何改云，陶 浩，王太勇，董甲甲，張永賓

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300350)

為了減小加工過程中的振動(dòng)和沖擊，延長機(jī)床壽命以及提高加工質(zhì)量，數(shù)控加工時(shí)經(jīng)常對(duì)刀具的進(jìn)給速度、加速度以及捷度的最大值進(jìn)行限制，同時(shí)保證進(jìn)給速度曲線、加速度曲線甚至捷度曲線的平滑連續(xù)．許多學(xué)者對(duì) S型加減速的速度規(guī)劃方法進(jìn)行了研究，也有學(xué)者提出多項(xiàng)式加減速方法以保證捷度曲線的連續(xù)[1]．再者，現(xiàn)代數(shù)控系統(tǒng)開始使用 NURВS曲線對(duì)復(fù)雜零件輪廓進(jìn)行描述和直接插補(bǔ)加工．該方法不僅可以縮減數(shù)控代碼量，而且可以進(jìn)一步提高加工工件輪廓精度．Lee等[2]首先根據(jù)機(jī)床動(dòng)力學(xué)特性確定NURВS曲線的曲率極值點(diǎn)，然后根據(jù)曲率極值點(diǎn)對(duì)曲線進(jìn)行分段速度規(guī)劃和加工．Annoni等[3]詳細(xì)推導(dǎo)了基于機(jī)床加速度、捷度等限制條件的NURВS曲線加工中的速度限制公式．王海濤等[4]研究了 NURВS曲線實(shí)時(shí)插補(bǔ)模式下的 S型加減速速度規(guī)劃算法．羅福源等[5]提出了NURВS曲線的S形加減速雙向?qū)?yōu)插補(bǔ)算法．

然而，在 S型加減速速度規(guī)劃方面大多數(shù)文章都是討論連續(xù)時(shí)間域下的時(shí)間計(jì)算，只有少數(shù)文章提出對(duì) NURВS曲線插補(bǔ)速度規(guī)劃后得到的連續(xù)運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行周期化離散處理．陳友東等[6]通過重新計(jì)算加速度避免每段加工曲線“尾巴”處的低速運(yùn)行.許海峰等[7]提出對(duì)進(jìn)給速度曲線進(jìn)行“削峰填谷”的方法以降低速度的落差．楊林等[8]提出將不足一個(gè)插補(bǔ)周期的殘余運(yùn)行距離進(jìn)行速度平分．以上方法均在一定程度上減小了插補(bǔ)過程中曲線段間銜接速度的波動(dòng)，但同時(shí)也犧牲了機(jī)床的動(dòng)態(tài)特性如增大插補(bǔ)過程中的加速度值和捷度值．本文基于插補(bǔ)總時(shí)間周期化的思想，在機(jī)床最大加速度和捷度等的限制條件下，提出了對(duì)捷度階躍式 7段 S型加減速的連續(xù)規(guī)劃時(shí)間進(jìn)行周期化離散處理的方法．

在NURВS曲線插補(bǔ)過程中，參數(shù)u的近似求解不可避免地會(huì)帶來實(shí)際進(jìn)給速度與理想進(jìn)給速度之間的數(shù)據(jù)波動(dòng)，這正是NURВS曲線插補(bǔ)中機(jī)床震顫與沖擊產(chǎn)生的另一個(gè)原因．在高速高精加工過程中，需要盡可能地降低 NURВS曲線插補(bǔ)計(jì)算時(shí)的速度波動(dòng)率．傳統(tǒng)的NURВS曲線插補(bǔ)參數(shù)u的計(jì)算方法有泰勒展開法、常微分方程法和預(yù)估校正法[9]．Yong等[10]提出利用 2階泰勒展開法求解樣條曲線參數(shù) u的方法．賈慶祥等[11]提出一種基于 Adams算法的NURВS曲線插補(bǔ)算法．王允森等[12]提出應(yīng)用拋物線插值結(jié)合牛頓迭代的方法計(jì)算插補(bǔ)參數(shù)．雖然迭代校正法的計(jì)算精度較高，但其計(jì)算時(shí)間不唯一，因此可能由于迭代次數(shù)過多而造成插補(bǔ)周期溢出．Liu等[13]對(duì)參數(shù)曲線表達(dá)式C( u)的分子A( u)與分母B(u)進(jìn)行 2階泰勒展開，然后利用 Ferrari公式或Shengjin公式對(duì)參數(shù) u的 4次多項(xiàng)式進(jìn)行求解，仿真結(jié)果表明其速度波動(dòng)率小于泰勒 2階展開法．Liu等[14]在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上做了進(jìn)一步改進(jìn)，其方法可實(shí)現(xiàn)2階曲線參數(shù)u的零誤差，以及3階曲線參數(shù) u的最小誤差計(jì)算．本文在總結(jié)以上各種方法優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出在對(duì) Adams隱式格式進(jìn)行前向、中向、后向差分的基礎(chǔ)上，利用反向二次插補(bǔ)法計(jì)算插補(bǔ)參數(shù) u，其速度波動(dòng)率較低，且不需要迭代計(jì)算．

