陳 濤，崔岳寒，黃湘松

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

陣列信號處理是信號處理的一個(gè)重要分支，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于很多不同的領(lǐng)域，如電磁、聲吶、地震、雷達(dá)等[1-2]．其中，波達(dá)方向(direction of arrival，DOA)估計(jì)問題是陣列信號處理的基本問題之一[3]，基于陣列的 DOA估計(jì)在電磁、聲吶和地震傳感等應(yīng)用中都起到了舉足輕重的作用，DOA估計(jì)算法的主要目標(biāo)是能夠在噪聲環(huán)境下有效地分辨密集分布的信號源．目前有很多先進(jìn)的信源 DOA估計(jì)算法如多重信號分類(MUSIC)算法等都具有較好的分辨力[4-5].

短快拍測向算法的研究主要針對軍事和衛(wèi)星通信，在陣列接收數(shù)據(jù)有限且目標(biāo)高速運(yùn)動的前提下，實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)進(jìn)行實(shí)時(shí)處理，兼具較高的 DOA估計(jì)精度，并為高速運(yùn)動目標(biāo)的定位和跟蹤提供技術(shù)支持[6-7]．近年來很多專家學(xué)者將研究的目光鎖向少快拍甚至單快拍下的陣列信號處理[8-9]．

頻率捷變技術(shù)是在現(xiàn)代雷達(dá)對抗中廣泛使用的一種新型手段．捷變頻信號是相鄰發(fā)射脈沖或脈沖組間的載波頻率在一定范圍內(nèi)以很高的速度隨機(jī)跳變，是一種非平穩(wěn)信號[10]．由于捷變頻信號具有頻率不固定的特點(diǎn)，因而對其 DOA估計(jì)的難度要大于固定頻率的窄帶信號，若加之快拍數(shù)較小的情況，其DOA估計(jì)就會變得更困難．

針對以上問題，本文提出一種基于短快拍的捷變頻信號DOA算法，即ISSFAS(improved-shortsnapshot-frequency-agile-signal)算法．該算法將偽協(xié)方差矩陣法與頻域聚焦法相結(jié)合，用重新構(gòu)成的偽協(xié)方差矩陣代替原有的協(xié)方差矩陣，并用頻域聚焦的方法對可變頻率的情況進(jìn)行處理．ISSFAS算法的優(yōu)點(diǎn)為具有良好的 DOA估計(jì)性能，能夠在短快拍下進(jìn)行超分辨．

1 信號模型

假設(shè)有K個(gè)信號入射到由M個(gè)全向陣元組成的均勻線陣上，信號數(shù)K已知或已估計(jì)得到，上標(biāo)“*”表示共軛，上標(biāo)“T”表示轉(zhuǎn)置，上標(biāo)“H”表示共軛轉(zhuǎn)置．于是陣列輸出矢量為[1]

式中：信號矢量；噪聲矢量；導(dǎo)向矢量，其中，θi為第i個(gè)信號的入射角度，λ為信號波長．假設(shè)入射信號為不相關(guān)的零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，第i個(gè)信號的功率為，噪聲為高斯白噪聲，每個(gè)陣元上的噪聲功率為，信號與噪聲不相關(guān)[11]．

2 算法實(shí)現(xiàn)

2.1 偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法

當(dāng)捷變頻信號的每個(gè)頻點(diǎn)對應(yīng)一個(gè)快拍時(shí)，傳統(tǒng)的協(xié)方差矩陣構(gòu)造方式會出現(xiàn)信息量不足的情況，本文通過構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣來解決這一問題．

假設(shè)每個(gè)捷變頻信號的基帶信號頻率均為f，頻點(diǎn)數(shù)均為C個(gè)，對每個(gè)頻點(diǎn)構(gòu)造相應(yīng)的偽協(xié)方差矩陣，其構(gòu)造方法和原理如下．

將每個(gè)頻點(diǎn)下的偽協(xié)方差矩陣Y表示為的形式．其中D為K×K維的滿秩矩陣為滿足均勻線陣陣列流型的L×K維矩陣的第p個(gè)元素可表示為，其中．為保證偽協(xié)方差矩陣的秩為K，應(yīng)有L＞K，這樣構(gòu)造出來的偽協(xié)方差矩陣Y是L×L維的．這樣，就可利用常規(guī)的空間譜估計(jì)算法來對其實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)[12]．

