，

(南昌航空大學 信息工程學院， 南昌 330063)

0 引言

工業(yè)生產(chǎn)過程中存在許多不確定的因素，如各個回路之間的耦合、工況頻繁變化，造成被控對象的動態(tài)特性難以用精確的數(shù)學模型來描述，單回路控制器設計方法難以滿足要求。因此解決被控對象的不確定性和各個回路之間的耦合，對于復雜工業(yè)中具有重要的意義，是未來研究的一個重要方向。文獻[1]對參數(shù)未知或參數(shù)變化的被控對象采用極點配置的方法使用自校正PID控制器，但需要實時在線求解Diophantine方程，計算量大，不適用于實際生產(chǎn)控制。文獻[2]提出了一種自校正重置PID控制方法，利用帶遺忘因子的遞推最小二乘法辨識被控對象的參數(shù)，但遞推最小二乘法計算量大。文獻[3]提出了一種閉環(huán)自適應解耦控制方法，其他輸入對某一輸入輸出系統(tǒng)有可測干擾影響，采用前饋控制消除此干擾來實現(xiàn)解耦。文獻[4-5]提出一種基于在擴張狀態(tài)下對任意參考模型觀測器自適應控制的方法,解決了將被控對象狀態(tài)信息不可測以及存在不確定因素引發(fā)的問題。然而，對于多變量、強耦合且不確定的系統(tǒng)中被控對象參數(shù)是具有不確定性[6]等因素沒有考慮。針對上述問題，本文提出了基于廣義最小方差自適應解耦控制策略，并使用多新息隨機梯度算法對控制器參數(shù)進行辨識，以提高控制器的性能，通過不同解耦的仿真對比，驗證了該方法能夠較好實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性并提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)描述

1.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

多變量自適應解耦[7]控制系統(tǒng)由參數(shù)可調(diào)控制器和多變量解耦控制律組合，其中自適應解耦控制律由模型參數(shù)辨識和控制器參數(shù)設計組成[8]，其構(gòu)成如圖1所示。多變量自適應解耦控制方法將被控對象的解耦、控制和辨識結(jié)合起來，可以實現(xiàn)未知或緩慢變化的系統(tǒng)的自適應解耦控制。其中，模型參數(shù)辨識采用多變量被控對象的輸入、輸出信號辨識模型參數(shù)，解耦控制器設計使用模型參數(shù)的估計值，根據(jù)控制器的性能指標，在線設計控制器的參數(shù)，作為可調(diào)控制器的參數(shù)。

圖1 自適應解耦控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

自適應解耦控制器使用輸入輸出數(shù)據(jù)在線辨識被控對象模型的未知參數(shù)，或者解耦可調(diào)控制器的參數(shù)，應用參數(shù)估計值去調(diào)整控制器的參數(shù)，從而適應被控對象的不確定性，使被控對象的輸出較好地去跟蹤理想輸出。

1.2 控制問題的描述

設被控對象的動態(tài)模型用CARMA模型[9]描述：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+C(z-1)ξ(k)

(1)

式中，u(k)和y(k)是二維輸入、輸出向量；{ξ(k)}是被控對象的二維驅(qū)動噪聲；A(z-1)和B(z-1)是具有如下形式的單位后移算子z-1的二維多項式矩陣:

A(z-1)=

B(z-1)=

式中，dij(i,j=1,2)表示第j個輸入與第i個輸出之間的延時。A(z-1)為對角型多項式矩陣且AnA滿秩，多項式矩陣B(z-1)是可逆的，即detB(z-1)≠0，并且B(z-1)中的時延項dij(i,j=1,2,···,n)已知。噪聲{ξ(k)}是σ—代數(shù)Fk下的一個Martingale差分序列。存在對角多項式矩陣D(z-1)和B(z-1)使得:

D(z-1)Bd(z-1)K(z)=B(z-1)

于是被控對象模型式(1)可以表示為:

(2)

我們將Bd(z-1)分成兩個多項式矩陣：

(3)

(4)

1.3 基于隨機梯度(SG)辨識算法的改進

在系統(tǒng)辨識中，隨機梯度算法[12-13]的計算量小，參數(shù)估計持續(xù)收斂，但收斂速度慢。為了改進隨機梯度(SG)方法的收斂速度，可引入新息長度p，提高其收斂速度從而推導出多信息隨機梯度算法(MISG)，其算法如下所示：

(5)

(6)

(7)