1 NURBS曲線加減速規(guī)劃

1.1 NURBS曲線定義

1條NURВS曲線由3類參數(shù)定義，分別為控制點(diǎn) Pi、節(jié)點(diǎn)向量以及控制點(diǎn)權(quán)因子wi，其表達(dá)式為

式中：Ni,p(u)為 В 樣條基函數(shù)；p為基函數(shù)的次數(shù)．特別地，當(dāng)所有控制點(diǎn)的權(quán)因子為 1時(shí)，NURВS曲線退化成一條В樣條曲線．

1.2 NURBS曲線插補(bǔ)進(jìn)給率預(yù)定制

進(jìn)給率是數(shù)控加工時(shí)的重要參數(shù)，不僅直接影響加工的效率、精度和刀具的切削特性，而且對(duì)加工過程的安全性和機(jī)床使用壽命有著重要影響．進(jìn)給率的確定與加工曲線的幾何特征、機(jī)床動(dòng)力學(xué)特性等因素有關(guān)．

基于最大輪廓誤差(chord error)的進(jìn)給率限定公式為

式中：T為插補(bǔ)周期；ρ (ui)為曲線在參數(shù)ui處的曲率；δmax為最大允許輪廓誤差．

當(dāng)?shù)毒哐厍€運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生向心加速度，為了防止法向加速度(Anmax)超出機(jī)床動(dòng)力學(xué)性能限制，進(jìn)給率限定公式為

式中Anmax為由機(jī)床動(dòng)力學(xué)特性決定的最大法向運(yùn)行加速度．

關(guān)于由捷度限制的進(jìn)給速度的計(jì)算比較復(fù)雜，文獻(xiàn)[3]給出了由切向捷度、法向捷度以及切向加速度的 1階導(dǎo)數(shù)等限制條件下的進(jìn)給限制速度的估值計(jì)算方法，但其計(jì)算較復(fù)雜，且在最壞情況下的估值計(jì)算結(jié)果會(huì)極大地降低進(jìn)給速度，進(jìn)而嚴(yán)重降低加工效率．因此，為了計(jì)算方便，本文假設(shè)進(jìn)給速度為勻速，且只考慮法向捷度(Jnmax)的影響[15]，并通過進(jìn)一步簡化得到

式中Jnmax為由機(jī)床動(dòng)力學(xué)特性決定的最大法向運(yùn)行捷度．

到此，得到由加工輪廓誤差及機(jī)床動(dòng)力特性條件限制的進(jìn)給速度為

式中F為給定進(jìn)給速度．

圖 1所示為不同限制條件下的 NURВS曲線插補(bǔ)前預(yù)定制速度曲線對(duì)比，圖2所示為半蝴蝶狀曲線及其插補(bǔ)速度極小值點(diǎn)(包括首末兩點(diǎn))，其限制條件為式(5).

圖1 不同限制條件下的NURBS曲線自適應(yīng)插補(bǔ)預(yù)定制速度Fig.1 Adaptive NURBS interpolating speed curve under different limiting conditions

圖2 半蝴蝶狀曲線及其插補(bǔ)速度極小值點(diǎn)Fig.2 Semi-butterfly curve and the minimum interpolating speed points

1.3 NURBS曲線插補(bǔ)前長度計(jì)算與 S型加減速速度規(guī)劃

通過NURВS曲線插補(bǔ)進(jìn)給速度的預(yù)定值，可以確定曲線插補(bǔ)過程中的速度極小值點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的插補(bǔ)參數(shù) u，進(jìn)而通過這些插補(bǔ)參數(shù)點(diǎn)對(duì)曲線進(jìn)行分段．許多文獻(xiàn)都提出要盡量準(zhǔn)確地計(jì)算出NURВS子曲線段的段長，但實(shí)際上NURВS曲線插補(bǔ)的本質(zhì)仍然是用微小直線段逼近原曲線輪廓，且微小線段的總長一定小于曲線的精確長度，其誤差值取決于實(shí)際插補(bǔ)時(shí)輪廓誤差值的大小，因此本文使用自適應(yīng)預(yù)插補(bǔ)法在得到進(jìn)給速度限制極小值點(diǎn)的同時(shí)計(jì)算NURВS子曲線的長度，后文的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，預(yù)插補(bǔ)法計(jì)算出的曲線插補(bǔ)總長度與速度規(guī)劃后的實(shí)際插補(bǔ)總長度非常接近，誤差值達(dá)到 10-1,μm 級(jí)，符合實(shí)際工程的要求．

