徐元博， 蔡宗琰， 胡永彪， 丁 凱

(長(zhǎng)安大學(xué)道路施工技術(shù)與裝備教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西 西安 710064)

引 言

對(duì)于大部分機(jī)械零部件來(lái)說(shuō)，無(wú)論是軸承、傳動(dòng)軸或者其他零部件，當(dāng)它們出現(xiàn)故障時(shí)，都會(huì)出現(xiàn)異常振動(dòng)。機(jī)械設(shè)備正常工作時(shí)表現(xiàn)出的振動(dòng)量在時(shí)域和頻域都具有一定的數(shù)據(jù)特征并且具有一定的規(guī)律性，因此一旦檢測(cè)出實(shí)際振動(dòng)數(shù)據(jù)的特征量不符合正常工作情況下的規(guī)律性時(shí)，即可判定設(shè)備的運(yùn)行有異常情況或故障隱患[1]，因此利用振動(dòng)信號(hào)診斷法來(lái)判斷故障特征已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用。機(jī)械故障產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)一般具有很強(qiáng)的非線性與非平穩(wěn)性特征，同時(shí)伴隨著噪聲。經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)作為一種非線性和非平穩(wěn)信號(hào)的處理方法[2]，得到了很多學(xué)者的關(guān)注，并在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域[3-5]，得到了較好的應(yīng)用，但由于該算法的篩分特性，使其很大程度上要依賴于極值點(diǎn)的找尋和停止法則，同時(shí)對(duì)背景噪聲有著較強(qiáng)的敏感性，所以易出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象，使該算法魯棒性較差。為了克服這一缺點(diǎn)，N E Huang等在其基礎(chǔ)上提出了集成經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解[6](Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)，該算法是在整個(gè)時(shí)頻空間中加入均勻分布的白噪聲。利用這一特點(diǎn)，EEMD在克服模態(tài)混疊現(xiàn)象上取得良好效果，同樣在機(jī)械故障領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[7-8]。EEMD作為噪聲輔助型算法，在分解后的信號(hào)中必然會(huì)留下殘余白噪聲，理論上經(jīng)過(guò)無(wú)限次集成平均后，可以完全消除殘余白噪聲，但在實(shí)際應(yīng)用中這是不可能實(shí)現(xiàn)的，并且在加入白噪聲數(shù)量大的情況下，平均集成次數(shù)也隨之增加，這就造成數(shù)據(jù)處理要花費(fèi)大量時(shí)間。基于此，本文采用一種新的自適應(yīng)信號(hào)模態(tài)分解方法，變分模態(tài)分解[9](Variational Mode Decomposition, VMD)，該方法由Dragomiretski-y等于2014年提出，其最大的特點(diǎn)就是摒棄了EMD和EEMD算法中的遞歸篩分思想，而是將對(duì)模態(tài)的估計(jì)轉(zhuǎn)變?yōu)樽兎謫?wèn)題的求解, 在頻域不斷更新各模態(tài)及其中心頻率, 最后各模態(tài)經(jīng)傅里葉逆變換到時(shí)域[10]。同時(shí)VMD算法融合了維納濾波組，不僅可以有效地處理背景噪聲、增強(qiáng)該算法的魯棒性，而且縮短了程序的運(yùn)行時(shí)間。文獻(xiàn)[11-13]已經(jīng)將該方法應(yīng)用到旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障診斷當(dāng)中，取得了良好的效果。因此本文將VMD和一種改進(jìn)的能量算子方法—頻率加權(quán)能量算子結(jié)合(Frequency-Weighted Energy Operator, FWEO)應(yīng)用于振動(dòng)機(jī)械的故障診斷中。FWEO作為能量算子中的一種方法，不同于希爾伯特變換(Hilbert Transform, HT)，它不屬于積分變換，而是基于求導(dǎo)運(yùn)算，因此計(jì)算復(fù)雜性低，最主要的是，相對(duì)于傳統(tǒng)的Teager能量算子(Teager Energy Operator, TEO)，在面對(duì)噪聲與其他頻率成分干擾時(shí)，它具有更強(qiáng)的魯棒性[14]。最后本文將該方法應(yīng)用在仿真信號(hào)和真實(shí)軸承故障信號(hào)上，并與其他方法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法具有更加優(yōu)秀的性能，也為其他科研領(lǐng)域提供了新的參考。

1 VMD基本原理

VMD算法的目標(biāo)就是將一個(gè)實(shí)數(shù)信號(hào)f(t)分解為多個(gè)互不相關(guān)的稀疏性子信號(hào)，也就是本征模函數(shù)，假設(shè)每個(gè)模態(tài)uk都具有中心頻率和有限帶寬，約束條件為各模態(tài)之和等于輸入信號(hào)f(t)，且每個(gè)模態(tài)的估計(jì)帶寬之和最小，步驟如下[9]：

