，

(南昌航空大學(xué) 信息工程學(xué)院， 南昌 330063)

0 引言

工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中存在許多不確定的因素，如各個(gè)回路之間的耦合、工況頻繁變化，造成被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性難以用精確的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述，單回路控制器設(shè)計(jì)方法難以滿足要求。因此解決被控對(duì)象的不確定性和各個(gè)回路之間的耦合，對(duì)于復(fù)雜工業(yè)中具有重要的意義，是未來(lái)研究的一個(gè)重要方向。文獻(xiàn)[1]對(duì)參數(shù)未知或參數(shù)變化的被控對(duì)象采用極點(diǎn)配置的方法使用自校正PID控制器，但需要實(shí)時(shí)在線求解Diophantine方程，計(jì)算量大，不適用于實(shí)際生產(chǎn)控制。文獻(xiàn)[2]提出了一種自校正重置PID控制方法，利用帶遺忘因子的遞推最小二乘法辨識(shí)被控對(duì)象的參數(shù)，但遞推最小二乘法計(jì)算量大。文獻(xiàn)[3]提出了一種閉環(huán)自適應(yīng)解耦控制方法，其他輸入對(duì)某一輸入輸出系統(tǒng)有可測(cè)干擾影響，采用前饋控制消除此干擾來(lái)實(shí)現(xiàn)解耦。文獻(xiàn)[4-5]提出一種基于在擴(kuò)張狀態(tài)下對(duì)任意參考模型觀測(cè)器自適應(yīng)控制的方法,解決了將被控對(duì)象狀態(tài)信息不可測(cè)以及存在不確定因素引發(fā)的問(wèn)題。然而，對(duì)于多變量、強(qiáng)耦合且不確定的系統(tǒng)中被控對(duì)象參數(shù)是具有不確定性[6]等因素沒(méi)有考慮。針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了基于廣義最小方差自適應(yīng)解耦控制策略，并使用多新息隨機(jī)梯度算法對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，以提高控制器的性能，通過(guò)不同解耦的仿真對(duì)比，驗(yàn)證了該方法能夠較好實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性并提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)描述

1.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

多變量自適應(yīng)解耦[7]控制系統(tǒng)由參數(shù)可調(diào)控制器和多變量解耦控制律組合，其中自適應(yīng)解耦控制律由模型參數(shù)辨識(shí)和控制器參數(shù)設(shè)計(jì)組成[8]，其構(gòu)成如圖1所示。多變量自適應(yīng)解耦控制方法將被控對(duì)象的解耦、控制和辨識(shí)結(jié)合起來(lái)，可以實(shí)現(xiàn)未知或緩慢變化的系統(tǒng)的自適應(yīng)解耦控制。其中，模型參數(shù)辨識(shí)采用多變量被控對(duì)象的輸入、輸出信號(hào)辨識(shí)模型參數(shù)，解耦控制器設(shè)計(jì)使用模型參數(shù)的估計(jì)值，根據(jù)控制器的性能指標(biāo)，在線設(shè)計(jì)控制器的參數(shù)，作為可調(diào)控制器的參數(shù)。

圖1 自適應(yīng)解耦控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

自適應(yīng)解耦控制器使用輸入輸出數(shù)據(jù)在線辨識(shí)被控對(duì)象模型的未知參數(shù)，或者解耦可調(diào)控制器的參數(shù)，應(yīng)用參數(shù)估計(jì)值去調(diào)整控制器的參數(shù)，從而適應(yīng)被控對(duì)象的不確定性，使被控對(duì)象的輸出較好地去跟蹤理想輸出。

1.2 控制問(wèn)題的描述

設(shè)被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型用CARMA模型[9]描述：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+C(z-1)ξ(k)

(1)

式中，u(k)和y(k)是二維輸入、輸出向量；{ξ(k)}是被控對(duì)象的二維驅(qū)動(dòng)噪聲；A(z-1)和B(z-1)是具有如下形式的單位后移算子z-1的二維多項(xiàng)式矩陣:

A(z-1)=

B(z-1)=

式中，dij(i,j=1,2)表示第j個(gè)輸入與第i個(gè)輸出之間的延時(shí)。A(z-1)為對(duì)角型多項(xiàng)式矩陣且AnA滿秩，多項(xiàng)式矩陣B(z-1)是可逆的，即detB(z-1)≠0，并且B(z-1)中的時(shí)延項(xiàng)dij(i,j=1,2,···,n)已知。噪聲{ξ(k)}是σ—代數(shù)Fk下的一個(gè)Martingale差分序列。存在對(duì)角多項(xiàng)式矩陣D(z-1)和B(z-1)使得:

D(z-1)Bd(z-1)K(z)=B(z-1)

于是被控對(duì)象模型式(1)可以表示為:

(2)

我們將Bd(z-1)分成兩個(gè)多項(xiàng)式矩陣：

(3)

(4)

1.3 基于隨機(jī)梯度(SG)辨識(shí)算法的改進(jìn)

在系統(tǒng)辨識(shí)中，隨機(jī)梯度算法[12-13]的計(jì)算量小，參數(shù)估計(jì)持續(xù)收斂，但收斂速度慢。為了改進(jìn)隨機(jī)梯度(SG)方法的收斂速度，可引入新息長(zhǎng)度p，提高其收斂速度從而推導(dǎo)出多信息隨機(jī)梯度算法(MISG)，其算法如下所示：

(5)

(6)

(7)

Y(p,k)=[y(k),y(k-1),…,y(k-p+1)]T

(8)

Φ(p,k)=[φ(k),φ(k-1),···,φ(k-p+1)]

(9)

式中，E(p,k)∈Rp是一個(gè)信息向量，即多新息。當(dāng)p=1時(shí)，多新息隨機(jī)梯度算法就退化為隨機(jī)梯度算法。通過(guò)分析，基于改進(jìn)的辨識(shí)算法在收斂性和參數(shù)的估計(jì)精度進(jìn)行了提升，使控制器的參數(shù)斂到真值，為控制器的有效控制提供了保障。這里，設(shè)k為當(dāng)前時(shí)刻，我們y(k)和φ(k)稱(chēng)為當(dāng)前數(shù)據(jù)，y(k-i)和φ(k-i)稱(chēng)為過(guò)去數(shù)據(jù)；新息向量E(p,k)第1元為當(dāng)前數(shù)據(jù)，其余為過(guò)去新息。與隨機(jī)梯度算法(SG)相比，多信息隨機(jī)梯度算法(MISG)在每步計(jì)算參數(shù)估計(jì)時(shí)，隨機(jī)梯度(SG)算法(10)～(12)只使用了當(dāng)前數(shù)據(jù)y(k)和φ(k)以及當(dāng)前新息；而多新息隨機(jī)梯度(MISG)(13)～(17)不僅使用了當(dāng)前數(shù)據(jù)和新息，而且使用了過(guò)去數(shù)據(jù){y(k-i),φ(k-i):i=1,2,…,p-1}和新息可以潛在改善算法收斂性。多新息隨機(jī)梯度算法重復(fù)使用了系統(tǒng)數(shù)據(jù)：在時(shí)刻k,多新息隨機(jī)梯度(MISG)算法使用的數(shù)據(jù){y(k-i),φ(k-i):i=1,…,p-1}；而在時(shí)刻k+1，多新息隨機(jī)梯度(MISG)算法使用的數(shù)據(jù)為{y(k+1-i),φ(k+1-i):i=0,1,2,…,p-1}；因此，在兩次相鄰時(shí)刻遞推計(jì)算參數(shù)估計(jì)時(shí)，重復(fù)利用的數(shù)據(jù)為{y(k-i),φ(k-i):i=0,1,2…,p-2}。這是多新息隨機(jī)梯度(MISG)方法改善參數(shù)估計(jì)精度的原因。在相同的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度下，增加長(zhǎng)度p能減小參數(shù)估計(jì)的誤差，也就是說(shuō)，大p導(dǎo)致高精度的參數(shù)估計(jì)，因此新息長(zhǎng)度p的引入能改善參數(shù)估計(jì)精度。通過(guò)分析，基于改進(jìn)的隨機(jī)梯度(SG)算法可以改進(jìn)算法的收斂性和參數(shù)的估計(jì)精度，能夠使得控制器的參數(shù)收斂到真值，為控制器的有效控制提供了保障。