通過對(duì)圖 2所示曲線(被速度極小值點(diǎn)分割成14段)進(jìn)行預(yù)插補(bǔ)法得到了分段子曲線的段長(表 1第2列)以及首末速度(表1第3列)之后，可以利用文獻(xiàn)[16]提出的方法對(duì)曲線插補(bǔ)的速度在連續(xù)時(shí)間域下進(jìn)行捷度階躍式 7段 S型加減速的快速時(shí)間規(guī)劃，但在此之前，需要通過回溯法驗(yàn)證曲線段的首末速度與段長是否符合實(shí)際情況，即實(shí)際段長是否大于或等于首末速度給定情況下的加減速過程走過的距離，否則需要降低起始速度或結(jié)束速度．表 1列出了利用回溯法對(duì)段長及其首末速度進(jìn)行匹配的結(jié)果．

表1 回溯法段長及其首末速度匹配結(jié)果Tab.1 Speed and length matching outcomes through backtracking method

2 7段式 S型加減速曲線連續(xù)規(guī)劃時(shí)間的離散化與任一時(shí)刻插補(bǔ)速度輸出

設(shè)在連續(xù)時(shí)間域下規(guī)劃出的任一子曲線段的插補(bǔ)起始速度為vs，結(jié)束速度為ve，段內(nèi)最大速度為vm，加速運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為ta，勻速運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為tc，減速運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為td，且S型曲線每段的具體運(yùn)行時(shí)間為Tk，k＝1～7．以下分3種情況討論.

2.1 有勻速運(yùn)動(dòng)的情況

圖 3所示為有勻速運(yùn)動(dòng)的 S型速度曲線，且默認(rèn)為完整 7段即包含勻加速段和勻減速段，并假設(shè)，為了將插補(bǔ)總運(yùn)動(dòng)時(shí)間周期化，需要將其延長時(shí)間b3，且

式中ceil()為向上取整函數(shù)．

圖3 有勻速運(yùn)動(dòng)的S型速度曲線Fig.3 S-type speed curve with constant speed moving stage

根據(jù)總時(shí)間周期化前后的運(yùn)動(dòng)路程相等的原則，以及 S型加減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間對(duì)稱的性質(zhì)可知，將總插補(bǔ)時(shí)間延長后，需要提前進(jìn)入減速運(yùn)動(dòng)階段，即將勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間縮減至tc′，此時(shí)有以下方程成立：

式中Scd為勻速運(yùn)動(dòng)和減速運(yùn)動(dòng)走過的總路程．解上述方程組得周期化變化后的勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

從而周期化變化后的減速總時(shí)間為

記減速運(yùn)動(dòng)總時(shí)間的增量為Δtd，則

為了得到周期化變化后 S型速度曲線每階段的具體運(yùn)行時(shí)間，根據(jù) S型速度曲線的對(duì)稱性以及盡可能減小減速過程捷度值JDreal的原則(加速過程有為加速過程捷度值，Jtmax為機(jī)床運(yùn)行時(shí)的切向最大捷度值)，本文選擇將減速總時(shí)間的增量Δtd平分給T5和T7，如圖 4所示．其中盡可能減小捷度值是有好處的，原因?qū)⒃诤笪恼撌觯?/p>

圖4中梯形面積表示速度的增量，由此可得

若將Δtd單分給T6，則有

通過比較式(10)與式(11)可知，所以本文選用將Δtd平分給T5和T7的方法，后同．

為了讓周期化變化后的勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間的變化量盡量小，由式(8)可知，當(dāng) ve＞ vs時(shí)，需要改變加速和勻速過程的時(shí)間，其方法同上．

圖4 捷度計(jì)算示意Fig.4 Jerk calculation

2.2 有加速和減速但無勻速運(yùn)動(dòng)的情況

圖 5所示為有加速和減速但無勻速運(yùn)動(dòng)階段的S型速度曲線，且默認(rèn)為完整 6段式，為了將插補(bǔ)總運(yùn)動(dòng)時(shí)間(ta+td)周期化，需要將其延長時(shí)間b3．由于此種情況下無勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間可供調(diào)整，因此本文提出對(duì)加速和減速過程總時(shí)間分別延長b1和b2的處理方法，此時(shí)運(yùn)行過程中的最大速度也將發(fā)生變化，設(shè)為，則有

令，可得

同上，令，將 Δta、Δtd分別平分給T1和T3以及T5和T7，并得到實(shí)際加速和減速過程中的捷度值JAreal和JDreal．

圖5 有加速和減速但無勻速運(yùn)動(dòng)S型速度曲線Fig.5 S-type speed curve with ACC/DEC but no constant speed moving stage

