。接著，1994年，有人實(shí)證表明用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來模擬股票價(jià)格的變化過程更加貼合實(shí)際。

雖然分?jǐn)?shù)Brown已經(jīng)從理論和實(shí)際兩個(gè)層面都證明其對金融市場的描述更具有說服力，但是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅且不具備馬氏性，故無法用標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)積分理論，即無法用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具來處理。

面對數(shù)學(xué)上工具的缺乏，于是有學(xué)者開始相關(guān)數(shù)學(xué)工具的研究。例如，1995年Lin建立了分?jǐn)?shù)路徑依賴型積分，但隨后被Rogers照此積分理論建立的金融市場模型存在套利機(jī)會(huì)，似乎說明不能用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來描述標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格過程?？上驳氖牵珼uncan，Hu Yaozhong和Ksendal一種分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)積分理論：Wick-Ito型隨機(jī)積分并推導(dǎo)出該積分的公式。而后，在分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上又發(fā)展出廣義分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)。在最近的外文文獻(xiàn)大多就是用的混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)和廣義分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)。

為了彌補(bǔ)分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的缺陷，Thao在2006年，針對分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)市場的特殊性質(zhì)，對分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程進(jìn)行了某種近似，將基于分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的、不是鞅的資產(chǎn)價(jià)格過程用一個(gè)半鞅過程逼近。這種逼近為分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)市場研究找到了一個(gè)方向，因此半鞅過程逼近的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)模型的金融資產(chǎn)衍生品的定價(jià)有了新的發(fā)展，Thao利用半鞅過程逼近的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)模型討論了Hurst指數(shù)屬于（1，1/2）的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)，且證明了此時(shí)基于分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)模型討論了Hurst指數(shù)屬于（1，1/2）的分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)，且證明了此時(shí)基于分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)市場是無存在套利機(jī)會(huì)的。

為了進(jìn)一步讓混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)更加精確，此外，為了捕捉跳躍或不連續(xù)，且考慮標(biāo)的資產(chǎn)的長期記憶性，于是，有學(xué)者將混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)和泊松跳過程集合起來。例如，2014年F. Shokrollahi和A. Kihcman的論文中就包含跳躍過程的混合分?jǐn)?shù)Brownian運(yùn)動(dòng)，并寫出了在JMFBM條件下外幣期權(quán)的定價(jià)顯式公式，并進(jìn)行了相關(guān)模擬。此外，模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，JMFBM模型比其他模型的模擬效果都好。在結(jié)論中，由于混合分?jǐn)?shù)Brownian運(yùn)動(dòng)是一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型與隨機(jī)過程和深刻的跳躍是在金融市場不可否認(rèn)的成分，跳混合分?jǐn)?shù)Brown模型將定價(jià)的數(shù)量更合適的方法。

2016年Wenting Chen，Bowen Yan，Guanghua Lian 和Ying Zhang研究生GMFBM（廣義混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)generalized mixed fractional Brown motion）下美式期權(quán)的定價(jià)。通過組合分析和Wick—It? 公式的應(yīng)用， 他們得到了在GMFBM驅(qū)動(dòng)下關(guān)于美式期權(quán)價(jià)格的偏微分方程（PDE）。

2.跳過程的研究綜述。值得一提的是，上述刻畫方法都沒有涉及跳過程，而實(shí)際中，金融衍生品領(lǐng)域是存在許多突發(fā)沖擊的?，F(xiàn)代金融理論的幾乎每一個(gè)方面，從估值和投資組合選擇到期權(quán)定價(jià)和公司金融，以及數(shù)學(xué)金融領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大，嚴(yán)重依賴于概率的形式描述證券價(jià)格或其他潛在價(jià)值驅(qū)動(dòng)因素的動(dòng)態(tài)分布。雖然幾何布朗運(yùn)動(dòng)（GBM）曾作為一個(gè)方便的范例，在一段時(shí)間作為對GBM的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)積累，但1976年由Merton提出跳躍-擴(kuò)散（AJD）模型，獲得了比GBM廣泛的認(rèn)可主要是因?yàn)樗蛔C明是一致的資產(chǎn)回報(bào)率的經(jīng)驗(yàn)特征（高模式和過剩、峰度和偏度）。此外，大量的實(shí)證證據(jù)表明，期權(quán)定價(jià)公式為基礎(chǔ)的在和表示具有更好的定價(jià)精度。那就是，AJD模型更好的解釋的波動(dòng)“微笑”和“斜”。鑒于這一轉(zhuǎn)變，AJD模型現(xiàn)在作為大多數(shù)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)組合選擇和資產(chǎn)估值模型（2003年Duffie等人提出）的首選。