1.4 廣義最小方差自適應(yīng)解耦控制器的設(shè)計(jì)

針對(duì)被控對(duì)象模型式(1)，設(shè)計(jì)多變量廣義最小方差解耦控制器[14-16]，對(duì)被控對(duì)象不同回路間的耦合進(jìn)行消除，將廣義輸出誤差向量e(k+d)的范數(shù)的方差極小，即minJ式中,

P(z-1)D(z)Y(k)-R(z-1)w(k)+

式中，w(k)為n維參考輸入向量；D(z)為時(shí)延；Q(z-1)、R(z-1)和S(z-1)為z-1的對(duì)角加權(quán)多項(xiàng)式矩陣；p(z-1)為加權(quán)多項(xiàng)式，p(0)=1。引入丟圖方程方程：

(10)

(11)

令廣義輸出向量的最優(yōu)預(yù)報(bào)φ*(k+d)等于廣義理想輸出向量y*(k+d)，就得到了保證廣義輸出誤差向量e(k+d)的范數(shù)在均方意義下最小的如下形式的多變量廣義最小方差解耦控制律，即:

E(z-1)w(k)=0

(12)

1.5 加權(quán)多項(xiàng)式的選擇

多變量廣義最小方差解耦控制器的加權(quán)矩陣多項(xiàng)式P(z-1)和加權(quán)多項(xiàng)式矩陣Q(z-1)、R(z-1)和S(z-1)的選擇需要考慮3個(gè)方面：(1)保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；(2)消除被控對(duì)象輸出y(k)與參考輸入w(k)之間穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差；(3)盡可能消除不同回路之間的耦合。可以通過(guò)在線修正加權(quán)多項(xiàng)式矩陣S(z-1)的方法來(lái)消除閉環(huán)系統(tǒng)方程中耦合項(xiàng)的影響以實(shí)現(xiàn)解耦控制。

聯(lián)系方程得到閉環(huán)系統(tǒng)的方程為：

(13)

(14)

令Q(z-1)=λQ1(z-1)，則式(14)變?yōu)?

Q1(z-1)β2(z-1)-β(z-1)S1(z-1)=0

(15)

本文通過(guò)在線選擇加權(quán)矩陣多項(xiàng)式矩陣S1(z-1)和R(z-1)來(lái)實(shí)現(xiàn)靜態(tài)解耦的方法，同時(shí)可以消除跟蹤誤差，從式(15)中可知:

S1(z-1)=β-1(1)Q1(1)β2(1)

(16)

R(z)=I+Q(1)β(1)[I-G(1)-α(1)]

(17)

我們所需要的只是離線選擇λ和Q1(z-1)以滿足:

det{B(z-1)+λA(z-1)[Q(z-1)+S1(z-1)]}≠0,|z|≥1

2 多變量自適應(yīng)解耦控制算法

(18)

同樣可得控制器方程為:

(19)

定義數(shù)據(jù)向量φ(k)和參數(shù)矩陣θ如下所示：

(20)

θ= [α0,α1,…,αn1;β0,β1,…,βn2;β20;

(21)

控制器參數(shù)估計(jì)可以采用多新息隨機(jī)梯度式(5)～(9)能保證控制器參數(shù)收斂到真值，提高控制器的有效性。

基于系統(tǒng)辨識(shí)的多變量廣義最小方差自適應(yīng)解耦控制算法[17-20]步驟總結(jié)如下：

1) 讀入新的輸出數(shù)據(jù)y(k)和參考輸入數(shù)據(jù)w(k);