Y(p,k)=[y(k),y(k-1),…,y(k-p+1)]T

(8)

Φ(p,k)=[φ(k),φ(k-1),···,φ(k-p+1)]

(9)

式中，E(p,k)∈Rp是一個信息向量，即多新息。當p=1時，多新息隨機梯度算法就退化為隨機梯度算法。通過分析，基于改進的辨識算法在收斂性和參數(shù)的估計精度進行了提升，使控制器的參數(shù)斂到真值，為控制器的有效控制提供了保障。這里，設k為當前時刻，我們y(k)和φ(k)稱為當前數(shù)據(jù)，y(k-i)和φ(k-i)稱為過去數(shù)據(jù)；新息向量E(p,k)第1元為當前數(shù)據(jù)，其余為過去新息。與隨機梯度算法(SG)相比，多信息隨機梯度算法(MISG)在每步計算參數(shù)估計時，隨機梯度(SG)算法(10)～(12)只使用了當前數(shù)據(jù)y(k)和φ(k)以及當前新息；而多新息隨機梯度(MISG)(13)～(17)不僅使用了當前數(shù)據(jù)和新息，而且使用了過去數(shù)據(jù){y(k-i),φ(k-i):i=1,2,…,p-1}和新息可以潛在改善算法收斂性。多新息隨機梯度算法重復使用了系統(tǒng)數(shù)據(jù)：在時刻k,多新息隨機梯度(MISG)算法使用的數(shù)據(jù){y(k-i),φ(k-i):i=1,…,p-1}；而在時刻k+1，多新息隨機梯度(MISG)算法使用的數(shù)據(jù)為{y(k+1-i),φ(k+1-i):i=0,1,2,…,p-1}；因此，在兩次相鄰時刻遞推計算參數(shù)估計時，重復利用的數(shù)據(jù)為{y(k-i),φ(k-i):i=0,1,2…,p-2}。這是多新息隨機梯度(MISG)方法改善參數(shù)估計精度的原因。在相同的數(shù)據(jù)長度下，增加長度p能減小參數(shù)估計的誤差，也就是說，大p導致高精度的參數(shù)估計，因此新息長度p的引入能改善參數(shù)估計精度。通過分析，基于改進的隨機梯度(SG)算法可以改進算法的收斂性和參數(shù)的估計精度，能夠使得控制器的參數(shù)收斂到真值，為控制器的有效控制提供了保障。

1.4 廣義最小方差自適應解耦控制器的設計

針對被控對象模型式(1)，設計多變量廣義最小方差解耦控制器[14-16]，對被控對象不同回路間的耦合進行消除，將廣義輸出誤差向量e(k+d)的范數(shù)的方差極小，即minJ式中,

P(z-1)D(z)Y(k)-R(z-1)w(k)+

式中，w(k)為n維參考輸入向量；D(z)為時延；Q(z-1)、R(z-1)和S(z-1)為z-1的對角加權(quán)多項式矩陣；p(z-1)為加權(quán)多項式，p(0)=1。引入丟圖方程方程：

(10)

(11)

令廣義輸出向量的最優(yōu)預報φ*(k+d)等于廣義理想輸出向量y*(k+d)，就得到了保證廣義輸出誤差向量e(k+d)的范數(shù)在均方意義下最小的如下形式的多變量廣義最小方差解耦控制律，即:

E(z-1)w(k)=0

(12)

1.5 加權(quán)多項式的選擇

多變量廣義最小方差解耦控制器的加權(quán)矩陣多項式P(z-1)和加權(quán)多項式矩陣Q(z-1)、R(z-1)和S(z-1)的選擇需要考慮3個方面：(1)保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；(2)消除被控對象輸出y(k)與參考輸入w(k)之間穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差；(3)盡可能消除不同回路之間的耦合。可以通過在線修正加權(quán)多項式矩陣S(z-1)的方法來消除閉環(huán)系統(tǒng)方程中耦合項的影響以實現(xiàn)解耦控制。

聯(lián)系方程得到閉環(huán)系統(tǒng)的方程為：

(13)

(14)

令Q(z-1)=λQ1(z-1)，則式(14)變?yōu)?

