顧文立

北京市石景山區(qū)銀河小學(xué) 北京 100040

教學(xué)背景分析：

一、教材分析

“倍的認(rèn)識(shí)”是人教版第五冊(cè)第五單元“倍的認(rèn)識(shí)”中的內(nèi)容。對(duì)比人教版、蘇教版和師大版教材發(fā)現(xiàn)，不同版本的教材都是通過有層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)在比較中建立“幾倍”與“幾個(gè)幾”之間的聯(lián)系，經(jīng)歷“倍”概念模型的建立過程。教材素材是通過兩個(gè)量的比較，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)“一份”和“幾份”，同時(shí)明確“幾份”的產(chǎn)生是由“一份”決定的（以這“一份”為標(biāo)準(zhǔn)），“幾份”也就是幾倍，由此通過多次感知建立“倍”的概念和數(shù)學(xué)模型。這樣的編排有效地滲透了“類比”的思想方法，讓學(xué)生加深對(duì)“倍”的含義的理解，更符合學(xué)生由具體到抽象的認(rèn)識(shí)規(guī)律。

二、“倍”概念的核心

“倍”概念實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了兩個(gè)量之間的比較關(guān)系，所以“比較”就是“倍”概念的核心思想。在小學(xué)階段涉及的主要是量的大小比較、結(jié)構(gòu)和關(guān)系的比較。

比較關(guān)系從知識(shí)點(diǎn)的角度說(shuō)可以分為這樣幾個(gè)層次（見圖）：首先是一年級(jí)出現(xiàn)的相差關(guān)系；之后是二年級(jí)開始出現(xiàn)的倍比關(guān)系（倍）；再往后是高年級(jí)出現(xiàn)的比率關(guān)系（分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比）。

從比較的方法上來(lái)看，相差關(guān)系是兩個(gè)量之間在“比多比少”；倍比關(guān)系是兩個(gè)量之間用其中一個(gè)量作為標(biāo)準(zhǔn)，另一個(gè)量包含了幾個(gè)它就是它的幾倍。比較中的關(guān)鍵是要確定標(biāo)準(zhǔn)，其次就要把“比較量”按照“標(biāo)準(zhǔn)”去分。在高年級(jí)的比率關(guān)系中出現(xiàn)了比較量小于標(biāo)準(zhǔn)量的情況，這時(shí)也就出現(xiàn)了分率。只有當(dāng)學(xué)生清楚地了解了比較的核心、比較的方法、比較的步驟時(shí)才能真正理解“倍”的概念，真正體會(huì)到比較中“標(biāo)準(zhǔn)”的價(jià)值。

三年級(jí)的學(xué)生，對(duì)兩個(gè)量之間“倍數(shù)關(guān)系”的認(rèn)知起點(diǎn)在哪兒呢？對(duì)我校三年級(jí)3班的34名同學(xué)，以問卷的形式，進(jìn)行了學(xué)前調(diào)研。

從前測(cè)結(jié)果不難看出：絕大多數(shù)同學(xué)能正確比較兩個(gè)量的相差關(guān)系，但很少有同學(xué)關(guān)注到倍數(shù)關(guān)系。雖然有些學(xué)生聽說(shuō)過“倍”，但大多學(xué)生對(duì)倍概念不清楚，并且在概念理解中明顯存在原有認(rèn)知“相差關(guān)系”的負(fù)遷移。

學(xué)生在學(xué)習(xí)“倍”概念時(shí)確實(shí)有一定困難，其核心困難是學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生質(zhì)的變化。小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，學(xué)生加法結(jié)構(gòu)的建構(gòu)為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了最基本的知識(shí)準(zhǔn)備和心理發(fā)展準(zhǔn)備。前測(cè)可以看出在學(xué)習(xí)“倍”之前，學(xué)生頭腦中建構(gòu)的是加法結(jié)構(gòu)，是數(shù)量的合并與多少的比較，未曾學(xué)習(xí)兩個(gè)量之間的比率關(guān)系，對(duì)兩個(gè)量或多個(gè)量之間的比率關(guān)系問題的真正理解需要在學(xué)生頭腦中建構(gòu)起乘法，而“倍”的學(xué)習(xí)正是建構(gòu)乘法結(jié)構(gòu)，是乘法結(jié)構(gòu)構(gòu)建的開始。乘法結(jié)構(gòu)不是指單一的認(rèn)識(shí)乘法，而是一個(gè)概念體系。從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生一定程度質(zhì)的變化，“倍”的學(xué)習(xí)是發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機(jī)會(huì)，乘法的初步認(rèn)識(shí)是從特殊的加法的角度學(xué)習(xí)的，還是合并與累加的過程，本質(zhì)上仍是加法結(jié)構(gòu)。