2.3 只有加速或減速的情況

本文以只有減速運(yùn)動(dòng)的情況為例討論，只有加速的情況原理相同．

圖 6所示為只含減速運(yùn)動(dòng)的 S型速度曲線，且默認(rèn)為完整 3段式，為了將插補(bǔ)總運(yùn)動(dòng)時(shí)間td周期化，需要將其延長時(shí)間b3．由周期化前后運(yùn)動(dòng)位移相等的約束條件可知，將減速時(shí)間周期化后必須降低起始速度vs或ve，為了減小周期化后速度的變化量，本文利用速度平攤下降的思想對(duì)稱減小vs和ve，其具體過程如圖6所示，則

同上，將平分給T5和T7，然后得到實(shí)際減速過程中的捷度值JDreal．

圖6 只有減速運(yùn)動(dòng)的S型速度曲線Fig.6 S-type speed curve with only DEC moving stage

2.4 S型加減速任一時(shí)刻插補(bǔ)速度輸出

以完整的 7段式 S型加減速曲線為例，如圖 3所示，如果速度值準(zhǔn)確落在理想速度曲線上，由于數(shù)控系統(tǒng)的離散運(yùn)動(dòng)，會(huì)造成實(shí)際走過的距離小于理想運(yùn)動(dòng)距離，且此誤差具有累計(jì)效應(yīng)，造成插補(bǔ)段末出現(xiàn)殘余“尾巴”的現(xiàn)象．為了保證實(shí)際走過的距離等于理想運(yùn)動(dòng)距離，需要根據(jù)積分變換原理，以 S型位移曲線為基準(zhǔn)，修改每個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)的進(jìn)給速度．以S型速度曲線的第1段即加加速階段為例，設(shè)v1為插補(bǔ)時(shí)刻t1的理想進(jìn)給速度，v2為插補(bǔ)時(shí)刻t2的理想進(jìn)給速度，S12為從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻走過的理想位移，vt為插補(bǔ)時(shí)刻t1的實(shí)際進(jìn)給速度，根據(jù) S型加減速的位移公式得

式中

同理，可通過 S型加減速位移公式計(jì)算出其他階段每一插補(bǔ)時(shí)刻的實(shí)際進(jìn)給速度．

在不同運(yùn)動(dòng)階段的轉(zhuǎn)接處，同樣如圖 3所示，即對(duì)于加加速階段末尾不足一個(gè)插補(bǔ)周期的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，需要將其與后一勻加速階段合并，即利用勻加速階段開始的1r時(shí)間段對(duì)上一段末尾運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行周期化補(bǔ)時(shí)(1r～r6為前 6段末尾不足一個(gè)插補(bǔ)周期的運(yùn)動(dòng)補(bǔ)時(shí))，根據(jù)補(bǔ)時(shí)前后運(yùn)動(dòng)路徑相等的原理得

式中

同理，可以對(duì)其他段末不足一個(gè)插補(bǔ)周期的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行補(bǔ)時(shí)，然后重新計(jì)算實(shí)際速度．由于在離散化速度輸出之前已經(jīng)將插補(bǔ)總時(shí)間進(jìn)行整周期化，所以除去段首的補(bǔ)時(shí)時(shí)間r6(如圖3所示)，最后減減速階段的剩余運(yùn)行時(shí)間正好是插補(bǔ)周期的整數(shù)倍．

3 連續(xù)時(shí)間域下運(yùn)行時(shí)間重新規(guī)劃與NURBS子曲線間銜接速度波動(dòng)平滑處理

由第2節(jié)可知，當(dāng)曲線段為純減速(或純加速)段時(shí)，離散時(shí)會(huì)降低首末速度，這樣會(huì)造成與此段相連的曲線段銜接處的速度波動(dòng)，從而嚴(yán)重影響機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能及加工質(zhì)量，本文以純減速段為例敘述．為了減小與純減速段銜接時(shí)的速度波動(dòng)，需要對(duì)純減速段以及與純減速段相連的前后兩子曲線段重新進(jìn)行連續(xù)時(shí)間域下的速度規(guī)劃，并記N為非純減速段，D為純減速段．下面分兩種情況討論．

3.1 非連續(xù)純減速曲線段相連(N-D-N)

此種情況只需提前計(jì)算 D段離散規(guī)劃時(shí)的首末速度降低量Δv，然后分別降低前一 N段的末尾速度ve以及后一 N段的起始速度vs．下面以降低前一 N段的末尾速度ve為例說明．

設(shè)ve′為ve下降Δv后的速度值，為了保持位移的一致性，需要同時(shí)延長總減速時(shí)間td至td′，且

利用前文敘述的方法，可求出實(shí)際的JDreal，且此時(shí)JDreal值可能會(huì)略微大于Jtmax．但根據(jù)第 2節(jié)理論可知，在離散化處理的過程中，捷度值會(huì)有所下降，因而可以在一定程度上抵消重新連續(xù)時(shí)間域規(guī)劃下捷度超限的影響，這正是利用式(10)而非式(11)計(jì)算JDreal的原因．