仿射跳躍-擴(kuò)散（AJD）的普及是由于它的結(jié)構(gòu)上的靈活性，故能捕捉金融風(fēng)險(xiǎn)過程的重要特征，在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)和技術(shù)性期權(quán)與債券定價(jià)的擴(kuò)展中，能變換與計(jì)量經(jīng)濟(jì)估計(jì)。此外，經(jīng)驗(yàn)證據(jù)表明這些模型提供了優(yōu)越的數(shù)據(jù)擬合。仿射跳躍-擴(kuò)散過程由3個(gè)元素組成：漂移，Brownian運(yùn)動(dòng)代表—正常的價(jià)格變化，和跳躍過程—描述極端的價(jià)格變動(dòng)。

二、美式期權(quán)各數(shù)值方法研究綜述

1.資產(chǎn)價(jià)值刻畫的研究綜述。2002年劉韶躍，楊向群在標(biāo)的資產(chǎn)或基礎(chǔ)股票的價(jià)格服從幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型假設(shè)下，分別在無風(fēng)險(xiǎn)利率r和股價(jià)波動(dòng)率e為常數(shù)和為時(shí)間t的非隨機(jī)函數(shù)的情況下，求出了有紅利支付的歐式期權(quán)的定價(jià)公式。之后，劉韶躍，楊向群在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型假設(shè)下，推導(dǎo)了幾種奇異期權(quán)的定價(jià)公式。

2007年侯迎春更注重我國實(shí)際的市場情況。基于分?jǐn)?shù)Brown假設(shè)，根據(jù)我國權(quán)證市場的特點(diǎn)提出定價(jià)誤差的消除技術(shù)，構(gòu)造了修正模型誤差的回歸模型，選取適當(dāng)?shù)淖兞?，合理預(yù)測權(quán)證定價(jià)的模型誤差，提高權(quán)證的定價(jià)水平。 另外，將物質(zhì)商品的價(jià)格由市場的供需決定理論引入權(quán)證定價(jià)理論，認(rèn)為權(quán)證價(jià)格也應(yīng)當(dāng)由市場的供需決定。換手率是市場供需的最好信號(hào)，同時(shí)也反映了市場炒作的熱度，將該因素引入定價(jià)誤差修正值的計(jì)算中是一個(gè)突破。

隨后，學(xué)者由分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的研究轉(zhuǎn)向混合分?jǐn)?shù)Brown的研究。2008年余征和閆理坦基于混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)為金融市場驅(qū)動(dòng)模型的情況下，應(yīng)用擬條件期望給出了完備的混合型 Black-Scholes 市場下歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式。

2009年杜文歌和劉小茂將跳引入分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)。假設(shè)股本權(quán)證標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)過程；并考慮到市場存在不確定因素而引起的價(jià)格巨大的波動(dòng)，在模型中又引入了一個(gè)跳過程。首先得出權(quán)證定價(jià)的一般公式，最后在考慮股本權(quán)證行權(quán)后產(chǎn)生的稀釋效應(yīng)，得出稀釋調(diào)整后的股本權(quán)證定價(jià)公式，并將其延伸到支付紅利情況下。

2010年肖煒麟更深一步將混合分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)的研究深入到了對其模型參數(shù)的估計(jì)。面對分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)刻畫權(quán)證標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的行為模式，采用經(jīng)典的極大似然法，在大樣本條件下（觀察間隔固定且觀察點(diǎn)足夠多），分別對混合布朗運(yùn)動(dòng)、幾何分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)、幾何混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù) Ornstein-Uhlenbeck 的參數(shù)進(jìn)行了有效估計(jì)。