學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”都要經(jīng)歷從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大困難?！氨丁钡母拍畹慕?gòu)，不僅需要有“幾個(gè)幾”和“份”等前期經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，更需要在比較的背景下逐層建構(gòu)倍的概念，并且利用比較的方法，借助多種表征方式之間的轉(zhuǎn)換理解倍的概念，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中理解“倍”的本質(zhì)。

從問題解決角度看，在日常生活與數(shù)學(xué)中，與倍密切相關(guān)的問題主要有三類：求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少？求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍？已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)。這是建構(gòu)形成乘法結(jié)構(gòu)的最基本的模型，如果對(duì)“倍”的理解不深刻，不全面，必然導(dǎo)致片面的理解“倍”概念。

“倍的認(rèn)識(shí)”作為單元起始課，應(yīng)讓學(xué)生在兩個(gè)量的比較中，體會(huì)以標(biāo)準(zhǔn)量為“單位”衡量比較量中有幾個(gè)“單位”的比較過程，逐步建構(gòu)倍的概念，并在解決問題中將其化歸到“幾個(gè)幾”的策略上，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維從相差關(guān)系到倍數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)向。

因此，倍的初步認(rèn)識(shí)必須創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)，同時(shí)又能解釋倍的數(shù)學(xué)本質(zhì)的活動(dòng)，借助多種方式，讓學(xué)生在比較的過程中循序漸進(jìn)認(rèn)識(shí)“倍”的含義，構(gòu)建“倍”的模型，理解“倍”的本質(zhì)，并從中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在豐富多樣的活動(dòng)中理解倍。

基于此，我想將倍的概念分為如下三層進(jìn)行建構(gòu)：

在比較的過程中逐步建構(gòu)“倍”的概念，初步認(rèn)識(shí)兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系。

通過觀察、操作、表達(dá)等方式，培養(yǎng)學(xué)生觀察、操作、分析及語(yǔ)言表達(dá)的能力；同時(shí)使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中循序漸進(jìn)認(rèn)識(shí)“倍”的含義，構(gòu)建“倍”的模型，理解“倍”的本質(zhì)。

在積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

教學(xué)重點(diǎn)：在比較背景下理解“倍”的含義,初步構(gòu)建“倍”的模型。

教學(xué)難點(diǎn)：克服“相差關(guān)系”認(rèn)知的負(fù)遷移，在比較背景下理解“倍”的本質(zhì)。

一、創(chuàng)設(shè)情境引入“倍”

引入“2倍”

同學(xué)們，今天老師也帶來(lái)了一些水果，ppt出示。

提問：比一比，梨和桃的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？

預(yù)設(shè)：①桃比梨少2個(gè)。梨比桃多2個(gè)。你還有什么發(fā)現(xiàn)？②梨的個(gè)數(shù)是桃的2倍。

師：有的同學(xué)用多與少說(shuō)到了桃和梨的之間的個(gè)數(shù)關(guān)系。

也有同學(xué)用“倍”來(lái)表示桃和梨之間的個(gè)數(shù)關(guān)系。

你們聽說(shuō)過“倍”嗎？“2倍”表示什么呢？

今天我們就一起來(lái)研究?jī)蓚€(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系。【板書：倍的認(rèn)識(shí)】

【設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的生活情境引入，通過讓學(xué)生比較桃和梨的個(gè)數(shù)，由多少的比較引出“倍”的概念，溝通新舊知識(shí)之間的聯(lián)系?！?/p>

二、直觀比較感受“倍”

師：老師想請(qǐng)一位同學(xué)上來(lái)擺一擺，看看梨的個(gè)數(shù)是桃的幾倍？（看看梨的個(gè)數(shù)是不是桃的2倍）

追問：還可以怎樣擺？

生：擺師：為什么這樣擺？能說(shuō)說(shuō)你是怎么想的嗎？

預(yù)設(shè)：2個(gè)桃看成1份，2個(gè)梨擺一份，擺2份。

追問：其他同學(xué)看出他怎么擺的嗎？誰(shuí)能再來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

（找一個(gè)下面看的學(xué)生說(shuō)擺的方法。生生互動(dòng)。）

師：那誰(shuí)能說(shuō)一說(shuō)為什么這么擺？

預(yù)設(shè)：2個(gè)梨擺一份，擺2份。因?yàn)樘易右彩?個(gè)擺了一份。（你能再來(lái)說(shuō)說(shuō)嗎？）

追問：這里我們把誰(shuí)看做1份？梨有這樣的幾份？（你能再來(lái)說(shuō)說(shuō)嗎？）

師：同學(xué)們，像這樣，把2個(gè)桃子看成1份，（邊說(shuō)邊圈）梨的個(gè)數(shù)有這樣的2份，也就是2個(gè)2，我們就說(shuō)梨的個(gè)數(shù)是桃子的2倍?！景鍟豪娴膫€(gè)數(shù)是桃子的2倍?！?/p>