(1) 通過(guò)對(duì)每個(gè)模態(tài)函數(shù)uk進(jìn)行希爾伯特變換(Hilbert Transform)得到解析信號(hào)的單邊譜，如下

(1)

式中δ(t)表示狄利雷克分布函數(shù)；*表示卷積。

(2) 每個(gè)經(jīng)過(guò)希爾伯特變換后的模態(tài)函數(shù)同ejωkt進(jìn)行混合，使每個(gè)模態(tài)函數(shù)的頻譜移頻到基帶上，式子如下

(2)

式中ωk代表中心頻率。

(3) 通過(guò)梯度的二范數(shù)的平方對(duì)其模態(tài)的帶寬進(jìn)行估計(jì)，最終的公式如下

(3)

(4)

式中 {uk}={u1,u2,…,uk}代表K個(gè)模態(tài)函數(shù);{ωk}={ω1,ω2,…,ωk}代表每個(gè)模態(tài)函數(shù)的中心頻率。

為了使約束問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非約束問(wèn)題，引入二次懲罰因子和拉格朗日乘子，二次懲罰因子用來(lái)保證信號(hào)重建后的保真度，朗格朗日乘子用來(lái)保證其約束的嚴(yán)格性，其擴(kuò)展的拉格朗日表達(dá)式如下

(5)

使用Parseval/Plancherel傅里葉等距變換, 將式(5)中的{uk}和{ωk}的二次優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)變到頻域, 分別得到各模態(tài)的頻域上的更新，具體表達(dá)式如下:

(6)

(7)

2 頻率加權(quán)能量算子基本原理

傳統(tǒng)的TEO能量算子一般稱之為Teager能量算子[15]，方法理念易于理解，假設(shè)有一組連續(xù)信號(hào)

x(t)=acos(ωt)

(8)

式中a代表幅值；ω代表瞬時(shí)頻率。

則一個(gè)能量算子定義如下

(9)

它的離散形式可以表示如下

ψ(x(n))=x2(n)-x(n-1)x(n+1)

(10)

將式(8)和其導(dǎo)數(shù)形式帶入式(9)得到以下式子：

(11)

將式(11)中兩個(gè)式子進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算可以得到瞬時(shí)頻率和幅值：

(12)

對(duì)于一般的解調(diào)信號(hào)，通常使用解析信號(hào)的形式來(lái)對(duì)其進(jìn)行定義，如下式

X(t)=x(t)+jH[x(t)]=Aejφ(t)

(13)

式中H[x(t)]代表信號(hào)x(t)的HT；A(t)代表信號(hào)的瞬時(shí)幅值；φ(t)代表信號(hào)的瞬時(shí)相位。而信號(hào)的能量則是由信號(hào)的幅值的平方?jīng)Q定[16-17]，其表達(dá)式為

(14)

(15)

令x(t)=Acos(ωt+φ)，則：

(16)

(17)

將式(15)和(16)帶入式(14)，得出

Γ[x(t)]=A2ω2

(18)

可以看到新的能量算子也具有相類似的性質(zhì)。

對(duì)于一個(gè)離散信號(hào)x(n)，則它的能量算子為

h2(n+1)+h2(n-1)]+

h(n+1)+h(n-1)]

(19)

3 實(shí)驗(yàn)與討論

為了體現(xiàn)VMD-FWEO在強(qiáng)背景噪聲干擾下仍能較好地提取出故障頻率，本部分采用一組軸承故障模擬信號(hào)來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，并與較多文獻(xiàn)中提出的EMD-HT和EEMD-TEO等[18-22]故障提取方法進(jìn)行對(duì)比，從而體現(xiàn)其優(yōu)越性。

實(shí)驗(yàn)信號(hào)采用一組軸承故障模擬仿真信號(hào)，如下式

(20)

為了體現(xiàn)FWEO在強(qiáng)噪聲和有其他頻率干擾下的優(yōu)越性能，模擬環(huán)境采用強(qiáng)噪聲和其他頻率干擾下的復(fù)雜背景環(huán)境，混入噪聲為信噪比SNR=-10 dB的高斯白噪聲，4個(gè)干擾頻率分別為5，27，43和810 Hz。圖1分別為沖擊信號(hào)和混合后的復(fù)雜信號(hào)時(shí)域圖。