Q1(z-1)β2(z-1)-β(z-1)S1(z-1)=0

(15)

本文通過在線選擇加權(quán)矩陣多項式矩陣S1(z-1)和R(z-1)來實現(xiàn)靜態(tài)解耦的方法，同時可以消除跟蹤誤差，從式(15)中可知:

S1(z-1)=β-1(1)Q1(1)β2(1)

(16)

R(z)=I+Q(1)β(1)[I-G(1)-α(1)]

(17)

我們所需要的只是離線選擇λ和Q1(z-1)以滿足:

det{B(z-1)+λA(z-1)[Q(z-1)+S1(z-1)]}≠0,|z|≥1

2 多變量自適應解耦控制算法

(18)

同樣可得控制器方程為:

(19)

定義數(shù)據(jù)向量φ(k)和參數(shù)矩陣θ如下所示：

(20)

θ= [α0,α1,…,αn1;β0,β1,…,βn2;β20;

(21)

控制器參數(shù)估計可以采用多新息隨機梯度式(5)～(9)能保證控制器參數(shù)收斂到真值，提高控制器的有效性。

基于系統(tǒng)辨識的多變量廣義最小方差自適應解耦控制算法[17-20]步驟總結(jié)如下：

1) 讀入新的輸出數(shù)據(jù)y(k)和參考輸入數(shù)據(jù)w(k);

2) 采用改機的隨機梯度(SG)算法式(5)～(9)辨識控制器參數(shù)θ；

3) 利用式(16)～(17)在線修正S(z-1)、R(z-1)；

4) 選擇P(z-1)=1，離線選擇λ，Q(z-1)；

6) 在每個采樣周期中重復以上步驟1)～步驟6)。

3 仿真實驗及結(jié)果分析

為了驗證本文的多變量廣義最小方差自適應解耦控制器的有效性，我們進行下列的仿真實驗。

多變量系統(tǒng)模型如下:

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-1)+ξ(k)

式中,

噪聲ξ(k)=[ξ1(k)ξ2(k)]T是均值為0、協(xié)方差矩陣為0.171的隨機向量。選擇加權(quán)多項式:

Q(z-1)=(1-z-1)。為了取得更好的解耦效果，將S1(z-1)選為二階多項式矩陣，在線修正加權(quán)多項式矩陣S1(z-1)，并保證S1(z-1)=0。采用PID控制器仿真時，選擇離散PID控制器的參數(shù)分別為KP1=0.8,KI1=0.1,KD1=0.02;KP2=0.25,KI2=0.15,KD2=0.02。

本文在4種控制策略下的仿真效果如圖2～5所示。圖2和圖3仿真效果對比，PID解耦控制器的響應比常規(guī)PID時間加快了40%，超調(diào)量減少了約12.5%；圖4為采用廣義最小方差自適應控制算法的仿真結(jié)果，圖5為增加解耦的結(jié)果。當被控對象參數(shù)矩陣未知時，采用廣義最小方差解耦控制器對多變量進行解耦，由圖可知，在時間k=20時，解耦后的超調(diào)量減少了約45%，解耦設計使得閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能大大提高。

PID控制器是工業(yè)生產(chǎn)中最常用的控制器，其控制算法成熟，但對于多輸入多輸出系統(tǒng)，特別是變量多且耦合性強時，常規(guī)的PID控制難以調(diào)制到最優(yōu)狀態(tài)，導致其控制效果不佳，而本文采用的圖4的自適應控制算法具有自動適應系統(tǒng)的變化。與PID控制相比，在起始階段自適應的響應時間提高了75%，超調(diào)量降低了25%。通過圖3和圖5仿真結(jié)果得出，采用PID解耦控制實現(xiàn)的效果比自適應解耦控制效果的超調(diào)量增大約為46%，所得到的效果不是很理想，而本文利用改進的隨機梯度(SG)算法來辨識控制器參數(shù)，從而實現(xiàn)了自適應解耦控制算法，使得系統(tǒng)輸出的相互影明顯減小，控制效果性能更佳。

圖2 常規(guī)PID控制被控 對象時輸出、入的仿真曲線 圖3 解耦PID控制被控 對象時輸出、入的仿真曲線

圖4 自適應控制被控對象 輸出、入時的仿真曲線 圖5 自適應解耦控制被控對 象輸出、入時的仿真曲線

4 結(jié)論

本文設計了廣義最小方差自適應解耦控制器，對參數(shù)矩陣未知的多變量系統(tǒng)利用對角矩陣法解除了不同回路間的耦合作用，并使得被控對象的廣義輸出向量與廣義理想輸出向量的誤差向量的范數(shù)方差最小。為了使控制器具有更好的控制性能，本制器參數(shù)收斂到真值，以便實現(xiàn)控制輸出信號能更好的跟蹤參考輸入信號。通過對算法的改進和結(jié)構(gòu)的調(diào)整、仿真求證，進而證明本文的方法能夠較好實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性并提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性[21]。

參考文獻：

[1] 吳平景,王銀河, 陳浩廣.基于改進遞推預測差神經(jīng)網(wǎng)絡算法的極點配置PID控制方法[J].廣東工業(yè)大學學報,2015,32(4):112-117.