學(xué)者們逐漸將分?jǐn)?shù)Brown的研究從簡單的歐式期權(quán)轉(zhuǎn)向其他奇異期權(quán)和美式期權(quán)。例如，2013年成佩基于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)建立了匯率滿足的隨機(jī)微分方程，利用分形積分理論，在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理下得到了新模型下的外匯期權(quán)定價(jià)公式。建立的新模型中假設(shè)本國和外國的無風(fēng)險(xiǎn)利率均是時(shí)間的函數(shù)，使得新模型更貼近現(xiàn)實(shí)。另外，還利用修正的分析方法對我國外匯市場做了研究，結(jié)果表明我國外匯市場存在很明顯的分形結(jié)構(gòu)。最后，通過實(shí)證對新模型和傳統(tǒng)的外匯期權(quán)模型做了比較，得到了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下的外匯期權(quán)定價(jià)。2014年夏雪麗也是研究了奇異期權(quán)的定價(jià)問題，具體對在分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)條件下對亞式期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了研究，并采用無套利利率模型，即在假設(shè)利率滿足Hull-White（單因子）利率模型的條件下，對具有固定執(zhí)行價(jià)格和浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格的兩類幾何平均亞式期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)研究，推導(dǎo)出了相應(yīng)的定價(jià)公式和看跌看漲平價(jià)關(guān)系式。

在大多模型中認(rèn)為利率是恒定的，這與事實(shí)不符合，為此2016年金宇寰假設(shè)股價(jià)服從由分?jǐn)?shù) Brown 運(yùn)動(dòng)及跳過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，利率服從 Vasicek 模型，建立了雙分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散環(huán)境下的金融市場數(shù)學(xué)模型，用保險(xiǎn)精算方法和雙分?jǐn)?shù) Brown 運(yùn)動(dòng)下的隨機(jī)分析知識(shí)，得到了可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)公式。其模型中，不僅標(biāo)的資產(chǎn)由分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，利率也由分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)。

2.衍生品數(shù)值計(jì)算研究綜述。近幾年，國內(nèi)對有關(guān)各類期權(quán)的數(shù)值計(jì)算的研究特別重視。從各個(gè)方面提高了計(jì)算精度和計(jì)算速度。

2013年宋海明系統(tǒng)地分析了數(shù)值求解美式期權(quán)價(jià)格和回望期權(quán)價(jià)格的本質(zhì)困難，并針對求解難點(diǎn)，利用front-fixing變換，將求解區(qū)域由一個(gè)曲邊區(qū)域轉(zhuǎn)化為半無窮規(guī)則區(qū)域。然后利用完全匹配層（PML）技巧進(jìn)行截?cái)?，最后利用有限體積法對簡化后的問題進(jìn)行離散，采用Newton迭代法交替迭代同時(shí)得到相關(guān)期權(quán)的價(jià)格和最優(yōu)實(shí)施邊界。整個(gè)顯著地降低了計(jì)算量及減小了數(shù)值反射，提高了計(jì)算精度。

2014年熊炳忠在介紹對偶變量法、控制變量法、重要抽樣技術(shù)以及分層抽樣法的基本原理基礎(chǔ)上，將這四種精度提高技術(shù)應(yīng)用于標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)的模擬定價(jià)，基于R軟件平臺(tái)給出它們的實(shí)現(xiàn)程序，對比這些方法與普通蒙特卡洛模擬方法所給出期權(quán)定價(jià)的精度提高效果，結(jié)果表明它們都有較好的提高精度效果，尤其是分層抽樣法，精度可以達(dá)到一般蒙特卡洛模擬精度的5倍之多。

2016年甘小艇，陽鶯和劉勝考慮有限元方法結(jié)合模方法定價(jià)美式期權(quán)?；诰€性有限元空間，構(gòu)造了B-S方程的向后歐拉和Crank-Nicolson兩種全離散有限元格式。采用模超松弛迭代方法求解有限元離散得到的線性互補(bǔ)問題，并建立H+-離散矩陣下模超松弛迭代（MSOR）方法的收斂定理。數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性，也說明 MSOR方法的計(jì)算效率優(yōu)于投影超松弛迭代（PSOR）方法。

（作者單位：新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)）