3.2 連續(xù)純減速段相連(N-D1-D2-N)

此種情況相對(duì)于上一種情況更加復(fù)雜．以兩段純減速段相連為例，因?yàn)閮上噜徏儨p速段在離散時(shí)均需要降低首末速度，且速度降低值′和Δv2一般不相等．這里假設(shè)提前計(jì)算出 D1段和 D2段在離散規(guī)劃時(shí)的首末速度降低量的關(guān)系為Δv2＞Δv1，那么理想情況下應(yīng)該對(duì) D1段進(jìn)行的降速處理，但又由第 2節(jié)理論可知，將 D1段進(jìn)行的降速處理后，其減速時(shí)間也將發(fā)生變化，因此并不能保證重新規(guī)劃后再離散處理時(shí)速度的降低值Δv1′正好為Δv1，并且大多數(shù)情況下兩者差距特別大．為了解決此問題，本文提出對(duì)純減速 D1段進(jìn)行首末速度非對(duì)稱降速(末尾速度降低Δv)處理的方法，其基本原則是保證重新規(guī)劃后的連續(xù)時(shí)間域在離散處理時(shí)的速度降低值

由式(14)可知，影響Δv值大小的關(guān)鍵因素為b3(如果插補(bǔ)周期為 1,ms，其大小一般為 10-4,s級(jí))．為了保證關(guān)系式成立，需要保證重新規(guī)劃后的插補(bǔ)總時(shí)間周期化補(bǔ)時(shí)值仍為b3，且總時(shí)間不發(fā)生較大變化．因此本文提出將減速總時(shí)間延長一個(gè)插補(bǔ)周期，然后重新計(jì)算起始速度的方法．則起始速度降低量為

式中Δve=Δv．然后將延長的一個(gè)插補(bǔ)周期時(shí)間T平分給T5和T7．

接下來，需要對(duì)D1前一N段的末尾速度ve進(jìn)行降速處理，其降速大小為同理對(duì) D2后一N段的起始速度vs進(jìn)行降速處理．值得一提的是，對(duì)于以上兩種情況，如果N段含有勻速運(yùn)動(dòng)，按照前面理論應(yīng)該根據(jù)此段首末速度vs和ve的關(guān)系判斷延長加速或減速過程的時(shí)間，但重新規(guī)劃階段此規(guī)則不再適用．

回看式(8)和式(13)，容易發(fā)現(xiàn)實(shí)際離散計(jì)算時(shí)可能出現(xiàn)式(8)中tc′＜0，以及式(13)中或的情況．對(duì)于tc′＜0的情況(主要原因是tc太小，小于或稍大于一個(gè)插補(bǔ)周期)，需要將含勻速階段的運(yùn)動(dòng)曲線退化成不含勻速但包含加速和減速運(yùn)動(dòng)的曲線．對(duì)于的情況(主要原因是T5和T7太小，小于或稍大于一個(gè)插補(bǔ)周期)，需要將運(yùn)動(dòng)曲線退化成純減速運(yùn)動(dòng)的曲線，并保證首末速度不變；對(duì)于的情況(主要原因是T5和T7太小，小于或稍大于一個(gè)插補(bǔ)周期)，需要將運(yùn)動(dòng)曲線退化成純加速運(yùn)動(dòng)的曲線，并保證首末速度不變．

4 NURBS曲線參數(shù)u的反向二次插補(bǔ)法求解

由于在工程實(shí)踐中，3次 NURВS曲線最為常用，所以本文實(shí)驗(yàn)所用的半蝴蝶狀曲線為 3次NURВS曲線．

NURВS曲線插補(bǔ)過程的實(shí)質(zhì)就是通過當(dāng)前插補(bǔ)參數(shù)點(diǎn)及此點(diǎn)的理想插補(bǔ)規(guī)劃速度計(jì)算下一插補(bǔ)參數(shù)點(diǎn)．最常用的方法為2階泰勒展開法，即

式中：ui為當(dāng)前插補(bǔ)點(diǎn)參數(shù)；ui+1為需要計(jì)算的下一插補(bǔ)點(diǎn)參數(shù)；v( ui)為當(dāng)前插補(bǔ)點(diǎn)處的理想進(jìn)給速度．

由于 2階泰勒展開法誤差較大，而常用的 4階Adams方法應(yīng)用于 3次NURВS曲線誤差較 2階泰勒展開法更大．為了避免迭代計(jì)算，本文利用 4階Adams差分法對(duì)ui+1進(jìn)行估值計(jì)算，然后利用反向二次插補(bǔ)法對(duì)估計(jì)值進(jìn)行校正．由于反向二次插補(bǔ)法需要3個(gè)初始估計(jì)值，而3階Adams差分法只能計(jì)算出2個(gè)初始值，因此這里選用4階Adams方法．

插補(bǔ)參數(shù)u的Adams 3步4階隱式計(jì)算公式為

大部分文獻(xiàn)在對(duì)式(20)做差分處理時(shí)只運(yùn)用了前向和后向差分公式，一共可以得到ui+1的 4個(gè)估計(jì)值．反向二次插補(bǔ)法需要 3個(gè)初始估計(jì)值且任意兩個(gè)值不能相等，為了增加初始估計(jì)值的選擇性，本文利用前-中-后向差分對(duì)式(20)進(jìn)行處理，由排列組合原理可知一共可以得到 9個(gè)估計(jì)值，其結(jié)果如表 2所示.