【設(shè)計(jì)意圖：通過擺一擺的過程，讓學(xué)生初步體會(huì)“1份”，使學(xué)生體會(huì)從“單一”到“份”的概念的認(rèn)知過渡，同時(shí)“倍”的引出中對(duì)1份量也就是標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了強(qiáng)化，增強(qiáng)了倍概念的直觀體驗(yàn)?！?/p>

三、動(dòng)手操作理解“倍”（多種方式表達(dá)）

（一）圈一圈（標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)模型）

老師還帶來(lái)了橙子和蘋果，出示3個(gè)桔子6個(gè)蘋果（ppt出示）

師：蘋果和橙子之間有沒有倍數(shù)關(guān)系呢？

這幅圖老師已經(jīng)印在了你的A4紙上，按要求：照著黑板上的樣子，先圈圈，再填空。開始吧

①學(xué)生圈，師將這幅圖貼在黑板上，再巡視。

②再提要求：很多同學(xué)們都有了自己的答案，做好的同學(xué)和你的同桌互相說(shuō)一說(shuō)。

③組織學(xué)生訂正答案。同學(xué)們用手勢(shì)告訴我蘋果的個(gè)數(shù)是桔子的幾倍。

④誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)你是怎么知道2倍關(guān)系的？（按照前面的例子來(lái)說(shuō)一說(shuō)）

（正確示范，邊說(shuō)邊圈，準(zhǔn)備彩色粉筆）（學(xué)生完成最好，教師可以幫忙）

預(yù)設(shè)：把3個(gè)桔子看成1份，蘋果里面有這樣的2份，也就是2個(gè)3，所以蘋果的個(gè)數(shù)是桔子的2倍。

師：為什么把三個(gè)蘋果圈在一起呢？（把3個(gè)看成1份）

小結(jié)：所以，我們就找到了蘋果的個(gè)數(shù)是桔子的2倍。

【設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生自己在圖上圈一圈，有利于學(xué)生建立“倍”的表象；同時(shí)追問比較量中為什么3個(gè)圈在一起，幫助學(xué)生再次理解“倍”的含義?！?/p>

（二）比一比（標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)模型）

同學(xué)們觀察這2副圖，每幅圖的圖形個(gè)數(shù)都不相同，

為什么第二行的個(gè)數(shù)都是第一行的2倍呢？

預(yù)設(shè)：第一行的個(gè)數(shù)都不相同，都是以第一行的個(gè)數(shù)為1份，第二行有這樣的2份。

小結(jié)：不管第一行有幾個(gè)，第二行都有第一行的2份那么多。

【設(shè)計(jì)意圖：通過觀察對(duì)比，1份量是不同的，總數(shù)也是不同的，但比較結(jié)果都是2倍，使學(xué)生充分體會(huì)在不同背景下的2倍關(guān)系，從而求同存異，理解倍的概念的本質(zhì)?！?/p>

（三）擺一擺（標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)模型）

同學(xué)們，有了剛才的認(rèn)識(shí)，你們能不能用自己的學(xué)具，通過擺一擺的方式，表示出黑子與白子之間不同的倍數(shù)關(guān)系？快來(lái)動(dòng)手?jǐn)[一擺吧。

學(xué)生動(dòng)手創(chuàng)造倍數(shù)關(guān)系。巡視組織學(xué)生匯報(bào)。上去擺一擺，說(shuō)一說(shuō)你是怎么想的？

預(yù)設(shè)：找兩組進(jìn)行匯報(bào)：比如4個(gè)和8個(gè)，5個(gè)和10個(gè)。（2倍3倍4倍5倍…）

交流反饋（匯報(bào)、展示黑白子關(guān)系）

○○○

●●●●●●

○○

●●●●●●●● …

學(xué)生在匯報(bào)時(shí)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出第一行的幾個(gè)看成一份，第二行有這樣的2份，也就是2個(gè)幾，所以第二行是第一行的2倍。

生生交流：相互說(shuō)一說(shuō)你擺出的倍數(shù)關(guān)系。并說(shuō)一說(shuō)你是怎樣思考的？

【設(shè)計(jì)意圖：通過再次讓學(xué)生自己動(dòng)手操作擺一擺的活動(dòng)創(chuàng)造不同的倍數(shù)關(guān)系，充分讓學(xué)生體會(huì)“倍”，加深倍概念的認(rèn)識(shí)，同時(shí)，在操作環(huán)節(jié)中讓孩子們?cè)黾踊顒?dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，在生生交流、師生交流中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“倍”?！?/p>

