黃建成石峰宇趙 昶趙 曼

(1北京石油化工學院信息工程學院;2北京石油化工學院機械工程學院;3北京石油化工學院數(shù)理系;北京 102617)

轉(zhuǎn)動慣量是一個物體做旋轉(zhuǎn)運動時慣性大小的量度。一個剛體對于某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量決定了該物體繞著此轉(zhuǎn)軸進行某種角加速度運動所需要施加的力矩。如果剛體的形狀簡單，且質(zhì)量分布均勻，可以通過數(shù)學方法直接計算出它繞定軸的轉(zhuǎn)動慣量。對于形狀復雜、剛體質(zhì)量分布不均勻的剛體，數(shù)學計算極為復雜，因此如何用實驗方法簡單有效地測量剛體的轉(zhuǎn)動慣量具有重要的實際意義。目前常用的測定轉(zhuǎn)動慣量的方法有恒力矩法、三線擺法、扭擺法等，每種方法各有優(yōu)缺點，但無論何種方法，基本都需要直接或間接測量角速度或擺動時間。采用光電門計時器及配套單片機測量上述兩個量相對常用并且精度較高，缺點是儀器綜合成本高，體積大，容易損壞，而且一般都是用于測量固定尺寸和規(guī)則形狀的剛體，因為這些剛體可以放置在裝有光電門的轉(zhuǎn)盤上。而對于不規(guī)則形狀或尺寸較大的剛體，由于它們不能放到轉(zhuǎn)盤上，則需要重新調(diào)整配套裝置及光電門位置，所以不具有廣泛適用性，一般只能用于實驗驗證。而測定物體的轉(zhuǎn)動慣量作為一種應用級實驗操作，應具有更大的普及性及可操作性。隨著智能手機的不斷普及及完善，其自帶傳感器性能也日益提高，完全可以幫助我們方便地完成物體轉(zhuǎn)動慣量的測定。

本文利用智能手機中的陀螺儀傳感器對剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角速度實時精確測量和記錄，并輔以軟件進行分析和處理，最終精確地獲得剛體的轉(zhuǎn)動慣量。

1　基本原理

智能手機之所以具有豐富的應用功能，如加密支付、自動調(diào)光、導航、測距、指紋解鎖等，正是利用其集成的各種傳感器，如加速度傳感器、光線傳感器、陀螺儀傳感器，磁場傳感器等[1，2]，其中，陀螺儀傳感器可以感知手機轉(zhuǎn)動的實時角速度。

微機電陀螺儀簡稱 MEMS gyroscope，一個基本的MEMS設備由專用集成電路和微機械硅傳感器組成。微機電陀螺儀依賴于由相互正交的振動和轉(zhuǎn)動引起的交變科里奧利力。振動物體被柔軟的彈性結(jié)構(gòu)懸掛在基底之上。整體動力學系統(tǒng)是二維彈性阻尼系統(tǒng)，在這個系統(tǒng)中振動和轉(zhuǎn)動誘導的科里奧利力把正比于角速度的能量轉(zhuǎn)移到傳感模式[3]。

在MEMS gyr oscope中有兩個方向的可移動電容板，徑向的一對電容板加震蕩電壓迫使傳感器內(nèi)部的微小物體作徑向運動，此即為驅(qū)動震蕩方向，而橫向的一對電容板就可以測量由于橫向科里奧利運動引起的電容變化。(如圖1所示)由于科里奧利力正比于角速度

所以由電容的變化就可以計算出手機轉(zhuǎn)動的角速度[4]。

圖1　MEMS原理圖

上述將角速度轉(zhuǎn)化為電信號的過程由手機的MEMSgyroscope來完成，借助一款手機軟件AndroSensor即可以將手機轉(zhuǎn)動的實時角速度記錄并保存。然后，我們可以將數(shù)據(jù)導入電腦，利用Matlab方便地進行數(shù)據(jù)處理。

實驗裝置如圖2所示，在測量過程中，對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)施加一恒力矩，進行兩次對照實驗。

圖2　實驗裝置示意圖

第一次先將手機和載物盤空轉(zhuǎn)，測得這個空載時的轉(zhuǎn)動慣量，然后將待測物體與手機和載物盤一起旋轉(zhuǎn)，測得整體的轉(zhuǎn)動慣量，兩次差值即為待測物體的轉(zhuǎn)動慣量。

在上述兩次旋轉(zhuǎn)中，每一次旋轉(zhuǎn)可以拆分為兩部分，即在施加恒力矩重物帶動下的加速轉(zhuǎn)動和重物落地后載物盤受摩擦阻力作用的減速運動。記空載加速時測得的角加速度為β1，空載減速時角加速度為β2，負載加速時的角加速度為β3，負載減速時角加速度為β4。根據(jù)剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律[5]，有