本文選用外部系數(shù)值居中的3個(gè)估計(jì)值，由表2可知，居中的 3個(gè)外部系數(shù)值分別為 1/8、1/10和1/11．對(duì)于外部系數(shù)為 1/11的 3個(gè)估計(jì)值，本文選用內(nèi)部系數(shù)絕對(duì)值之和居中的估計(jì)值，即(1/11)?．需要說明的是，對(duì)于這3個(gè)估計(jì)值的選取并沒有合理的依據(jù)，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證選取其中任意 3個(gè)估計(jì)值，最后計(jì)算出的誤差波動(dòng)效果相差不大．

表2 4階隱式Adams法前-中-后向差分結(jié)果Tab.2 Forward-center-backward differential outcomes of 4-order implicit Adams algorithm

以第2個(gè)估計(jì)值的計(jì)算為例，有

將其代入式(20)即可得到第 2個(gè)估計(jì)值

通過篩選，得到用于反向二次插補(bǔ)的3個(gè)插補(bǔ)參數(shù)ui+1的估計(jì)值，即

式中ui+1,0、ui+1,1和ui+1,2為用于實(shí)際插補(bǔ)參數(shù)值ui+1計(jì)算的3個(gè)估計(jì)值．反向二次插值的計(jì)算公式為

反向二次插補(bǔ)法的實(shí)質(zhì)是先通過理想進(jìn)給速度值v( ui)估計(jì)下一個(gè)插補(bǔ)參數(shù)值，然后通過反向估計(jì)實(shí)際的fi，進(jìn)而形成了正反雙向的估值循環(huán)，通過反向估值進(jìn)一步抵消正向估值的誤差，因此其精度較通常的一次正向2階泰勒展開法和4階Adams法的估值精度都要高．

圖 7所示為泰勒 2階展開法與反向二次插補(bǔ)法進(jìn)行參數(shù)u計(jì)算時(shí)的速度波動(dòng)率對(duì)比，其中泰勒2階展開法的最大速度波動(dòng)率為 0.058%,，而反向二次插補(bǔ)法的最大速度波動(dòng)率為 0.000,227%,．圖 8所示為兩種方法計(jì)算時(shí)間對(duì)比，由圖 8可知，反向二次插補(bǔ)法的計(jì)算效率相比2階泰勒展開法較低，但仍遠(yuǎn)小于1,ms的插補(bǔ)周期．

圖7 泰勒2階展開法與反向二次插補(bǔ)法速度波動(dòng)率對(duì)比Fig.7 Speed fluctuations comparison between 2-order Tylor and IQI methods

圖8 泰勒2階展開法與反向二次插補(bǔ)法計(jì)算時(shí)間對(duì)比Fig.8 Calculating time comparison between 2-order Tylor and IQI methods

5 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文選用的加工及機(jī)床動(dòng)力學(xué)性能參數(shù)為：插補(bǔ)周期 T =1ms ，最大輪廓(弦高)誤差法向最大加速度，切向最大加速度，法向最大捷度mm/s2，切向最大捷度，最大進(jìn)給速度．為了驗(yàn)證本文提出的方法以及算法的正確性，本文以 Visual Studio 2008為平臺(tái)進(jìn)行C語言編程，然后在處理器版本為Intel(R)Core(TM)i3-2310,M CPU @2.10,GHz的Hp筆記本電腦上運(yùn)行．