[2] 賀建軍,吳高亮,喻壽益.廣義最小方差自校正重置PID控制器及其在壓力系統(tǒng)中的應用研究[J].計算技術(shù)與自動化,2013,32(1):17-21.

[3] 顏召軍,李新陽,饒長輝.一種自適應光學閉環(huán)系統(tǒng)預測控制算法的仿真研究[J].光學學報,2011, 31(1):15-23.

[4] 李 杰,齊曉慧,劉新海,等.改進模型參考自適應控制及其在解耦控制中的應用[J].電機與控制學報,2015,19(5):112-120.

[5] 朱 冰,四旋翼飛行器的模型參考自適應控制研究[J].計算機測量與控制,2014,22(6):1745-1746,1776.

[6] Liu H B, Zhou T.存在隨機參數(shù)不確定性的線性系統(tǒng)魯棒狀態(tài)估計[J].Science China, Information Sciences,2017,60(1):012202.

[7] 蔣紅梅,李戰(zhàn)明,唐偉強.基于在線辨識的自適應解耦控制[J].自動化與儀器儀表,2016(2):153-156.

[8] Wang Y, Bai Y, Zhang N, et al. Nonlinear adaptive decoupling control for the forced-circulation evaporation process[A]. 中國控制會議[C]. 2017.

[9] Yamamoto T,Inoue A, Shah S L.Generalized minimum variance self-tuning pole-assignment controller with a PID structure[A]. IEEE International Conference on Control Applications[C].IEEE,2002(1):125-130.

[10] 陳麗君,姚建勇,董振樂.基于連續(xù)可微摩擦模型的直流電機擾動補償自適應控制[J].計算機測量與控制,2015,23(11):3661-3663.

[11] Chang I, Jaliwala S A, Chase J S. Online system identification for controlling a machine, US20170089043[P]. 2017.

[12] Chen J. Stochastic gradient algorithm for dual-rate sampled data nonlinear systems based on the missing outputs identification model[A]. 中國自動化學會控制理論專業(yè)委員會、中國系統(tǒng)工程學會，第三十三屆中國控制會議論文集(E卷)[C].中國自動化學會控制理論專業(yè)委員會、中國系統(tǒng)工程學會,2014:5.

[13] Chen J,Zou H. Stochastic gradient algorithm for dual-rate sampled data nonlinear systems based on the missing outputs identification model[A]. Control Conference.IEEE[C].2014:6673-6677.

[14] Alipouri Y, Poshtan J. A linear approach to generalized minimum variance controller design for MIMO nonlinear systems[J]. Nonlinear Dynamics,2014,77(3):935-949.

[15] Yokoyama R,Masuda S. Data-driven generalized minimum variance regulatory control with constrained controller structure[A]. International Conference on Advanced Mechatronic Systems.IEEE,2017:17-22.

[16] 商利斌,高喜玲,李 釗,等.直膨式空調(diào)人工神經(jīng)網(wǎng)絡在線自適應控制器應用研究[J].計算機測量與控制,2015,23(7):2377-2380.

[17] 齊曉慧,田慶民,董海瑞.基于Matlab系統(tǒng)辨識工具箱的系統(tǒng)建模[J].兵工自動化, 2006, 25(10):88-90.

[18] 向曉燕,蔣效會.基于系統(tǒng)辨識的系統(tǒng)模型[J].電腦知識與技術(shù),2008,2(6):1286-1288.

[19] 王浩宇,張云生,張 果.系統(tǒng)辨識及自適應控制系統(tǒng)算法仿真實現(xiàn)[J].控制工程,2008(s2):77-80.

[20] 李 明,馬 玲,李 源.基于系統(tǒng)辨識的自適應控制技術(shù)的應用[J].自動化應用,2013(6):88-8.

[21] Chen Y,So H C, Kuruoglu E E, et al. Variance analysis of unbiased complex-valued l p-norm minimizer[J].Signal Processing, 2017,135:17-25.