現(xiàn)分別用HT，TEO和FWEO三種方法做出各自的包絡(luò)譜和能量譜，如圖2所示。從圖2(a)中可以看到原始信號(hào)的頻譜圖中只含有干擾頻率而無(wú)故障頻率100Hz。通過(guò)圖2(b)，(c)和(d)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，雖然HT可以勉強(qiáng)提取出故障特征頻率，但其幅值非常小，也未出現(xiàn)故障頻率的倍頻，且在其包絡(luò)譜中仍可以看到干擾頻率，因此它的提取效果可以說(shuō)是失敗的；而TEO的能量譜，在噪聲和其他頻率成分干擾下，其提取故障特征頻率的能力受到很大限制，可以看出，在能量譜中幾乎都是噪聲頻率而無(wú)故障特征頻率；顯然FWEO的效果要強(qiáng)于前兩種方法，從其能量譜中可以看出，不僅譜線頂點(diǎn)幅值非常高，而且沒(méi)有干擾頻率的譜線，基本都為故障頻率及其倍頻，因此說(shuō)明在強(qiáng)噪聲背景下FWEO的提取故障特征頻率的能力更加突出。值得注意的是此次實(shí)驗(yàn)是在沒(méi)有前處理的情況下進(jìn)行。

圖1 沖擊信號(hào)和混合信號(hào)時(shí)域圖Fig.1 Time domain of impact signal and composite signal

圖2 HT, TEO和FWEO性能對(duì)比Fig.2 Comparison of the performances among HT, TEO and FWEO

圖3為經(jīng)過(guò)前處理后，EMD-HT，EEMD-TEO與VMD-FWEO的對(duì)比結(jié)果，從圖3(a)和(b)可以看出，在經(jīng)過(guò)EMD，EEMD的前處理，過(guò)濾掉大量噪聲和干擾頻率后，HT和TEO可以將故障特征頻率提取出來(lái)，從圖3(c)可以看出，VMD-FWEO的效果還是要優(yōu)于前兩種方法。同時(shí)對(duì)比圖3(c)和圖2(d)后發(fā)現(xiàn)，在無(wú)需前處理的情況下， FWEO雖然可以提取出故障特征頻率，但仍然可以看到有較多的噪聲頻率存在于FWEO能量譜中。而經(jīng)過(guò)VMD處理后，可以看出FWEO能量譜更加的清晰干凈，噪聲頻率干擾明顯減少。因此，可以看出VMD-FWEO在強(qiáng)噪聲和多頻率干擾的背景環(huán)境下對(duì)軸承故障特征頻率有著較好的提取能力。

圖3 EMD-HT, EEMD-TEO和VMD-FWEO的性能對(duì)比Fig.3 Comparison of the performances among EMD-HT, EEMD-TEO and VMD-FWEO

4 振動(dòng)篩軸承故障應(yīng)用

4.1 試驗(yàn)?zāi)康呐c安排

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該方法在實(shí)際工況下的優(yōu)越性和實(shí)用性，將其應(yīng)用在振動(dòng)機(jī)械中常用的振動(dòng)篩的軸承故障中。該實(shí)驗(yàn)的目的有二：一、通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該種方法不僅可以在旋轉(zhuǎn)機(jī)械上使用，而且可以在振動(dòng)機(jī)械上應(yīng)用；二、振動(dòng)機(jī)械不同于旋轉(zhuǎn)機(jī)械，在相同的工況下，它的背景噪聲和其他振動(dòng)干擾要明顯強(qiáng)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械，對(duì)算法的魯棒性要求更高。因此可以在實(shí)際工況下驗(yàn)證該種方法相較于其他傳統(tǒng)方法的優(yōu)越性。

實(shí)驗(yàn)采用的振動(dòng)篩如圖4所示，分別對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行內(nèi)環(huán)點(diǎn)蝕、外環(huán)點(diǎn)蝕，點(diǎn)蝕尺寸參數(shù)如表1所示。軸承參數(shù)如表2所示。軸承的內(nèi)外圈故障特征頻率可以通過(guò)下式得到：

(21)

(22)

式中fo，fi分別代表外圈和內(nèi)圈故障特征頻率；d代表滾子直徑；D代表滾道的節(jié)徑；Z代表滾動(dòng)體數(shù)量；α代表接觸角；f代表軸的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率。根據(jù)上式計(jì)算出的故障頻率和相關(guān)頻率如表3所示。

圖4 振動(dòng)篩Fig.4 Vibrating screen

型號(hào)位置 寬度深度長(zhǎng)度1308內(nèi)環(huán)1.00.2軸承寬度/21308外環(huán)0.70.2軸承寬度/2

表2 軸承參數(shù)