如圖 9所示，紅色實(shí)線所示為 S型加減速速度規(guī)劃之前的自適應(yīng)法預(yù)插補(bǔ)速度輸出曲線，且通過自適應(yīng)預(yù)插補(bǔ)法計(jì)算出的曲線總長度 L1＝456.451,710,603,098,mm．藍(lán)色梯形實(shí)線為 S型加減速速度規(guī)劃后周期離散化的實(shí)際速度輸出曲線，此時(shí)計(jì)算出的曲線總長度 L2＝456.452,185,mm．比較 L1和 L2發(fā)現(xiàn)，實(shí)際插補(bǔ)路徑比估計(jì)插補(bǔ)路徑長約0.47μm，原因是經(jīng)過速度規(guī)劃后的實(shí)際插補(bǔ)時(shí)的平均輪廓誤差小于自適應(yīng)法預(yù)插補(bǔ)時(shí)的平均輪廓誤差.圖 9中的第 8段的首末速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于自適應(yīng)規(guī)劃時(shí)的首末速度，原因是此段的曲線長度較短，在回溯過程中已做了降速匹配處理．圖 9中的第 9段為退化處理的曲線段，其原因是離散處理時(shí)出現(xiàn)的情況，具體細(xì)節(jié)如圖10所示，圖10中藍(lán)色梯形實(shí)線表示沒有經(jīng)過退化處理的含加減速不含勻速過程曲線段的離散速度輸出曲線，紅色梯形實(shí)線表示經(jīng)過退化處理后純減速曲線段的離散速度輸出曲線．由圖 10局部1的放大圖可知，沒有經(jīng)過退化處理的離散速度曲線出現(xiàn)速度突變錯(cuò)誤，而退化處理后的離散速度曲線比較光滑．圖 11所示為連續(xù)時(shí)間域運(yùn)行時(shí)間重新規(guī)劃前后離散速度輸出的 3處轉(zhuǎn)接處的局部放大圖．由圖 11可知，在重新規(guī)劃前，與純減速段相連的銜接處的速度出現(xiàn)較大波動(dòng)，而重新規(guī)劃后，與純減速段相連的銜接處的速度波動(dòng)情況顯著改善. 圖 12為重新規(guī)劃前的捷度輸出，由圖 12可知，與純減速段相連處的速度波動(dòng)會(huì)造成捷度值大幅度超出機(jī)床的動(dòng)力性能限制．圖 13為重新規(guī)劃后的捷度輸出，由圖 13可知，相比重新規(guī)劃前與純減速段相連處的捷度值大幅度減?。捎谠陬A(yù)插補(bǔ)階段估計(jì)的曲線段長與實(shí)際插補(bǔ)的曲線段長之間有誤差，所以子曲線段間不可避免地會(huì)出現(xiàn)小幅度的捷度值超限．

圖9 S型加減速周期化離散速度輸出Fig.9 S-type periodic discretized speed output curve

圖10 不含勻速運(yùn)動(dòng)段退化處理成純減速度段后的離散速度輸出Fig.10 Discretized speed output after degeneration from curve without constant speed stage to curve with only DEC moving stage

圖11 重新規(guī)劃前后轉(zhuǎn)接處速度對(duì)比Fig.11 Comparison between speeds before and after rescheduling in conjunctures

圖12 重新規(guī)劃前的捷度輸出Fig.12 Jerk output before rescheduling

圖 14為重新規(guī)劃后的加/減速度輸出，由圖 14可以看出插補(bǔ)過程中的加速度值始終限制在機(jī)床最大切向加速度之內(nèi)，且曲線比較光滑．

圖13 重新規(guī)劃后的捷度輸出Fig.13 Jerk output after rescheduling

圖14 重新規(guī)劃后的加/減速度輸出Fig.14 Acceleration/deceleration output after rescheduling

6 結(jié) 論

(1) 提出了連續(xù)時(shí)間域下 S型加減速速度規(guī)劃的整周期化離散處理方法，該方法在基本不影響加工效率的前提下，以位移曲線為基準(zhǔn)，解決了曲線插補(bǔ)末尾的殘余“尾巴”問題，實(shí)現(xiàn)了速度的離散化輸出.

(2) 為了減小由離散化處理造成的曲線連接處的速度突變問題，提出了連續(xù)時(shí)間域下 S型加減速速度重新規(guī)劃的方法，該方法主要解決了與純加(減)速段相鄰的曲線段間離散速度輸出時(shí)銜接處的波動(dòng)問題，且仿真實(shí)驗(yàn)證明此方法有效．

(3) 在NURBS曲線的實(shí)時(shí)插補(bǔ)階段，提出利用反向二次插補(bǔ)法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的泰勒 2階展開法計(jì)算插補(bǔ)參數(shù)，既避免了迭代運(yùn)算可能造成插補(bǔ)周期溢出的問題，又大幅度地減小了速度波動(dòng)率．

參考文獻(xiàn)：

［1］王允森，蓋榮麗，孫一蘭，等. 高質(zhì)量加工中四次多項(xiàng)式速度規(guī)劃算法研究[J]. 中國機(jī)械工程，2014，25(5)：636-641.Wang Yunsen，Gai Rongli，Sun Yilan，et al. Research on quartic polynomial velocity planning algorithm for high quality machining[J]. China Mechanical Engineering，2014，25(5)：636-641(in Chinese).

［2］Lee An-Chen，Lin Ming-Tzong，Pan Yi-Ren，et al.The feedrate scheduling of NURBS interpolator for CNC machine tools[J]. Computer-Aided Design，2011，43：612-628.

