鄭曉珂, 唐 煒， 王立博， 王 波

(西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院， 陜西 西安 710129)

引 言

顫振是氣動力、彈性力和慣性力的耦合作用而發(fā)生的一種自激振動，是氣動彈性系統(tǒng)動力學(xué)失穩(wěn)的一種表現(xiàn)形式，會導(dǎo)致飛行器結(jié)構(gòu)短時(shí)間內(nèi)破壞，釀成災(zāi)難性后果。現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)由于采用了輕柔結(jié)構(gòu)，并且追求高速、高機(jī)動性，顫振問題顯得愈加突出。因此，如何進(jìn)行有效的顫振主動抑制是飛行器設(shè)計(jì)必須解決的關(guān)鍵問題。

現(xiàn)代控制理論早已應(yīng)用于顫振抑制。LQR控制[1]和LQG控制[2]是早期研究的主流方法。近年來，魯棒控制因其能夠描述對象的不確定性，已成為顫振抑制的一種有效設(shè)計(jì)方法。在文獻(xiàn)[3]中，H∞和μ綜合控制被用于BACT風(fēng)洞模型的顫振抑制，取得了較好的魯棒性和抗干擾性。

飛行器因其飛行狀態(tài)變化形成了快速時(shí)變的特點(diǎn)，魯棒控制只是提高了控制律的適用范圍，并不能解決根本控制律的大范圍寬自適應(yīng)性問題。最近，線性變參數(shù)方法(LPV)因其能反映系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性而被廣泛關(guān)注。作為一種增益調(diào)參方法，LPV控制既能兼顧全局魯棒性又能表現(xiàn)出參數(shù)自適應(yīng)性。例如：文獻(xiàn)[4]針對BACT機(jī)翼模型設(shè)計(jì)了以動壓和馬赫數(shù)為調(diào)度參數(shù)的LPV增益調(diào)度控制器進(jìn)行顫振抑制，仿真結(jié)果表明效果良好。文獻(xiàn)[5]則針對BFF vehicle設(shè)計(jì)H∞和LPV控制器，并比較了二者的性能。LPV控制技術(shù)目前已被用于試驗(yàn)驗(yàn)證機(jī)X-56A的顫振抑制研究中[6]。

本文旨在探索適用于顫振抑制的LPV控制器設(shè)計(jì)方法，結(jié)合LPV斜投影法和Lyapunov函數(shù)方法給出了一種包括模型降階在內(nèi)的LPV控制器快速實(shí)現(xiàn)方法，并將其應(yīng)用于Goland Wing機(jī)翼的顫振抑制。仿真結(jié)果表明該控制器能夠勝任在較寬飛行包線范圍內(nèi)的顫振抑制。

1 線性變參數(shù)模型

LPV模型是一種時(shí)變的狀態(tài)空間模型，其定義如下

(1)

式中ρ(t)為實(shí)時(shí)可測的調(diào)度參數(shù)。矩陣A,B,C,D是ρ(t)的已知函數(shù)，對于飛行器而言，ρ可以是飛行高度、速度、動壓等變化參數(shù)。

目前，LPV模型的表示方法主要包括線性分式變換(LFT)法[7]；網(wǎng)格線性化法[8]和狀態(tài)矩陣的多胞形法[9](仿射參數(shù)依賴形)。本文將采用網(wǎng)格法表示LPV模型。建立氣彈系統(tǒng)的LPV模型是開展LPV控制的基礎(chǔ)。現(xiàn)有LPV建模包含了理論建模和實(shí)驗(yàn)建模。前者借助氣動流體計(jì)算和有限元結(jié)構(gòu)分析，得到一個(gè)階次高達(dá)數(shù)百階，乃至上千階的LPV模型，這顯然無法滿足LPV控制對模型階次的要求，因此對理論模型降階必不可少。后者通常采用全局或局部辨識方法[10-11]，是理論模型修正的輔助手段。本文將主要研究基于理論模型的LPV控制。

2 LPV斜投影降階

高保真的飛行器氣彈模型不僅含有剛體運(yùn)動模型，還含有彈性模態(tài)動態(tài)特性，原始模型階次很高，為了得到面向控制的LPV模型，需對高階模型進(jìn)行降階處理。LPV模型降階不同于LTI模型，其降階過程需要考慮多個(gè)離散網(wǎng)格點(diǎn)的狀態(tài)空間一致問題，同時(shí)，計(jì)算量也是困擾模型降階的主要難點(diǎn)。本節(jié)采用的LPV斜投影降階法[12]適用于穩(wěn)定的LPV系統(tǒng)，能有效解決以上兩個(gè)問題。

LPV降階模型定義如下

(2)

式中Ared,Bred,Cred,Dred的階次應(yīng)控制在20階以下。

2.1 LPV模型平衡變換

類似于LTI模型的平衡截?cái)喾ǎ琇PV模型可通過計(jì)算廣義可控Gramian矩陣Xc,ρ和廣義可觀Gramian矩陣Xo,ρ進(jìn)行LPV模型的平衡，廣義可控可觀矩陣滿足下列LMIs

(3)

(4)