偽協(xié)方差矩陣Y中的元素Y(p，q)可表示為

式中dnω為矩陣D的元素．

當(dāng)矩陣D為對角陣時(shí)，式(2)便可表示為

此時(shí)，在對角線元素不為 0的情況下，矩陣D是滿秩的．進(jìn)而利用式(8)來構(gòu)造新的偽協(xié)方差矩陣的每個(gè)數(shù)據(jù)．

將信號的有用信息表示為

這樣構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣的方法相當(dāng)于增加了可利用的信息量．由式(9)可知，M個(gè)陣列接收信號的相位是位于范圍內(nèi)的等差數(shù)列，可表示的相位范圍為，固定相位φn的取值與相位參考點(diǎn)的選擇有關(guān)．這就是構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣時(shí)可用的信息[12]．

當(dāng)(信號為實(shí)信號)時(shí)，則有

綜上所述，令并代入式(8)，此時(shí)偽協(xié)方差矩陣[13]可表示為

進(jìn)而C個(gè)頻點(diǎn)的偽協(xié)方差矩陣分別為Y1、Y2、…、Yc.

2.2 頻域聚焦法

2.2.1 聚焦頻率的確定

捷變頻信號的頻率不固定，如果不加任何處理會導(dǎo)致快拍數(shù)據(jù)樣本誤差過大，進(jìn)而造成 DOA估計(jì)性能的下降，我們采用頻域聚焦法來解決這一問題，此節(jié)介紹頻域聚焦的中聚焦頻率的確定．

首先對偽協(xié)方差矩陣Y1、Y2、…、Yc進(jìn)行二階積累．

對拓展的偽協(xié)方差矩陣進(jìn)行二階積累，公式為

式中L為每個(gè)頻點(diǎn)對應(yīng)的快拍數(shù)．得到每個(gè)頻點(diǎn)二階積累后的矩陣R1、R2、…、Rc．

對R1、R2、…、Rc進(jìn)行奇異值分解并得到對應(yīng)的奇異值S1、S2、…、Sc，以S1、S2、…、Sc為觀測樣本，計(jì)算對應(yīng)與觀測樣本均值的差值δ1、δ2、…、δc，其中最小值對應(yīng)的頻率f0即為聚焦頻率，其對應(yīng)的導(dǎo)向矢量為a(θ0)．

2.2.2 聚焦矩陣的確定

在確定聚焦頻率 f0后，通過構(gòu)造聚焦矩陣來達(dá)到所有頻點(diǎn)向聚焦頻率f0聚焦的目的，其構(gòu)造方式如下．

對R1、R2、…、Rc進(jìn)行特征值分解得到對應(yīng)的特征向量Q1、Q2、…、Qc，其中聚焦頻率 f0對應(yīng)的特征向量為Q0，則有聚焦矩陣Td為[1]

進(jìn)而，頻域聚焦后的總體協(xié)方差矩陣 R′可表示為

2.3 ISSFAS算法的步驟

綜上所述，將第 2.1節(jié)與第2.2節(jié)提出的方法進(jìn)行合并為ISSFAS算法，其步驟如下．

步驟 1構(gòu)造每個(gè)頻點(diǎn)的偽協(xié)方差矩陣Y1、

步驟 2算出每個(gè)頻點(diǎn)的二階積累矩陣R1、

步驟3 確定聚焦頻率f0，及其對應(yīng)的導(dǎo)向矢量為a(θ0)．

步驟4算出總體協(xié)方差矩陣 R′．

步驟5對 R′進(jìn)行特征值分解，以得到噪聲子空間U．

步驟6搜索譜函數(shù)極大值點(diǎn)確定信號入射方向．

3 仿真實(shí)驗(yàn)與性能分析

3.1 ISSFAS算法分辨能力

此節(jié)對 ISSFAS算法分辨信號的能力進(jìn)行分析，仿真條件如下．

均勻線陣的陣元數(shù)為8，陣元間距為0.075,m，快拍數(shù)為8，信噪比為10,dB，頻率為2到2.5,G，帶寬為500,M，頻點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，入射角分別在-30°～-15°、-5°～5°和 15°～30°隨機(jī)產(chǎn)生 3 個(gè)入射角度．