表3 本次實(shí)驗(yàn)相關(guān)特征頻率

針對(duì)振動(dòng)篩的工作特點(diǎn)，本次實(shí)驗(yàn)專門準(zhǔn)備了4塊大偏心塊和4塊小偏心塊，配以單電機(jī)和雙電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)，當(dāng)雙電機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)兩電機(jī)轉(zhuǎn)速相同。將它們進(jìn)行交叉組合來(lái)獲得不同的振動(dòng)量級(jí)，隨著振動(dòng)量級(jí)的增大，背景噪聲也隨之增強(qiáng)，從而采集不同振動(dòng)量級(jí)下的故障數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)安排如表4所示。

表4 實(shí)驗(yàn)安排

實(shí)驗(yàn)安排中，同樣采用EMD-HT，EEMD-TEO和VMD-FWEO三種方法進(jìn)行對(duì)比。小偏心單電機(jī)振動(dòng)量級(jí)最小，大偏心雙電機(jī)振動(dòng)量級(jí)最大。為了更好體現(xiàn)該方法的優(yōu)越性，本次試驗(yàn)采用外圈振動(dòng)量級(jí)最大(實(shí)驗(yàn)6)工況下和內(nèi)圈振動(dòng)量級(jí)最大(實(shí)驗(yàn)3)工況下進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。

同時(shí)，為了更好地體現(xiàn)VMD-FWEO及其FWEO單獨(dú)使用時(shí)的優(yōu)越性，本次實(shí)驗(yàn)還采用了美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)軸承實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中心提供的公共數(shù)據(jù)作為對(duì)比，該數(shù)據(jù)由旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備中采集，因此噪聲較小。旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖5所示。該設(shè)備的軸承參數(shù)如表5所示。相關(guān)頻率參數(shù)如表6所示。

表5 軸承參數(shù)

表6 相關(guān)特征頻率

圖5 旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.5 Experiment rig

4.2 外圈實(shí)驗(yàn)

振動(dòng)篩與模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)的外圈故障信號(hào)如圖6和7所示，從圖中可以看出從兩種設(shè)備中提取出的外圈故障頻率都已經(jīng)被噪聲與其他干擾淹沒(méi)，只有各自的基頻頻率15.17和29.95 Hz。

現(xiàn)用EMD，EEMD和VMD分別對(duì)兩組信號(hào)進(jìn)行分解，分解后的模態(tài)分量，利用K-L散度[23]從中選取與原信號(hào)相似度最大的模態(tài)信號(hào)，兩種工況下的K-L散度如表7和8所示。

表7 K-L實(shí)驗(yàn)臺(tái)數(shù)據(jù)散度值

表8 K-L振動(dòng)篩數(shù)據(jù)散度值

圖6 振動(dòng)篩外圈原始信號(hào)Fig.6 Original signal of outer ring of vibrating screen

圖7 實(shí)驗(yàn)臺(tái)外圈原始信號(hào)Fig.7 Original signal of outer ring of experimental rig

從中分別合適的模態(tài)分量做HT包絡(luò)譜，TEO能量譜和FWEO能量譜，其對(duì)比如圖8所示，左邊為實(shí)驗(yàn)臺(tái)的故障頻譜圖，右邊為振動(dòng)篩故障頻譜圖。

圖8 實(shí)驗(yàn)臺(tái)和振動(dòng)篩外圈故障特征對(duì)比Fig.8 Comparison of faulty feature of outer ring between the vibrating screen and the experimental rig

故障信號(hào)經(jīng)過(guò)EMD，EEMD和VMD分解處理后，去除了大量的高頻噪聲和系統(tǒng)中的干擾頻率，因此從圖中可以看到，任何一種方法，都可將兩種工況下的外圈故障頻率提取出來(lái)。但從細(xì)節(jié)上依然可以看出，不管是在模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)上還是振動(dòng)篩上，通過(guò)VMD-FWEO得出的能量譜中的故障特征譜線幅值明顯高于其他兩種方法得出的譜線幅值，說(shuō)明提取故障特征能力較強(qiáng)。

