劉志強(qiáng), 譚武霜, 熊清泉

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

本文在文獻(xiàn)[16]的基礎(chǔ)上首先討論了單調(diào)函數(shù)在連續(xù)t-模(┬)與t-余模(┴)上模糊真值運(yùn)算的性質(zhì).然后探討了連續(xù)t-模(┬)與t-余模(┴)上模糊真值運(yùn)算的性質(zhì).緊接著討論了在最小t-模與最大t-余模下凸模糊集有限并與交的性質(zhì).最后討論了具有相同最大值的凸模糊集的模糊真值代數(shù)性質(zhì),并且證明了所有具有相同最大值的凸模糊集在二型模糊的并與交運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)格.

1 預(yù)備知識(shí)

為了討論方便,下面給出一些定義和基本結(jié)論.設(shè)I表示一個(gè)單位區(qū)間或一個(gè)結(jié)合代數(shù)([0,1],∨,∧,′,0,1),J表示一個(gè)有界線性序集或一個(gè)結(jié)合代數(shù)(J,∨,∧,′,0,1).函數(shù)┬:I×I→I(┴:I×I→I)是I上的一個(gè)t-模(t-余模),滿足:

1) 交換律:x┬y=y┬x;

2) 結(jié)合律:(x┬y)┬z=x┬(y┬z);

3) 單調(diào)性:x≤u且y≤v有x┬y≤u┬v;

4) 邊界條件:x┬1=x(x┴0=x).

逐點(diǎn)定義┴-并和┬-交形式如下:

(f∪┴g)(x)=f(x)┴g(x),

(f∩┬g(shù))(x)=f(x)┬g(shù)(x).

本文假設(shè)┴和┬在I上都是連續(xù)的.

定義1.1[2]設(shè)S為一個(gè)集合,S的二型模糊子集A是一個(gè)映射

A:S→Map(J,I).

用Map(S,Map(J,I))表示集合S中的所有二型模糊子集.

定義1.2[2]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),?a,u,v,w∈J,運(yùn)算、定義如下:

1) (f1f2)(a)={f1(u)∧f2(w)|u∨w=a};

4)

集合Map(J,I)在運(yùn)算、下構(gòu)成一個(gè)代數(shù)(Map(J,I),,,其為模糊真值代數(shù).在不混淆的情況下,以下用M表示.

定義1.3[2]設(shè)f∈M,fL和fR滿足

注1.1函數(shù)fL單增,fR單減.用fL和fR分別表示f的L與R運(yùn)算,顯然supf=fRL且fL,fR∈M.

引理1.1設(shè)f∈M且f為凸模糊集,記U={u∈J|f(u)=fRL},?u1∈U,則

(1)

證明當(dāng)a≥u1時(shí),fL(a)=supf(a)=fLR(a)；當(dāng)a

圖1表示了凸函數(shù)f的fL與fR的圖像.

(a) fL

(b) fR

定義1.4[2]設(shè)f1,f2∈M,則

f1

(2)

(3)

定義1.5[16-17]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),*為J上的一個(gè)二元運(yùn)算,*的┬-擴(kuò)展運(yùn)算定義為

┬f2(w)}.

顯然如下結(jié)論成立:

(4)

(5)

引理1.2[2]設(shè)f1,f2∈M,則：

5)f1f1=f1,f1f1=f1;

6)f1f2=f2f1,f1f2=f2f1;

引理1.3[16]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),則：

其中f?g?(?u∈J)(f(u)≤g(u)).由于部分文獻(xiàn)使用符號(hào)不一致,為了不引起混淆,以下統(tǒng)一用?表示≤.

引理1.4[16]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),則:

引理1.5[2]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),則:

(f1

(f1

引理1.6[16]設(shè)f1,f2∈Map(J,I),則:

(8)

(9)

引理1.7[2]設(shè)f∈M,則以下條件等價(jià):

1)f是凸函數(shù);

2)f=fL∧fR;

3)f在某處的函數(shù)值可表示為一個(gè)增函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值和一個(gè)減函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值的交.

2 主要結(jié)論

假設(shè)fi∈M(1≤i≤n).記F+={f∈M|f=fL},F-={f∈M|f=fR},即F+和F-分別表示所有單調(diào)不減和單調(diào)不增連續(xù)模糊真值構(gòu)成的集合.顯然,?f∈F+,f有右最大值,即fR=fLR;?f∈F-,f有左最大值,即fL=fLR[14].

定理2.1設(shè)fi∈F+(1≤i≤n),則:

證明在連續(xù)t-模┬和┴下,

(f1∩┬f2)∩┬f3=f1∩┬(f2∩┬f3),

(f1∪┴f2)∪┴f3=f1∪┴(f2∪┴f3),

1) 由引理1.4的1)及引理1.6知

又由引理1.4的1)知

即

2) 由引理1.3的2)得

?

由引理1.2的2)得

故

3) 與2)的證明類似.

4) 由3)得

由注1.1得

(f1∪┴f2)LR=sup(f1∪┴f2)=

即

定理2.2設(shè)fi∈F-(1≤i≤n),則:

證明在連續(xù)t-模┬和┴下,

(f1∩┬f2)∩┬f3=f1∩┬(f2∩┬f3),

(f1∪┴f2)∪┴f3=f1∪┴(f2∪┴f3),

1) 由引理1.4的2)及引理1.6知

根據(jù)引理1.4的1)得

即

2) 由引理1.2的2)知

?