進(jìn)而得到LPV系統(tǒng)的平衡變換：

(5)

(6)

2.2 基于變參數(shù)斜投影的平衡截?cái)?/h3>

(7)

(8)

系統(tǒng)(8)即為希望得到的降階模型。

2.3 算法實(shí)現(xiàn)

(1)局部LTI模型：計(jì)算每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)ρk?{ρ1,…,ρm}處模型的Cholesky分解和奇異值分解(SVD):

(9)

(10)

(2)全局LPV模型：由SVD近似計(jì)算變參數(shù)主子空間span(Lc,ρU1,ρ)

(11)

變參數(shù)斜投影平衡截?cái)酁?/p>

(12)

綜上可知，LPV斜投影降階法是用變參數(shù)的核定義了投影的方向，用常量矩陣V保證降階LPV系統(tǒng)的狀態(tài)一致性，同時(shí)避免了參數(shù)率的引入。

3 LPV控制設(shè)計(jì)

假設(shè)廣義對象有如下形式

(13)

其中為了簡化推導(dǎo)過程，式中假設(shè)D11(ρ)=0, D22(ρ)=0，同時(shí)，D12(ρ)，D21(ρ)被轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。

因此，從y到u的反饋線性變參數(shù)控制器可定義為

(14)

(15)

其中

(16)

(17)

(18)

(19)

LPV控制器的求解由如下定理給出。

(20)

(21)

(22)

如果這些條件滿足，定義

(23)

(24)

(25)

進(jìn)而，可得到n維的反饋控制器，定義如下：

Q-1(ρ)X(ρ)L(ρ)C2(ρ) -

(26)

BK(ρ): = -Q-1(ρ)X(ρ)L(ρ)

(27)

CK(ρ): = F(ρ)

(28)

DK(ρ):=0

(29)

其中：

(30)

由式(20)～(22)可知：LPV控制器的可解條件是無窮維的LMI優(yōu)化問題。為了簡化問題，可以通過一組基函數(shù)定義矩陣變量

(31)

4 應(yīng)用算例

本文以Goland Wing機(jī)翼模型驗(yàn)證LPV降階和控制算法的有效性。Goland Wing是一副小展弦比的矩形機(jī)翼，其幾何外形和片條的劃分如圖 1所示[14]。選擇機(jī)翼的前4階模態(tài)建模，機(jī)翼均勻分布12塊片條，每塊片條入流項(xiàng)個(gè)數(shù)為7個(gè)，系統(tǒng)輸出為機(jī)翼的模態(tài)坐標(biāo)，1個(gè)控制舵面輸入。利用片條理論和有限元計(jì)算，可得到一個(gè)92階、以來流速度V為變量的初始狀態(tài)空間模型。

圖1 Goland Wing片條劃分(單位:m)Fig.1 Goland Wing and strip division (Unit: m)

4.1 降階效果

根據(jù)系統(tǒng)的Hankel奇異值，初步選擇降階后的系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為12階。利用本文研究的LPV斜投影降階方法只需2 s即可完成模型降階。為了說明模型的有效性，圖2對比了全階系統(tǒng)和降階系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)點(diǎn)V=[102∶2∶132] m/s的Bode圖，由圖可知，在頻率低于104rad/s時(shí)的Bode圖與原始系統(tǒng)基本重合，較好保留了系統(tǒng)的頻率特性。

圖2 全階和降階模型的Bode圖對比Fig.2 Bode of full-order versus reduced-order model

圖3比較了全階系統(tǒng)和降階系統(tǒng)在整個(gè)變參數(shù)空間的極點(diǎn)移動情況，淺色到深色的漸變過程為速度由低到高的過程。由圖3可以看出，降階模型與全階模型的輕阻尼模態(tài)軌跡基本重合，而輕阻尼模態(tài)是誘發(fā)顫振的主要模態(tài)。

圖3 飛行包線內(nèi)的極點(diǎn)移動圖Fig.3 Pole migration across flight envelope

LPV系統(tǒng)是時(shí)變的，針對單點(diǎn)的LTI模型分析并不能抓住LPV模型的時(shí)變本質(zhì)，因此，有必要針對參數(shù)軌跡開展時(shí)域仿真。圖4所示為選取的參數(shù)軌跡，該軌跡包含了具有高變化速率的完整來流速度參數(shù)空間，同時(shí)，比較了全階和降階系統(tǒng)沿著時(shí)變參數(shù)軌跡的階躍響應(yīng)，可以看出降階模型很好地與全階模型重合，保留了系統(tǒng)的時(shí)變特性，其他輸入輸出與此類似。

圖4 LPV仿真Fig.4 LPV simulation

4.2 LPV控制效果

針對降階后的12階機(jī)翼模型，由頻率特性得到隨著速度的增加一階模態(tài)頻率和二階模態(tài)頻率相互接近。求得顫振臨界速度為136.205 m/s，顫振頻率為11.1408 Hz。

控制框圖如圖5所示，其中，Wperf為性能權(quán)重函數(shù)；Wu為輸入加權(quán)函數(shù)；Wnoise為測量噪聲權(quán)重；Wdist為擾動權(quán)重函數(shù)，以上各權(quán)重函數(shù)取值如下：

