，

(南昌航空大學(xué) 信息工程學(xué)院， 南昌 330063)

0 引言

工業(yè)生產(chǎn)過程中存在許多不確定的因素，如各個回路之間的耦合、工況頻繁變化，造成被控對象的動態(tài)特性難以用精確的數(shù)學(xué)模型來描述，單回路控制器設(shè)計(jì)方法難以滿足要求。因此解決被控對象的不確定性和各個回路之間的耦合，對于復(fù)雜工業(yè)中具有重要的意義，是未來研究的一個重要方向。文獻(xiàn)[1]對參數(shù)未知或參數(shù)變化的被控對象采用極點(diǎn)配置的方法使用自校正PID控制器，但需要實(shí)時在線求解Diophantine方程，計(jì)算量大，不適用于實(shí)際生產(chǎn)控制。文獻(xiàn)[2]提出了一種自校正重置PID控制方法，利用帶遺忘因子的遞推最小二乘法辨識被控對象的參數(shù)，但遞推最小二乘法計(jì)算量大。文獻(xiàn)[3]提出了一種閉環(huán)自適應(yīng)解耦控制方法，其他輸入對某一輸入輸出系統(tǒng)有可測干擾影響，采用前饋控制消除此干擾來實(shí)現(xiàn)解耦。文獻(xiàn)[4-5]提出一種基于在擴(kuò)張狀態(tài)下對任意參考模型觀測器自適應(yīng)控制的方法,解決了將被控對象狀態(tài)信息不可測以及存在不確定因素引發(fā)的問題。然而，對于多變量、強(qiáng)耦合且不確定的系統(tǒng)中被控對象參數(shù)是具有不確定性[6]等因素沒有考慮。針對上述問題，本文提出了基于廣義最小方差自適應(yīng)解耦控制策略，并使用多新息隨機(jī)梯度算法對控制器參數(shù)進(jìn)行辨識，以提高控制器的性能，通過不同解耦的仿真對比，驗(yàn)證了該方法能夠較好實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性并提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)描述

1.1 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

多變量自適應(yīng)解耦[7]控制系統(tǒng)由參數(shù)可調(diào)控制器和多變量解耦控制律組合，其中自適應(yīng)解耦控制律由模型參數(shù)辨識和控制器參數(shù)設(shè)計(jì)組成[8]，其構(gòu)成如圖1所示。多變量自適應(yīng)解耦控制方法將被控對象的解耦、控制和辨識結(jié)合起來，可以實(shí)現(xiàn)未知或緩慢變化的系統(tǒng)的自適應(yīng)解耦控制。其中，模型參數(shù)辨識采用多變量被控對象的輸入、輸出信號辨識模型參數(shù)，解耦控制器設(shè)計(jì)使用模型參數(shù)的估計(jì)值，根據(jù)控制器的性能指標(biāo)，在線設(shè)計(jì)控制器的參數(shù)，作為可調(diào)控制器的參數(shù)。

圖1 自適應(yīng)解耦控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

自適應(yīng)解耦控制器使用輸入輸出數(shù)據(jù)在線辨識被控對象模型的未知參數(shù)，或者解耦可調(diào)控制器的參數(shù)，應(yīng)用參數(shù)估計(jì)值去調(diào)整控制器的參數(shù)，從而適應(yīng)被控對象的不確定性，使被控對象的輸出較好地去跟蹤理想輸出。

1.2 控制問題的描述

設(shè)被控對象的動態(tài)模型用CARMA模型[9]描述：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k)+C(z-1)ξ(k)

(1)

式中，u(k)和y(k)是二維輸入、輸出向量；{ξ(k)}是被控對象的二維驅(qū)動噪聲；A(z-1)和B(z-1)是具有如下形式的單位后移算子z-1的二維多項(xiàng)式矩陣:

A(z-1)=

B(z-1)=

式中，dij(i,j=1,2)表示第j個輸入與第i個輸出之間的延時。A(z-1)為對角型多項(xiàng)式矩陣且AnA滿秩，多項(xiàng)式矩陣B(z-1)是可逆的，即detB(z-1)≠0，并且B(z-1)中的時延項(xiàng)dij(i,j=1,2,···,n)已知。噪聲{ξ(k)}是σ—代數(shù)Fk下的一個Martingale差分序列。存在對角多項(xiàng)式矩陣D(z-1)和B(z-1)使得:

D(z-1)Bd(z-1)K(z)=B(z-1)

于是被控對象模型式(1)可以表示為:

(2)

我們將Bd(z-1)分成兩個多項(xiàng)式矩陣：

(3)

(4)

1.3 基于隨機(jī)梯度(SG)辨識算法的改進(jìn)

在系統(tǒng)辨識中，隨機(jī)梯度算法[12-13]的計(jì)算量小，參數(shù)估計(jì)持續(xù)收斂，但收斂速度慢。為了改進(jìn)隨機(jī)梯度(SG)方法的收斂速度，可引入新息長度p，提高其收斂速度從而推導(dǎo)出多信息隨機(jī)梯度算法(MISG)，其算法如下所示：

(5)

(6)

(7)

Y(p,k)=[y(k),y(k-1),…,y(k-p+1)]T

(8)

Φ(p,k)=[φ(k),φ(k-1),···,φ(k-p+1)]

(9)

式中，E(p,k)∈Rp是一個信息向量，即多新息。當(dāng)p=1時，多新息隨機(jī)梯度算法就退化為隨機(jī)梯度算法。通過分析，基于改進(jìn)的辨識算法在收斂性和參數(shù)的估計(jì)精度進(jìn)行了提升，使控制器的參數(shù)斂到真值，為控制器的有效控制提供了保障。這里，設(shè)k為當(dāng)前時刻，我們y(k)和φ(k)稱為當(dāng)前數(shù)據(jù)，y(k-i)和φ(k-i)稱為過去數(shù)據(jù)；新息向量E(p,k)第1元為當(dāng)前數(shù)據(jù)，其余為過去新息。與隨機(jī)梯度算法(SG)相比，多信息隨機(jī)梯度算法(MISG)在每步計(jì)算參數(shù)估計(jì)時，隨機(jī)梯度(SG)算法(10)～(12)只使用了當(dāng)前數(shù)據(jù)y(k)和φ(k)以及當(dāng)前新息；而多新息隨機(jī)梯度(MISG)(13)～(17)不僅使用了當(dāng)前數(shù)據(jù)和新息，而且使用了過去數(shù)據(jù){y(k-i),φ(k-i):i=1,2,…,p-1}和新息可以潛在改善算法收斂性。多新息隨機(jī)梯度算法重復(fù)使用了系統(tǒng)數(shù)據(jù)：在時刻k,多新息隨機(jī)梯度(MISG)算法使用的數(shù)據(jù){y(k-i),φ(k-i):i=1,…,p-1}；而在時刻k+1，多新息隨機(jī)梯度(MISG)算法使用的數(shù)據(jù)為{y(k+1-i),φ(k+1-i):i=0,1,2,…,p-1}；因此，在兩次相鄰時刻遞推計(jì)算參數(shù)估計(jì)時，重復(fù)利用的數(shù)據(jù)為{y(k-i),φ(k-i):i=0,1,2…,p-2}。這是多新息隨機(jī)梯度(MISG)方法改善參數(shù)估計(jì)精度的原因。在相同的數(shù)據(jù)長度下，增加長度p能減小參數(shù)估計(jì)的誤差，也就是說，大p導(dǎo)致高精度的參數(shù)估計(jì)，因此新息長度p的引入能改善參數(shù)估計(jì)精度。通過分析，基于改進(jìn)的隨機(jī)梯度(SG)算法可以改進(jìn)算法的收斂性和參數(shù)的估計(jì)精度，能夠使得控制器的參數(shù)收斂到真值，為控制器的有效控制提供了保障。

1.4 廣義最小方差自適應(yīng)解耦控制器的設(shè)計(jì)

