劉玉忠, 佟　雪

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽　110034)

0　引　　言

切換系統(tǒng)是一類動(dòng)態(tài)混雜系統(tǒng),由一系列連續(xù)(離散)時(shí)間子系統(tǒng)以及決定子系統(tǒng)間如何切換的規(guī)則組成[1]。切換系統(tǒng)作為混雜系統(tǒng)的一個(gè)重要分支,在學(xué)術(shù)界引起廣泛關(guān)注。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及,為切換系統(tǒng)的興起、發(fā)展和應(yīng)用提供了物質(zhì)基礎(chǔ)和保障。目前,切換系統(tǒng)的研究已經(jīng)成為現(xiàn)代控制理論的熱點(diǎn)問題,主要集中在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析、系統(tǒng)魯棒性、系統(tǒng)優(yōu)化、H∞控制、自適應(yīng)控制、卡爾曼濾波、系統(tǒng)反饋控制器設(shè)計(jì)等方面研究中。

時(shí)滯現(xiàn)象在自然界中是普遍存在而又不可避免的一種現(xiàn)象,在許多實(shí)際系統(tǒng),如航空航天系統(tǒng)、化工系統(tǒng)、控制系統(tǒng)中頻繁出現(xiàn)。一方面,系統(tǒng)時(shí)滯可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定,降低系統(tǒng)性能或者引起系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象;另一方面,也可以利用時(shí)滯來改善系統(tǒng)控制效果,更好地解決實(shí)際問題。因此,分析和研究時(shí)滯動(dòng)態(tài)系統(tǒng)具有極高的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。近年來,時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)的研究引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注,尤其是對(duì)帶有區(qū)間時(shí)滯的線性時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究。

本文研究一類帶有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。首先,根據(jù)時(shí)滯分割法將時(shí)滯區(qū)間進(jìn)行劃分;其次,在每個(gè)時(shí)滯區(qū)間內(nèi),通過構(gòu)造帶有三重積分項(xiàng)的L-K泛函,應(yīng)用積分不等式、二階倒數(shù)凸組合方法,綜合處理Lyapunov-Krasovskii泛函沿著時(shí)間的導(dǎo)數(shù)中積分項(xiàng);最后,以LMI的形式得出了一類帶有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的線性切換系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。

1　問題描述

考慮如下含有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯線性切換系統(tǒng):

(1)

定義1[16]令φ1.φ2,…,φN:RmR在開子集D∈Rm上有正值,則φn在D上的二階倒數(shù)凸組合是以下形式的函數(shù):

(2)

引理1[5]令f1,f2,…,fN:RmR在開子集D∈Rm上有正值,則fi在D上的一階倒數(shù)凸組合滿足

(3)

且滿足下面的條件:

引理2[17]令h1≤h(t)≤h2,其中:h(t):R+→R+,對(duì)于任意R=RT>0,如下不等式成立:

引理3[18]假設(shè)γ1≤γ(t)≤γ2,其中γ(·):R+R+,對(duì)于任意適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣Ξ1,Ξ2和Ω下面的矩陣不等式成立:

Ω+(γ(t)-γ1)Ξ1+(γ2-γ(t))Ξ2<0

當(dāng)且僅當(dāng)

Ω+(γ2-γ1)Ξ1<0,Ω+(γ2-γ1)Ξ2<0

引理4[19]假設(shè)0≤hm0,有下面的線性矩陣不等式成立:

2　主要結(jié)果

考慮如下時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng):

設(shè)N是大于零的正整數(shù),hi(i=1,2,3,…,N+1)為標(biāo)量,對(duì)時(shí)滯區(qū)間進(jìn)行如下均勻分割:

hm=h1

定理給定常數(shù)hM和hm,如果存在正定對(duì)稱矩陣P=?Pij?3×3,Qi>0(i=1,2),Ri>0(i=1,2),Zi>0(i=1,2,3,4),Si(i=1,2,3,4,5),適當(dāng)?shù)淖杂蓹?quán)矩陣Ta,Ya(a=1,2,3),使得如下的LMIs成立:

則系統(tǒng)(1)是漸進(jìn)穩(wěn)定的,其中

證明為了簡(jiǎn)單起見,首先考慮h(t)∈[h2,h3]子區(qū)間段時(shí),定理成立,進(jìn)而當(dāng)h(t)∈[hi,hi+1](i=1,2,3,…,N)時(shí)證明定理成立。

當(dāng)h(t)∈[h2,h3]時(shí),構(gòu)造如下的L-K泛函:

(7)

其中

則V2(t)沿著系統(tǒng)(1)的導(dǎo)數(shù)為

(8)

其中

由引理2可得

由引理4可得

由引理4可得

其中α=(h(t)-h2)/h23,β=(h3-h(t))/h23。

由引理1,假設(shè)存在矩陣Si(i=1,2,3,4,5)使得式(5)成立,則有

將式(9)～式(17),帶入式(8),則

其中

如果對(duì)于h(t)∈[h2,h3],有以下條件成立:

(18)

注1:本文L-K泛函優(yōu)越性體現(xiàn)在:基于時(shí)滯分割法,將時(shí)滯區(qū)間劃分為均等的n個(gè)部分,針對(duì)每個(gè)區(qū)間構(gòu)造包含三重積分項(xiàng)的泛函,對(duì)于L-K泛函中的三重積分增廣項(xiàng),其被積函數(shù)中包含狀態(tài)向量x以及時(shí)滯下界的更多信息,這將使得穩(wěn)定性結(jié)論的保守性顯著降低。

3　結(jié)　　論

本文基于時(shí)滯分割法,研究區(qū)間時(shí)變時(shí)滯線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,不同于以往的研究方法,在構(gòu)造L-K泛函時(shí),針對(duì)不同的分割區(qū)間構(gòu)造包含三重積分項(xiàng)和增廣項(xiàng)的L-K泛函,利用保守性更小的積分不等式與二階倒數(shù)凸組合的方法直接處理分段L-K泛函導(dǎo)數(shù)中三重積分所產(chǎn)生的積分組合,以便得到其導(dǎo)數(shù)的緊致上界。這樣的方法避免了以往時(shí)滯分割方法判據(jù)形式復(fù)雜、計(jì)算耗時(shí)長的不足,有利于理論分析及計(jì)算,最后應(yīng)用線性矩陣不等式得到新的穩(wěn)定性判據(jù),從而可以利用Matlab求解并驗(yàn)證結(jié)論的有效性。