圖1為ISSFAS算法的空間譜圖，表1為真實(shí)入射角與入射角估計(jì)值的角度對比．

由圖1和表1可知，兩個(gè)相鄰估計(jì)入射角譜峰的均值分別為 112.98,dB和 138.19,dB，均大于相鄰入射信號角度均值的譜峰 0.97,dB和 1.03,dB，滿足峰值的均值大于峰值對應(yīng)角度均值的空間譜值的分辨力條件[1]，即 ISSFAS算法可對仿真條件下的每個(gè)信號進(jìn)行分辨，具有較好的超分辨能力．

圖1 ISSFAS算法空間譜圖Fig.1 Space spectrum of ISSFAS algorithm

表1 角度對比Tab.1 Comparison of angles

3.2 與M-TCT算法測向性能比較

此節(jié)將 ISSFAS算法與未與偽協(xié)方差法相結(jié)合的情況(即直接用MUSIC與TCT算法進(jìn)行信號處理的M-TCT算法)進(jìn)行比較．

仿真條件同上節(jié)，圖2為未構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣情況下的空間譜圖，表2為此情況下真實(shí)入射角與入射角估計(jì)值的角度對比．

圖2 未構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣的情況Fig.2 The case without pseudo-covariance matrix

由圖2和表2可知，同樣的仿真條件下，未與偽協(xié)方差矩陣方法結(jié)合，而用傳統(tǒng)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行DOA估計(jì)的情況(M-TCT算法)不能進(jìn)行 3個(gè)信號的分辨，進(jìn)而ISSFAS算法具有更好的測向性能．

表2 角度對比Tab.2 Comparison of angle

3.3 信噪比對ISSFAS算法的影響

此節(jié)討論信噪比對 ISSFAS算法的影響，仿真條件為：均勻線陣的陣元數(shù)為 8，陣元間距為 0.075,m，快拍數(shù)為8，頻率為2～2.5,G，帶寬為500,M，頻點(diǎn)數(shù)為 8個(gè)，入射角在-30°～30°隨機(jī)生成，搜索精度為0.1°，蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100次．

圖3為不同信噪比下，ISSFAS算法的測角精度.由圖 3可知，ISSFAS算法的測角精度隨著信噪比的增大而提高．

圖3 不同信噪比下的測角精度Fig.3 Accuracy of DOA in different SNR

3.4 快拍數(shù)對ISSFAS算法的影響

此節(jié)討論快拍數(shù)對 ISSFAS算法的影響，仿真條件如下所示．均勻線陣的陣元數(shù)為 8，陣元間距為0.075,m，信噪比為 10,dB，頻率為 2到 2.5,G，帶寬為500,M，入射角在-30°～30°隨機(jī)生成．

圖4 不同快拍數(shù)下的測角精度Fig.4 Accuracy of DOA in different snapshots

圖 4為不同快拍數(shù)下，ISSFAS算法的測角精度．由圖 4可知，ISSFAS算法的測角精度隨著快拍數(shù)的增大而提高．

3.5 ISSFAS算法計(jì)算復(fù)雜度探究

ISSFAS算法具有可在短快拍下進(jìn)行超分辨且可處理捷變頻信號的優(yōu)點(diǎn)，但其在取得一定性能提高的同時(shí)，也在算法復(fù)雜度和運(yùn)算時(shí)間上付出一定的代價(jià).

與傳統(tǒng)的運(yùn)用 MUSIC算法進(jìn)行信號處理相比，ISSFAS算法采用的偽協(xié)方差矩陣法在將原有的1×M維的信號矢量x拓展成M×M維的偽協(xié)方差矩陣Y，并加入共軛信息，因而算法復(fù)雜度增加．

表3為ISSFAS算法與M-TCT算法的運(yùn)算時(shí)間對比．由表3可知，ISSFAS算法的運(yùn)算時(shí)間大于MTCT算法．如何在保證提高性能的同時(shí)減小算法復(fù)雜度是今后需要研究的方向．

表3 運(yùn)算時(shí)間Tab.3 Time of operation

4 結(jié) 語

本文提出了一種基于短快拍的捷變頻信號 DOA算法，該算法將偽協(xié)方差矩陣法與頻域聚焦法相結(jié)合，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：ISSFAS算法在短快拍下能夠進(jìn)行超分辨，且性能強(qiáng)于未與偽協(xié)方差法相結(jié)合的情況．

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