［3］Annoni Massimiliano，Bardine Alessandro，Campanelli Stefano，et al. A real-time configurable NURBS interpolator with bounded acceleration，jerk and chord error[J]. Computer-Aided Design，2012，44(6)：509-521.

［4］王海濤，趙東標(biāo)，高素美. NURBS 曲線實(shí)時(shí)插補(bǔ) S型加減速算法的研究[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2010，40(1)：63-67.Wang Haitao，Zhao Dongbiao，Gao Sumei. Research on the S-shape acceleration/deceleration algorithm in NURBS curve real time interpolation[J]. Journal of Shandong University：Engineering Science，2010，40(1)：63-67(in Chinese).

［5］羅福源，游有鵬，尹 涓. NURBS 曲線 S 形加減速雙向?qū)?yōu)插補(bǔ)算法研究[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，48(5)：147-156.Luo Fuyuan，You Youpeng，Yin Juan. Research on the algorithm of NURBS curve bidirectional optimization interpolation with S-type acceleration and deceleration control[J]. Journal of Mechanical Engineering，2012，48(5)：147-156(in Chinese).

［6］陳友東，魏洪興，王琦魁. 數(shù)控系統(tǒng)的直線和 S形加減速離散算法[J]. 中國機(jī)械工程，2010，21(5)：567-570.Chen Youdong，Wei Hongxing，Wang Qikui. An algorithm of sampled-data linear and S shape acceleration and deceleration for CNC controller[J]. China Mechanical Enigineering，2010，21(5)：567-570(in Chinese).

［7］許海峰，王宇晗，李宇昊，等. 小線段高速加工的速度模型研究和實(shí)現(xiàn)[J]. 機(jī)械工程師，2005(4)：9-13.Xu Haifeng，Wang Yuhan，Li Yuhao，et al. Research on feedrate model of look-ahead and solution algorithm of high-speed machining of small line segments[J]. Mechanical Engineer，2005(4)：9-13(in Chinese).

［8］楊 林，張承瑞. 基于時(shí)間分割的前加減速快速插補(bǔ)算法[J]. 制造技術(shù)與機(jī)床，2008(9)：93-96.Yang Lin，Zhang Chengrui. Time division based acceleration/deceleration interpolation algorithm[J]. Manufacturing Technology and Machine Tools，2008(9)：93-96(in Chinese).

［9］孫玉文，徐金亭，任 斐，等. 復(fù)雜曲面高性能多軸精密加工技術(shù)與方法[M]. 北京：科學(xué)出版社，2014.Sun Yuwen，Xu Jinting，Ren Fei，et al. Technology and Method in High-Performance Multi-Axis Precision Machining for Complex Surface[M]. Beijing：Science Press，2014(in Chinese).

［10］Yong Tsehaw，Narayanaswami Ranga. A parametric interpolator with confined chord errors，acceleration and deceleration for NC machining[J]. Computer-Aided Design，2003，35(13)：1249-1259.

［11］賈慶祥，徐知行，劉新山. 基于阿當(dāng)姆斯算法的NURBS曲線插補(bǔ)[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：工學(xué)版，2009，30(增 1)：215-218.Jia Qingxiang，Xu Zhixing，Liu Xinshan. NURBS interpolation based on Adams algorithm[J]. Journal of Jilin University：Engineering and Technology Edition，2009，30(Suppl 1)：215-218(in Chinese).

［12］王允森，楊東升，劉蔭忠，等. NURBS插補(bǔ)中的速度規(guī)劃與參數(shù)計(jì)算[J]. 計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2014，20(8)：1896-1902.Wang Yunsen，Yang Dongsheng，Liu Yinzhong，et al.Velocity planning and parameter calculating in NURBS interpolation[J]. Computer Integrated Manufacturing Systems，2014，20(8)：1896-1902(in Chinese).

［13］Liu Huan，Liu Qiang，Zhou Shengkai，et al. A NURBS interpolation method with minimal feedrate fluctuation for CNC machine tools[J]. Int J AdvManuf Technol，2015，78：1241-1250.

［14］Liu Qiang，Liu Huan，Yuan Songmei. High accurate interpolation of NURBS tool path for CNC machine tools[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering，2016，29(5)：911-920.

［15］Schot S H. Jerk：The time rate of change of acceleration[J]. American Journal of Physics，1978，46(11)：1090-1094.

［16］田軍鋒，林 滸，姚 壯，等. 數(shù)控系統(tǒng) S型曲線加減速快速規(guī)劃研究[J]. 小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，2013，34(1)：168-172.Tian Junfeng，Lin Hu，Yao Zhuang，et al. Study on S-shape curve acceleration and deceleration control fast planning on CNC system[J]. Journal of Chinese Computer Systems，2013，34(1)：168-172(in Chinese).