四、變式練習(xí)鞏固“倍”（非標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)模型）

變式 1：（ppt）

菠蘿是西瓜的（ ）倍

轉(zhuǎn)化：菠蘿有9個(gè)，西瓜有3個(gè)

菠蘿是西瓜的（ ）倍

轉(zhuǎn)化：西紅柿有12個(gè)，土豆有4個(gè)，西紅柿是土豆的多少倍？

變式3：判斷：

○○○

不對(duì)，那如何調(diào)整就符合3倍關(guān)系了？

預(yù)設(shè)：加個(gè)黑子；去掉一個(gè)白子和2個(gè)黑子；

如果白子有3個(gè)，黑子是白子的3倍，就要有3個(gè)3，那要是4倍呢？

5倍呢？10倍呢？（3個(gè)3,4個(gè)3,5個(gè)3,10個(gè)3）

【設(shè)計(jì)意圖：初步認(rèn)識(shí)“倍”，設(shè)計(jì)這樣清晰的直觀結(jié)構(gòu)有助于學(xué)生第一次建立“倍”的概念。但教學(xué)中不能都是這樣的“標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)”，都是標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)不能促進(jìn)學(xué)生真正的深入思考，因此需要再一次提供“變式結(jié)構(gòu)”甚至是錯(cuò)誤的“結(jié)構(gòu)”，讓學(xué)生在辨析中深化對(duì)倍的認(rèn)識(shí)?！?/p>

五、三量比較深化“倍”（標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)模型）（標(biāo)準(zhǔn)不同，關(guān)系不同）

剛才我們是兩行作比較找的倍數(shù)關(guān)系，如果增加難度，再增加一行三行呢？還會(huì)找嗎？我們?cè)囋嚳矗╬pt）出示○○比一比，把你找到的倍數(shù)關(guān)系和身邊的同學(xué)交流一下。（開始吧）

師：你找到了怎樣的倍數(shù)關(guān)系？誰(shuí)愿意來(lái)說(shuō)一說(shuō)

組織學(xué)生交流匯報(bào)，同時(shí)記錄學(xué)生找到的倍數(shù)關(guān)系。（貼在黑板上）

預(yù)設(shè)：□的個(gè)數(shù)是○的3倍。

△的個(gè)數(shù)是○的6倍。

△的個(gè)數(shù)是□的2倍。

多數(shù)學(xué)生對(duì)于前兩個(gè)倍數(shù)關(guān)系一般沒有問題，而對(duì)于△的個(gè)數(shù)是□的？倍，缺少關(guān)注。我想直接引導(dǎo)：

還可以誰(shuí)和誰(shuí)比，有怎樣的倍數(shù)關(guān)系？有誰(shuí)發(fā)現(xiàn)了？

師：□和△同樣是和○比，為什么一個(gè)是3倍，一個(gè)是6倍呢？

預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)：2個(gè)○為一份，而□個(gè)數(shù)和△的個(gè)數(shù)是不同的。（也就是□里面只能圈出3份，而△里面只能圈出6份。師生、生生交流）（課件比較）

繼續(xù)追問：同樣是△，為什么它的個(gè)數(shù)一會(huì)是○的6倍，一會(huì)又是□的2倍呢？

預(yù)設(shè)：因?yàn)椤鸷汀醯膫€(gè)數(shù)是不同的。（△的個(gè)數(shù)是○的6倍，這時(shí)是以2個(gè)○為1份，△的個(gè)數(shù)是□的2倍，，這時(shí)是以6個(gè)□為1份。）（課件比較）

小結(jié)：雖然△的個(gè)數(shù)不變，但是1份數(shù)的數(shù)量在發(fā)生變化，所以倍數(shù)也發(fā)生變化。

【設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)三行圖形找倍數(shù)關(guān)系的情境，不斷引起學(xué)生認(rèn)知的沖突，讓學(xué)生在困惑中感受“1份”的重要性與關(guān)鍵性，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)得到了升華，對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)更加深刻。】

本教學(xué)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)：

通過對(duì)“倍”概念的研究與思考，以學(xué)生現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)為依據(jù)，運(yùn)用學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，以“份”的概念引入“倍”，在實(shí)踐操作過程中充分理解“倍”，建立直觀模型；在“變與不變”的思辨過程中完成倍認(rèn)識(shí)的升華；最后在變式練習(xí)中加強(qiáng)鞏固，并與生活實(shí)際相聯(lián)系，為后續(xù)分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)構(gòu)建聯(lián)系。

本節(jié)課的設(shè)計(jì)主要有以下兩個(gè)個(gè)特點(diǎn)：

1.突出比較過程，注重?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。

2.抓住概念本質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)鋪墊，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)思維的轉(zhuǎn)向。