其中力矩M是恒定的，由質(zhì)量為m的砝碼和摩擦阻力共同提供，砝碼的質(zhì)量m已知，掛在半徑為R的同心輪軸上以施加恒力矩，由于轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的摩擦阻力可以由兩次實驗抵消。所以只需得到角加速度β即可求出物體的轉(zhuǎn)動慣量。

設砝碼的加速度為a，細線上的拉力為T，可以得到

摩擦力矩

將方程(1)、(2)、(3)代入式(4)

就可以得到空載的轉(zhuǎn)動慣量

同理，負載時總的轉(zhuǎn)動慣量

則，待測物體的轉(zhuǎn)動慣量為

2　系統(tǒng)構(gòu)成與數(shù)據(jù)采集

本文利用智能手機中的陀螺儀傳感器對剛體的轉(zhuǎn)動慣量進行測量。

首先，對自行車碟剎片的轉(zhuǎn)動慣量進行測定。將手機放置在轉(zhuǎn)盤中央(本文方法完全可以不使用轉(zhuǎn)盤，把手機和待測物固定在一起開啟陀螺儀傳感器即可直接測量系統(tǒng)轉(zhuǎn)動角速度，但為了與傳統(tǒng)的光電門方法對比實驗精度，我們在數(shù)據(jù)測量中，其他實驗條件盡量保持與光電門方法一致，而這種方法是在轉(zhuǎn)盤上固定擋片，通過擋片經(jīng)過光電門的時間差間接獲得角速度，這也是此方法的一個缺點，因為轉(zhuǎn)盤及光電門系統(tǒng)是固定的，就限制了待測物的尺寸及形狀，使得這種方法無法推廣到任意物體的轉(zhuǎn)動慣量測量中，而本文的方法則克服了此缺點，只需把手機和待測物固定在一起即可)，由于轉(zhuǎn)速不是特別大，轉(zhuǎn)動的過程不會使手機與轉(zhuǎn)盤產(chǎn)生相對滑動。放置穩(wěn)定后，將砝碼用輕質(zhì)細線繞在同心輪軸上，打開手機中的記錄軟件AndroSensor，并釋放使砝碼自由下落至地面，此過程為勻加速轉(zhuǎn)動;砝碼落地后使轉(zhuǎn)盤繼續(xù)轉(zhuǎn)動一段時間，此過程為勻減速轉(zhuǎn)動。至此第一次數(shù)據(jù)采集完成，得到轉(zhuǎn)盤空載時β1和β2的原始計算數(shù)據(jù)。

同理，放上待測物碟剎片，重復上述操作，即得到加負載時后β3和β4的相關(guān)實驗數(shù)據(jù)。

手機上可以實時顯示運動的角速度(圖3)，并能夠保存和記錄，以便后續(xù)分析。

圖3　手機實時顯示角速度

表1為兩次數(shù)據(jù)采集的部分數(shù)據(jù)清單，它由手機軟件Andr oSensor記錄并以逗號分隔符的形式保存，每一個數(shù)據(jù)單元為瞬時的轉(zhuǎn)動角速度?？梢钥闯?，每一次轉(zhuǎn)動的角速度均為先增大后減小，再結(jié)合角速度與時間變化關(guān)系可得到轉(zhuǎn)動的角加速度β。

表1　部分數(shù)據(jù)清單

續(xù)表

智能手機記錄原始數(shù)據(jù)可以精確到小數(shù)點后6位，(小數(shù)末位為零時會自動滅零，所以顯示出的小數(shù)有時不足6位)角速度每隔0.1s被記錄一次，時間間隔還可以調(diào)至0.05s甚至更小，但對于我們的測試，由于系統(tǒng)轉(zhuǎn)動較慢，0.1s的間隔已經(jīng)可以獲得相當精確的數(shù)據(jù)、每次采集可以得到100余條數(shù)據(jù)。

由于現(xiàn)代智能手機中的陀螺儀傳感器采用的是高精度的微機電系統(tǒng)，其穩(wěn)定性及精確度較傳統(tǒng)設備優(yōu)勢明顯，圖4為手機靜止不動時的數(shù)據(jù)輸出，可以看出此時的零點漂移的最大值不超過0.002rad/s，并在微小的范圍內(nèi)上下擾動。

圖4　手機靜止不動時的數(shù)據(jù)輸出

在下文的數(shù)據(jù)處理中需要得到的是角速度的變化率即角加速度，所以傳感器的零點漂移在進行下一步處理時亦能抵消。由此可見當今智能手機傳感器的精確和本實驗方法的準確性與可行性。