同時(shí)，文獻(xiàn)[24-25]提出可將瞬時(shí)頻率作為評(píng)價(jià)算法魯棒性是否優(yōu)劣的一種標(biāo)準(zhǔn)，瞬時(shí)頻率譜線波動(dòng)越大，說(shuō)明魯棒性越差，易受噪聲干擾，反之亦然。因此可以采用瞬時(shí)頻率來(lái)判斷三種方法的優(yōu)劣。EMD，EEMD和VMD分解后的效果，瞬時(shí)頻率對(duì)比如圖9所示。通過(guò)對(duì)比可以明顯發(fā)現(xiàn)兩個(gè)特點(diǎn)：第一，經(jīng)過(guò)VMD分解后，不管從模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)上還是振動(dòng)篩上提取的軸承故障信號(hào)，其模態(tài)分量的故障頻率譜線的波動(dòng)都明顯小于其他兩種方法；其次，從圖中可以清楚看到，當(dāng)使用模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)上提取的故障信號(hào)時(shí)，EMD和EEMD分解的模態(tài)分量的頻率譜線波動(dòng)較小，而采用振動(dòng)篩上提取的故障信號(hào)時(shí)，其波動(dòng)明顯增大，而VMD分解的模態(tài)分量的故障頻率譜線在兩種工況下，除個(gè)別時(shí)點(diǎn)外，波動(dòng)并無(wú)大幅度的變化。因此，從這點(diǎn)可以說(shuō)明基于EMD和EEMD提取軸承故障的方法易受噪聲影響，而基于VMD的方法有更好的魯棒性，抗噪的能力較強(qiáng)。

圖9 瞬時(shí)頻率對(duì)比Fig.9 Comparison of instantaneous frequency

4.3 內(nèi)圈實(shí)驗(yàn)

從外圈實(shí)驗(yàn)可以看出，在EMD，EEMD和VMD的前處理幫助下，HT，TEO和FWEO三種方法都能將故障特征頻率提取出來(lái)。因此，為了比較三種方法在真實(shí)數(shù)據(jù)下單獨(dú)使用時(shí)，提取故障特征頻率能力的優(yōu)劣，內(nèi)圈故障實(shí)驗(yàn)在不進(jìn)行前處理的工況下進(jìn)行。

現(xiàn)用Hilbert，TEO和FWEO的三種方法對(duì)兩種工況下的軸承內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行處理，如圖10所示。從圖10中可以看出，三種方法在沒(méi)有前處理的情況下，均能將旋轉(zhuǎn)模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)的內(nèi)圈故障特征頻率及其倍頻提取出來(lái)。而對(duì)于在強(qiáng)噪聲背景下提取出的振動(dòng)篩軸承故障信號(hào)，僅有FWEO能提取出故障特征頻率及其倍頻，而其他兩種方法都是失敗的。因此通過(guò)這個(gè)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，可以發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的HT和TEO能量算子易受噪聲和其他干擾頻率的影響，在復(fù)雜的背景環(huán)境下不適合單獨(dú)使用，必須與有效的前處理方法結(jié)合使用才能提取出軸承故障特征頻率。而對(duì)于FWEO能量算子，在兩種工況下都可將故障特征頻率提取出來(lái)，說(shuō)明該方法具有更好的魯棒性，不易受到外部環(huán)境的影響。同時(shí)，在單獨(dú)使用FWEO時(shí)，可以提高運(yùn)算效率，大大節(jié)省程序運(yùn)行時(shí)間。

5 結(jié) 論

通過(guò)仿真信號(hào)和真實(shí)的振動(dòng)篩軸承故障實(shí)驗(yàn)，有幾點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：

(1) 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比說(shuō)明，傳統(tǒng)的HT和TEO能量算子可以在背景噪聲和振動(dòng)干擾較小的情況下單獨(dú)使用而不需要前處理，但噪聲一旦加大，其提取故障特征的能力明顯下降甚至是失敗的，因此需要同一些有效的前處理方法聯(lián)立使用。但對(duì)于FWEO能量算子來(lái)說(shuō)，當(dāng)噪聲增大時(shí)，它的故障特征提取能力依然較強(qiáng)，再不需要前處理的情況下，依然可以較好的將故障特征頻率提取出來(lái)。

(2) EMD-HT，EEMD-TEO和VMD-FWEO三種方法通過(guò)實(shí)驗(yàn)看出，在兩種工況下，都可有效提取出故障特征頻率，但通過(guò)其瞬時(shí)頻率的波動(dòng)程度，可以看出，VMD-FWEO對(duì)于噪聲有著更強(qiáng)的抗干擾性能。因此將其應(yīng)用到軸承故障領(lǐng)域或其他機(jī)械故障診斷方向是可行的。

圖10 內(nèi)圈故障特征對(duì)比Fig.10 Comparison of fault characteristic of inner ring

(3) 因本次實(shí)驗(yàn)通過(guò)改變不平衡量大小獲得振動(dòng)干擾，所以未模擬出實(shí)際工況下的復(fù)雜的沖擊振動(dòng)；另外將其應(yīng)用于同時(shí)存在內(nèi)外圈故障的復(fù)合故障情況時(shí)，都將是我們的下一步研究工作。

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