朱廣琴

（上海市徐匯區(qū)愛(ài)菊小學(xué)，上?！?00030）

引　言

數(shù)學(xué)應(yīng)該是抽象的，還是應(yīng)該是具體的？新《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)是“對(duì)于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具”[1]。那么數(shù)學(xué)無(wú)疑應(yīng)該是由抽象到具體的。如何具體，又如何抽象，是每個(gè)一線教師每天必須面對(duì)的實(shí)際問(wèn)題。上海教育出版社出版（簡(jiǎn)稱(chēng)上教版）的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，基本上每個(gè)新授的知識(shí)點(diǎn)在學(xué)習(xí)要求及活動(dòng)建議部分都有“通過(guò)操作活動(dòng)”或者“探索驗(yàn)證”這樣的字眼，可見(jiàn)教材編寫(xiě)者也認(rèn)為數(shù)學(xué)是源于生活，是對(duì)生活中規(guī)律的總結(jié)，并最終運(yùn)用到生活中去的一門(mén)學(xué)科。

一、學(xué)具使用的中外比較

筆者在2017年曾有幸赴英國(guó)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的交流，并在深入英國(guó)的小學(xué)開(kāi)展課堂教學(xué)，同時(shí)也觀摩了數(shù)學(xué)課堂，發(fā)現(xiàn)在英國(guó)的數(shù)學(xué)課堂中學(xué)具是無(wú)處不在的，他們對(duì)學(xué)具使用到了近乎依賴(lài)的程度，而且學(xué)具在課堂使用頻率相當(dāng)之高。

如五年級(jí)計(jì)算256÷7這樣的算式，他們也是用學(xué)具來(lái)完成的。具體方法如下：先取出256的圓片（2個(gè)圓片100，5個(gè)圓片10和6個(gè)圓片1）除以7，首先看出2個(gè)圓片100不夠平均分成7份，然后將2個(gè)圓片100換成20個(gè)圓片10，這樣一共有25個(gè)圓片10，平均分成7份，每份3個(gè)圓片10還多4個(gè)，接著將多出來(lái)的4個(gè)圓片10換成40個(gè)圓片1，現(xiàn)在有46個(gè)圓片1，再平均分成7份，每份6個(gè)圓片1還多4個(gè)，這樣得到256÷7=36……4。這是我在英國(guó)看到的真實(shí)課堂，他們就是這樣熱愛(ài)學(xué)具。你一定覺(jué)得不可思議，難道這樣的算式不應(yīng)該直接用豎式計(jì)算嗎？這樣的算法看似繁瑣，但也并不是一無(wú)是處：它很好地詮釋了這個(gè)算式的算理，尤其是余數(shù)后面落零的算理。

對(duì)照我們的教學(xué)，這樣的算理似乎從來(lái)沒(méi)有用這樣“換算”的方式來(lái)實(shí)際探索過(guò)，我們將更多的精力花在了“商、乘、減、落”這樣操作性的訓(xùn)練上面。如果問(wèn)起學(xué)生算理來(lái)，學(xué)生會(huì)很肯定地說(shuō)，就是這樣算的??！

我們?cè)谥v解這類(lèi)算理的時(shí)候是不是可以使用學(xué)具呢？我們有沒(méi)有可能在具體的學(xué)具和抽象的方法之間找到平衡點(diǎn)呢？

是不是我們的教材沒(méi)有算理這一內(nèi)容呢？答案是否定的。以上教版教材為例，第一次出現(xiàn)除法豎式是在三年級(jí)上學(xué)期（上教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)上P34），在教學(xué)除法算式之前，有專(zhuān)門(mén)的一段是用橫式來(lái)講除法算理的，而幾乎所有豎式計(jì)算教學(xué)之前都有橫式教學(xué)作為鋪墊。由此可見(jiàn)，教材是很重視算理的，只不過(guò)很多一線教師在教學(xué)時(shí)總是忽略了橫式算理的教學(xué)，而偏重豎式方法的教學(xué)。

二、新授課是學(xué)具使用的最佳時(shí)機(jī)

皮亞杰認(rèn)為：“在教學(xué)過(guò)程中要通過(guò)兒童自身積極的活動(dòng)，讓兒童探究、發(fā)現(xiàn)知識(shí)?！币虼耍瑪?shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該只是機(jī)械地傳授知識(shí)，而應(yīng)該借助教具，設(shè)計(jì)豐富的活動(dòng)，讓學(xué)生積極參與進(jìn)來(lái)，從而發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力，激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣[2]。這些數(shù)學(xué)活動(dòng)，可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，這也是課改一直關(guān)注的學(xué)生的創(chuàng)新精神。