3　數(shù)據(jù)處理與分析

在上述的數(shù)據(jù)采集工作完成后，我們可以得到兩組數(shù)據(jù)，一組為空載時的瞬時角速度，另一組為加負載時的瞬時角速度。由于傳感器的零點漂移小于0.002rad/s，所以我們先將原始數(shù)據(jù)保留3位小數(shù)，再將其導入Matlab，可以繪制出兩條曲線。如圖5中的兩條曲線，分別描繪了兩次轉(zhuǎn)動的角速度變化曲線[6]。

圖5　空載和加負載時的角速度與時間的關(guān)系

圖示的兩條曲線，除去前后的冗余部分即由兩部分組成，前部的冗余部分來源于打開手機軟件與釋放重物的時間差，后部的冗余部分來源于外力強制試驗臺停止轉(zhuǎn)動至關(guān)閉手機軟件的時間差，此部分數(shù)據(jù)無意義。每一條曲線都是前部分上升、后部分緩慢下降，上升部分為在重物和摩擦阻力共同作用下的勻加速轉(zhuǎn)動，緩慢下降部分為重物落地后轉(zhuǎn)盤受摩擦阻力作勻減速轉(zhuǎn)動。

每一段均勻變化的曲線斜率代表了試驗臺的勻加速和勻減速過程的角加速度數(shù)值，對采集的數(shù)據(jù)可以利用最小二乘法進行擬合。最小二乘法是一種數(shù)學優(yōu)化技術(shù)，它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小，并可以方便地進行曲線擬合。

在 Matlab中，利用命令p=polyfit(x，y，n)即最小二乘法分別對每一條曲線的前部和后部求斜率，命令中x與y分別代表橫、縱坐標，n代表擬合后方程自變量的最高次冪，可應用

(k1=vpa(k1，10)[7]表示此次運算結(jié)果保留到小數(shù)點后10位，以盡可能提高后續(xù)計算精度)

分別求出k1，k2，k3，k4并代入公式(5)、(6)、(7)得到

求出待測物體的轉(zhuǎn)動慣量。

通過上述方法可以得到實驗中自行車碟剎片的轉(zhuǎn)動慣量為

得到的結(jié)果可以保留3位有效數(shù)字，精度可以滿足一般的計算需求。

4　誤差分析

上文中對一個非規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動慣量進行測量，但其理論值難以計算。

為了驗證智能手機測定剛體轉(zhuǎn)動慣量的精度，我們對一標準的圓環(huán)進行測試。一個外徑R1=120 mm，R2=105 mm，質(zhì)量m=431.4g的圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量

利用上文中的方法，即智能手機測得的圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量的數(shù)據(jù)如表2所示。

表2　智能手機測得的轉(zhuǎn)動慣量

根據(jù)表2中3次測量的平均值可以得出智能手機測得的圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量

J1=J′2-J′1=0.00547(kg·m2)

由于多次測量時第三位有效數(shù)字是變化的，即存疑的，所以最終結(jié)果及計算相對誤差時有效數(shù)字應保留3位。

在實驗的同時可以開啟光電門計數(shù)器進行對照。通過光電門計數(shù)器測得的圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量如表3所示。

表3　傳統(tǒng)光電門測得的轉(zhuǎn)動慣量

根據(jù)表3中3次數(shù)據(jù)的平均值可以得出光電門測得的轉(zhuǎn)動慣量

智能手機測得的圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量與理論值的相對誤差

傳統(tǒng)的光電門方法測得的圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量與理論值的相對誤差

由此可以看出，智能手機測得的誤差小于1%，遠小于傳統(tǒng)光電門方法的誤差[8]，可以認為用智能手機傳感器測得的轉(zhuǎn)動慣量與真實值近似相等，體現(xiàn)出本實驗方法的準確性與可行性。

5　結(jié)論

利用智能手機傳感器測定剛性物體的轉(zhuǎn)動慣量可以幫助我們方便地進行測量操作，不需要像光電門計數(shù)器和單片機那樣專業(yè)的設備，而且目前智能手機中的傳感器精度已經(jīng)很高，完全可以滿足我們測量普通剛性物體轉(zhuǎn)動慣量的需求。我們測量了自行車碟剎片的轉(zhuǎn)動慣量，實際上對于任何不規(guī)則形狀剛體，只要將它與手機固定在一起，對某個轉(zhuǎn)軸施加恒力矩，結(jié)合智能手機軟件AndroSensor和Matlab采集和處理數(shù)據(jù)，即可方便地得到其繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量。本方法具有廣泛適用性且精度更高，給利用智能手機中各種靈敏的傳感器參與傳統(tǒng)物理實驗提供了一個新思路。

致謝：本研究受到北京市自然科學基金資助(No.1132010)，國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目資助(北京石油化工學院No.2017J00054，2016J00061)，北京市大學生科研訓練項目(2017J00055，2017J00056，2017J00053，2017J00094)，北京石油化工學院教改項目“適合工程實踐特色的物理實驗內(nèi)容的探索與實踐”(YB20140802)資助。