由引理1.3的1)知

故

3) 與2)的證明類似.

4) 由3)得

由注1.1得

(f1∪┴f2)RL=sup(f1∪┴f2)=

即

特別地當(dāng)┬=∧時(shí)有如下的結(jié)論成立.

推論2.1設(shè)fi∈F+(1≤i≤n),則:

推論2.2設(shè)fi∈F-(1≤i≤n),則:

注2.1當(dāng)┴=∨時(shí),可得引理1.2的3).由推論2.1和2.2知

推論2.1和2.2與引理1.2的4)和引理1.3比較可知,對(duì)有限個(gè)單調(diào)增函數(shù)在連續(xù)t-模(連續(xù)t-余模)和有限個(gè)單調(diào)減函數(shù)在連續(xù)t-模(連續(xù)t-余模)條件下等號(hào)成立.

定理2.3設(shè)fi∈M(1≤i≤n),則:

證明1)和2)及3)和4)的證明方法分別一致,這里只證明1)與3).

1) 由引理1.5得

(f1f2)RL=((f1f2)R)L=

由定義1.4得

即(f1在和運(yùn)算下滿足結(jié)合律[9],可推知(f1f2…類似可證

3) 由引理1.5得

(f1

由定義1.4得

(f1f2

注2.2由定理2.3的1)和2)知在M中有限個(gè)函數(shù)并的最大值與有限個(gè)函數(shù)交的最大值相等,且都等于這有限個(gè)函數(shù)的最大值取小,即

證明由定義1.4和引理1.7有

(f1

(因?yàn)閒(a)=fL(a)∧fR(a)).

(10)

由引理1.1得

當(dāng)n=2時(shí),

(i) 如果a

(f1f2)(a)=

(ii) 如果u1≤a

(f1f2)(a)=

(*)

(iii) 如果a≥u2,則

(f1f2)(a)=

(fi單調(diào)不增，即fi∈F-(i=1,2))

由(i)、(ii)和(iii)有

(f1f2)(a)=

下面假設(shè)個(gè)數(shù)為n-1時(shí)結(jié)論成立,即

當(dāng)個(gè)數(shù)為n時(shí),由(11)式有

下面對(duì)(14)和(15)式進(jìn)行簡化,有以下2種情況:

情況1).如果a

(a) 當(dāng)a

(b) 當(dāng)un-1≤a

所以

綜合(a)和(b),當(dāng)a

(17)

(18)

由(15)、(17)和(18)式有

由情況1)和2)定理得證.

證明證明方法與定理2.4類似,略去.

2.3模糊真值代數(shù)用C表示M中所有凸函數(shù)的集合,N表示M中所有標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的集合,則C和N關(guān)于M的運(yùn)算分別構(gòu)成M的子代數(shù),同時(shí)也是一個(gè)Kleene代數(shù)[2].令L=C∩N,即為M中所有標(biāo)準(zhǔn)凸函數(shù)構(gòu)成的集合.文獻(xiàn)[2]證明了L為一個(gè)分配格,同時(shí)構(gòu)成了De Morgan代數(shù)和Kleene代數(shù).本小節(jié)討論具有相同最大值的凸隸屬函數(shù)的集合C(α),證明了集合C(α)在M的運(yùn)算關(guān)系下是M的一個(gè)子代數(shù),并且在和運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)格.

定義2.1設(shè)fi∈M,α∈[0,1],定義

其中Λ為一個(gè)指標(biāo)集.若α=1,則fi為標(biāo)準(zhǔn)凸隸屬函數(shù).

證明由(10)式知

fi

由結(jié)合律可證

圖 2 fi∈C(α)(i=1,2,3,4)的圖像

推論2.3設(shè)f,g∈C(α),則

f(fg)=f(fg)=f.

證明

f(fg)=

(fL∧((fR∧g)∨(f∧gR)))∨

(f∧((fRL∧gL)∨(fL∧gRL)))=

(fL∧fR∧g)∨(fL∧f∧gR)∨

(f∧fRL∧gL)∨(f∧fL∧gRL)=

(f∧g)∨(f∧gR)∨(f∧gL)∨(f∧gRL)=

f∧(g∨gR∨gL∨gRL)=f.

引理2.7[2]設(shè)f,g,h∈C(α),則

f(gh)=(fg)h,

引理2.8[2]設(shè)f,g,h∈C(α),則

f(gh)=(fg)(fh),

由引理1.2的5)和6)和推論2.3及引理2.7知C(α)為一個(gè)格.進(jìn)一步由引理2.8知,C(α)還是一個(gè)分配格.

推論2.4設(shè)fi∈C(α)(1≤i≤n),則:

證明1) 由定理2.3的1)和3)知

且

由fi∈C(α),即fi最大值相等,故

類似由定理2.3的2)和4)可證明2).

(20)

(21)

3 結(jié)論

本文主要討論了二型模糊集的模糊真值以及二型模糊真值在連續(xù)t-模(┬)與t-余模(┴)上的性質(zhì),得到了二型模糊集在最小t-模和最大t-余模下并與交運(yùn)算的最大值性質(zhì),凸模糊集有限并與交的運(yùn)算性質(zhì).最后證明了具有相同最大值的凸模糊集在模糊真值代數(shù)運(yùn)算下為一個(gè)格.對(duì)于凸模糊集在模糊真值運(yùn)算下形成格的其他性質(zhì)將在以后討論.

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