馮雄鏗

(廣東第二師范學(xué)院番禺附屬中學(xué)　 511400)

一、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的意義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出要加強(qiáng)對(duì)圖形的理解，以運(yùn)算能力、空間思維想像能力等作為前提和基礎(chǔ)，學(xué)會(huì)主動(dòng)思考，提高自身的能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與主動(dòng)性.作為數(shù)學(xué)思想關(guān)鍵組成部分的數(shù)形結(jié)合思想它在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的重要性也是無可厚非.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想可以解決高中數(shù)學(xué)中的與集合、函數(shù)、方程與不等式、三角函數(shù)、向量、線性規(guī)劃、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等有關(guān)的問題.縱觀歷年高考題，數(shù)形結(jié)合思想在歷年高考題中的體現(xiàn)逐漸加強(qiáng).通過對(duì)近幾年高考全國(guó)卷分析可以發(fā)現(xiàn)：近三年每年試卷中有關(guān)數(shù)形結(jié)合的題有10多題,占全卷分?jǐn)?shù)的50%左右.高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的解題思想，使學(xué)生在解題時(shí)有效的運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，做到舉一反三、觸類旁通.

二、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)性質(zhì)教學(xué)中的滲透

1.數(shù)轉(zhuǎn)形(以形助數(shù))

(1)求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程解個(gè)數(shù)，函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1假設(shè)方程為 |x2-1|=k+1，討論k取值不同時(shí)，方程解的個(gè)數(shù).

分析方法一： 分類討論

方法二：可以引導(dǎo)學(xué)生把這個(gè)方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)具體的函數(shù)y=|x2-1|與y=k+1，根據(jù)這兩個(gè)函數(shù)來畫出相應(yīng)的圖示(如圖1)，直接觀察圖象，可以清晰得到：當(dāng)k+1<0，即k<-1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)無交點(diǎn)，這也就說明原方程沒有解；當(dāng)k+1=0，即k=-1時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)出現(xiàn)了兩個(gè)交點(diǎn)，這也就說明原方程有兩個(gè)解；當(dāng)01，即k>0時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，這就表明原方程有兩個(gè)解.

(2)求函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，對(duì)稱性問題.

例2(2017年全國(guó)卷(Ⅰ)9) 已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)，則().

A．f(x)在(0,2)單調(diào)遞增

B．f(x)在(0,2)單調(diào)遞減

C．y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱

D．y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

分析由f(x)=lnx+ln(2-x)得到f(x)=ln(2x-x2)，是復(fù)合函數(shù)，易得定義域x∈(0,2)，令t=2x-x2，畫出t=2x-x2的圖象(如圖2)，直觀地看出函數(shù)的圖象對(duì)稱性，單調(diào)性，易得正確答案C.

2.形轉(zhuǎn)數(shù)(以形助數(shù))

例3函數(shù)f(x)=x2-2ax+2，當(dāng)x∈[-1,+)時(shí)，f(x)>a成立，求a的取值范圍.

分析當(dāng)x∈[-1,+)時(shí)，f(x)>a成立等價(jià)于x∈[-1,+)時(shí)，x2-2ax+2-a>0恒成立.令g(x)=x2-2ax+2-a，則g(x)在區(qū)間[-1,+)的圖象位于x軸上方，圖形如圖3，分類討論：

3.數(shù)、形的結(jié)合應(yīng)用

例4點(diǎn)M(x,y)是圓(x-2)2+y2=3上的任意一點(diǎn)，求x-y的最小值與最大值.

解析設(shè)x-y=b，把該方程相應(yīng)的轉(zhuǎn)化為y=x-b，

作圖(如圖4)使得直線與圓相切，從圖可以看出-b就是直線y=x-b在y軸上的截距，b1為x-y的最小值，b2為x-y的最大值.

簡(jiǎn)而言之，數(shù)與形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩大模塊，數(shù)與形之間相互融洽，互相滲透，數(shù)為形定量定性，形為數(shù)定趨勢(shì)，“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形都是通過抽象思維與形象思維相結(jié)合，使得復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化.從而實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化解題的途徑，有利于提高分析和解決問題的能力.