Wperf=2diag(0.015,0.015,0.05,0.05)

Wu=(12/π)I1×1

Wn oise=0.001I4×4；Wdist=I1×1

圖5 控制設(shè)計(jì)框圖Fig.5 Control Design block diagram

通過將權(quán)重函數(shù)取為常量值，可得到較為低階的控制器。

由圖6可以看出在設(shè)計(jì)的包線范圍V=[126:2:156] m/s內(nèi)，控制器的振動抑制效果十分明顯。圖7為時(shí)域仿真，分別為V=136.205 m/s和V=150 m/s時(shí)輸入到輸出1的階躍響應(yīng)，由圖可以看出當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生等幅或者發(fā)散振動時(shí)，LPV控制器能夠快速有效地抑制振動，使系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

由圖6可以看出在設(shè)計(jì)的包線范圍V=[126:2:156] m/s內(nèi)，控制器的振動抑制效果十分明顯。圖7為時(shí)域仿真，分別為V=136.205 m/s和V=150 m/s時(shí)輸入到輸出1的階躍響應(yīng)，由圖可以看出當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生等幅或者發(fā)散振動時(shí)，LPV控制器能夠快速有效地抑制振動，使系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

同時(shí)，在每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)設(shè)計(jì)H∞控制器與LPV控制的對應(yīng)狀態(tài)點(diǎn)的控制器進(jìn)行比較，圖8為顫振速度V=136.205 m/s的對比圖。由圖可以看出，LPV控制器能夠取得與H∞控制器相似的控制效果，但需要注意的是LPV控制器是一個(gè)隨參數(shù)時(shí)變的控制器，它能夠在設(shè)計(jì)者所希望的飛行包線段內(nèi)取得良好的控制效果。

圖6 控制前后頻域?qū)φ請DFig.6 The frequency domain control effect

圖7 控制前后時(shí)域?qū)φ請DFig.7 The time domain control effect

圖8 LPV控制與Hinf控制對比Fig.8 LPV control versus Hinf control

5 結(jié) 論

本文利用LPV技術(shù)設(shè)計(jì)顫振主動抑制控制器。首先，針對高階網(wǎng)格LPV模型，變參斜投影降階法的計(jì)算量小，降階效果好；采用基于Lyapunov函數(shù)的方法設(shè)計(jì)LPV控制器。針對92階的Goland Wing模型，仿真結(jié)果表明降階算法計(jì)算時(shí)間短，降階模型與全階模型的低頻頻率特性以及輕阻尼模態(tài)軌跡基本重合；最終，設(shè)計(jì)出的LPV控制器，在預(yù)期的飛行包線內(nèi)能夠有效抑振。

[1] Olds S D. Modelling and LQR control of two-dimensional airfoil[D]. Blacksbur:Virginia Polytechnic Institute and State University, 1997.

[2] Bail T R. A disturbance-rejection problem for a 2-d airfoil[D]. Blacksburg:Virginia Polytechnic Institute and State University, 1997.

[3] Martin R W. Robust multivariable flutter suppression for benchmark active control technology wind-tunnel model[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2001,24(1):147—153.

[4] Barker J M, Balas G J. Comparing linear parameter-varying gain-scheduled control techniques for active flutter suppression[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2000,23(5):948—955.

[5] Balas G J, Claudia M, Peter J S. Robust aeroservoelastic control utilizing physics-based aerodynamic sensing[C]. AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, Minneapolis, 2012:4897—4907.

[6] Arnar H, Peter J S, Balas G J. LPV aeroservoelastic control using the LPV tools toolbox[C]. AIAA Atmospheric Flight Mechanics (AFM) Conference, Boston, 2013:4742—4766.

[7] Andy P. Gain scheduling via linear fractional transformations[J]. Systems and Control Letters, 1994,22(2):79—92.

[8] Wu F. Control of linear parameter varying systems[D]. Berkeley: University of California, 1995.

[9] Sun X, Postlethwaite I. Affine LPV modeling and its use in gain-scheduled helicopter control[C]. UKACC International Conference on Control, Swansea, 1998:1504—1509.

[10] Tang W, Shi Z K, Chen J. Aircraft flutter modal parameter identification using a numerically robust least-squares estimation frequency domain[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2008,21(6):550—558.

[11] Tang W, Wu J, Shi Z K. Identification of reduced-order model for an aeroelastic system from flutter test data[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2017,30(1):337—347.

[12] Theis J, Seiler P, Werner H. Model order reduction by parameter-varying oblique projection[C]. American Control Conference, Boston, 2016:4586—4591.

[13] Wu F, Yang X H, Andy P, et al. Induced L2-norm control for LPV systems with bounded parameter variation rates[C]. American Control Conference, Anchorage, 2002:983—998.

[14] 孫智偉.高空長航時(shí)無人機(jī)多學(xué)科設(shè)計(jì)若干問題研究[D].西安：西北工業(yè)大學(xué), 2016.

Sun Zhiwei. Investigation of the problems in multidisciplinary design of high altitude long endurance unmanned aerial vehicle[D]. Xi′an: Northwestern Polytechnical University, 2016.