從教多年來(lái)，我一直覺(jué)得教學(xué)是需要抓住時(shí)機(jī)的，而且一旦過(guò)了合適的時(shí)機(jī)，教學(xué)就很難達(dá)到最佳的效果了。新授課往往就是學(xué)習(xí)新知識(shí)的重要時(shí)機(jī)，所以學(xué)具的使用在新授課上常常有事半功倍的效果。

例如教學(xué)長(zhǎng)方形面積時(shí)，可以使用小方格的學(xué)具讓學(xué)生通過(guò)親自數(shù)方格的方式推算出長(zhǎng)方形的面積是由一行有幾個(gè)面積單位乘有幾行得到的，從而進(jìn)一步推導(dǎo)出長(zhǎng)方形的面積公式是：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬。這個(gè)學(xué)生自己使用學(xué)具推導(dǎo)出公式的工作一定要在學(xué)生第一次接觸長(zhǎng)方形面積的時(shí)候進(jìn)行為最佳。因?yàn)榇藭r(shí)學(xué)生對(duì)于新的知識(shí)充滿了好奇，并且在一張白紙的基礎(chǔ)上推導(dǎo)更加能體驗(yàn)到公式帶來(lái)的便捷性和實(shí)用性。反之，如果在上課開(kāi)始就告知學(xué)生長(zhǎng)方形的面積公式，學(xué)生有時(shí)會(huì)將其跟長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式混淆，因?yàn)閷W(xué)生不是通過(guò)推導(dǎo)得來(lái)的，而是通過(guò)記憶得來(lái)的，這樣的記憶有時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)誤差。如果出現(xiàn)誤差時(shí)再回過(guò)去推導(dǎo)公式，收到的效果要比第一次接觸時(shí)那種恍然大悟的感覺(jué)差遠(yuǎn)了。

以上教版小學(xué)數(shù)學(xué)為例，大部分新授內(nèi)容都安排了學(xué)具教學(xué)，無(wú)論是計(jì)算類(lèi)還是圖形類(lèi)，都講究“畫(huà)面感”，就是在解題時(shí)能夠回憶起當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)所使用的學(xué)具，從而形象地記住知識(shí)點(diǎn)。

例如在一年級(jí)學(xué)習(xí)20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法時(shí)，用小圓片的形式教學(xué)例題9+5，讓學(xué)生在以后做到這樣的題目時(shí)，腦海中都能有類(lèi)似這樣的圖畫(huà)（圖1），或者這樣的圖畫(huà)（圖2）。

圖1

圖2

再如，在教學(xué)有余數(shù)的除法時(shí)，盡可能多地搭出某種圖形的方式，來(lái)體驗(yàn)搭到不能再搭為止，從而理解什么叫余數(shù)要比除數(shù)?。▓D3）；還有用位置圖上的小圓片理解什么是滿十進(jìn)一（圖4）；用餅圖來(lái)理解整體與部分，以及幾分之一（圖5）。這樣的例子還有很多……

圖3

圖4

圖5

在小學(xué)階段的教學(xué)中，形象的學(xué)具在幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解上起到了不可替代的作用，我們一直講要“學(xué)為中心”，要將“課堂還給學(xué)生”，學(xué)具的適當(dāng)使用恰恰體現(xiàn)了這一理念。在教師的合理設(shè)計(jì)下，學(xué)生可以利用學(xué)具更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至自己通過(guò)學(xué)具也能推導(dǎo)出數(shù)學(xué)原理。這樣學(xué)生會(huì)對(duì)知識(shí)達(dá)到深度理解，獲得較好的學(xué)習(xí)效果，感受更好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

三、在抽象和具體之間尋找平衡點(diǎn)

“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程”“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”，這些課改的新理念已經(jīng)深入人心，學(xué)具成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)作能力和動(dòng)手能力的載體。在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)具的使用是非常必要的。一線教師要做的就是在具體的學(xué)具和抽象的知識(shí)之間尋找到平衡點(diǎn)。形象思維固然有助于理解，適時(shí)的抽象也是數(shù)學(xué)概括和簡(jiǎn)潔的體現(xiàn)。這也很考驗(yàn)教師的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，比如厘清哪些內(nèi)容在第幾課時(shí)我們需要具體的學(xué)具操作、哪些內(nèi)容到什么年級(jí)段需要提煉為抽象的結(jié)論。

新《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：要注意建立學(xué)生的“模型思想”。而“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)”。所以，我們?cè)谛蜗罄斫庵笠⒁庖龑?dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型，說(shuō)到底數(shù)學(xué)是源于生活而高于生活的。

結(jié)　語(yǔ)

總之，介于數(shù)學(xué)抽象的屬性，無(wú)論在國(guó)內(nèi)還是在國(guó)外，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教育者們都試著用各種方式將之具象化，因此學(xué)具的使用成為基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)中的常用方式。各個(gè)國(guó)家對(duì)學(xué)具的使用程度和使用時(shí)機(jī)都各不相同，過(guò)于依賴(lài)或者棄之不用都不是最好的方式。