2) 采用改機(jī)的隨機(jī)梯度(SG)算法式(5)～(9)辨識(shí)控制器參數(shù)θ；

3) 利用式(16)～(17)在線修正S(z-1)、R(z-1)；

4) 選擇P(z-1)=1，離線選擇λ，Q(z-1)；

6) 在每個(gè)采樣周期中重復(fù)以上步驟1)～步驟6)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文的多變量廣義最小方差自適應(yīng)解耦控制器的有效性，我們進(jìn)行下列的仿真實(shí)驗(yàn)。

多變量系統(tǒng)模型如下:

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-1)+ξ(k)

式中,

噪聲ξ(k)=[ξ1(k)ξ2(k)]T是均值為0、協(xié)方差矩陣為0.171的隨機(jī)向量。選擇加權(quán)多項(xiàng)式:

Q(z-1)=(1-z-1)。為了取得更好的解耦效果，將S1(z-1)選為二階多項(xiàng)式矩陣，在線修正加權(quán)多項(xiàng)式矩陣S1(z-1)，并保證S1(z-1)=0。采用PID控制器仿真時(shí)，選擇離散PID控制器的參數(shù)分別為KP1=0.8,KI1=0.1,KD1=0.02;KP2=0.25,KI2=0.15,KD2=0.02。

本文在4種控制策略下的仿真效果如圖2～5所示。圖2和圖3仿真效果對(duì)比，PID解耦控制器的響應(yīng)比常規(guī)PID時(shí)間加快了40%，超調(diào)量減少了約12.5%；圖4為采用廣義最小方差自適應(yīng)控制算法的仿真結(jié)果，圖5為增加解耦的結(jié)果。當(dāng)被控對(duì)象參數(shù)矩陣未知時(shí)，采用廣義最小方差解耦控制器對(duì)多變量進(jìn)行解耦，由圖可知，在時(shí)間k=20時(shí)，解耦后的超調(diào)量減少了約45%，解耦設(shè)計(jì)使得閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能大大提高。

PID控制器是工業(yè)生產(chǎn)中最常用的控制器，其控制算法成熟，但對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，特別是變量多且耦合性強(qiáng)時(shí)，常規(guī)的PID控制難以調(diào)制到最優(yōu)狀態(tài)，導(dǎo)致其控制效果不佳，而本文采用的圖4的自適應(yīng)控制算法具有自動(dòng)適應(yīng)系統(tǒng)的變化。與PID控制相比，在起始階段自適應(yīng)的響應(yīng)時(shí)間提高了75%，超調(diào)量降低了25%。通過(guò)圖3和圖5仿真結(jié)果得出，采用PID解耦控制實(shí)現(xiàn)的效果比自適應(yīng)解耦控制效果的超調(diào)量增大約為46%，所得到的效果不是很理想，而本文利用改進(jìn)的隨機(jī)梯度(SG)算法來(lái)辨識(shí)控制器參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)解耦控制算法，使得系統(tǒng)輸出的相互影明顯減小，控制效果性能更佳。

圖2 常規(guī)PID控制被控 對(duì)象時(shí)輸出、入的仿真曲線 圖3 解耦PID控制被控 對(duì)象時(shí)輸出、入的仿真曲線

圖4 自適應(yīng)控制被控對(duì)象 輸出、入時(shí)的仿真曲線 圖5 自適應(yīng)解耦控制被控對(duì) 象輸出、入時(shí)的仿真曲線

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了廣義最小方差自適應(yīng)解耦控制器，對(duì)參數(shù)矩陣未知的多變量系統(tǒng)利用對(duì)角矩陣法解除了不同回路間的耦合作用，并使得被控對(duì)象的廣義輸出向量與廣義理想輸出向量的誤差向量的范數(shù)方差最小。為了使控制器具有更好的控制性能，本制器參數(shù)收斂到真值，以便實(shí)現(xiàn)控制輸出信號(hào)能更好的跟蹤參考輸入信號(hào)。通過(guò)對(duì)算法的改進(jìn)和結(jié)構(gòu)的調(diào)整、仿真求證，進(jìn)而證明本文的方法能夠較好實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性并提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性[21]。

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