針對被控對象模型式(1)，設(shè)計(jì)多變量廣義最小方差解耦控制器[14-16]，對被控對象不同回路間的耦合進(jìn)行消除，將廣義輸出誤差向量e(k+d)的范數(shù)的方差極小，即minJ式中,

P(z-1)D(z)Y(k)-R(z-1)w(k)+

式中，w(k)為n維參考輸入向量；D(z)為時延；Q(z-1)、R(z-1)和S(z-1)為z-1的對角加權(quán)多項(xiàng)式矩陣；p(z-1)為加權(quán)多項(xiàng)式，p(0)=1。引入丟圖方程方程：

(10)

(11)

令廣義輸出向量的最優(yōu)預(yù)報(bào)φ*(k+d)等于廣義理想輸出向量y*(k+d)，就得到了保證廣義輸出誤差向量e(k+d)的范數(shù)在均方意義下最小的如下形式的多變量廣義最小方差解耦控制律，即:

E(z-1)w(k)=0

(12)

1.5 加權(quán)多項(xiàng)式的選擇

多變量廣義最小方差解耦控制器的加權(quán)矩陣多項(xiàng)式P(z-1)和加權(quán)多項(xiàng)式矩陣Q(z-1)、R(z-1)和S(z-1)的選擇需要考慮3個方面：(1)保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；(2)消除被控對象輸出y(k)與參考輸入w(k)之間穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差；(3)盡可能消除不同回路之間的耦合。可以通過在線修正加權(quán)多項(xiàng)式矩陣S(z-1)的方法來消除閉環(huán)系統(tǒng)方程中耦合項(xiàng)的影響以實(shí)現(xiàn)解耦控制。

聯(lián)系方程得到閉環(huán)系統(tǒng)的方程為：

(13)

(14)

令Q(z-1)=λQ1(z-1)，則式(14)變?yōu)?

Q1(z-1)β2(z-1)-β(z-1)S1(z-1)=0

(15)

本文通過在線選擇加權(quán)矩陣多項(xiàng)式矩陣S1(z-1)和R(z-1)來實(shí)現(xiàn)靜態(tài)解耦的方法，同時可以消除跟蹤誤差，從式(15)中可知:

S1(z-1)=β-1(1)Q1(1)β2(1)

(16)

R(z)=I+Q(1)β(1)[I-G(1)-α(1)]

(17)

我們所需要的只是離線選擇λ和Q1(z-1)以滿足:

det{B(z-1)+λA(z-1)[Q(z-1)+S1(z-1)]}≠0,|z|≥1

2 多變量自適應(yīng)解耦控制算法

(18)

同樣可得控制器方程為:

(19)

定義數(shù)據(jù)向量φ(k)和參數(shù)矩陣θ如下所示：

(20)

θ= [α0,α1,…,αn1;β0,β1,…,βn2;β20;

(21)

控制器參數(shù)估計(jì)可以采用多新息隨機(jī)梯度式(5)～(9)能保證控制器參數(shù)收斂到真值，提高控制器的有效性。

基于系統(tǒng)辨識的多變量廣義最小方差自適應(yīng)解耦控制算法[17-20]步驟總結(jié)如下：

1) 讀入新的輸出數(shù)據(jù)y(k)和參考輸入數(shù)據(jù)w(k);

2) 采用改機(jī)的隨機(jī)梯度(SG)算法式(5)～(9)辨識控制器參數(shù)θ；

3) 利用式(16)～(17)在線修正S(z-1)、R(z-1)；

4) 選擇P(z-1)=1，離線選擇λ，Q(z-1)；

6) 在每個采樣周期中重復(fù)以上步驟1)～步驟6)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文的多變量廣義最小方差自適應(yīng)解耦控制器的有效性，我們進(jìn)行下列的仿真實(shí)驗(yàn)。

多變量系統(tǒng)模型如下:

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(k-1)+ξ(k)

式中,

噪聲ξ(k)=[ξ1(k)ξ2(k)]T是均值為0、協(xié)方差矩陣為0.171的隨機(jī)向量。選擇加權(quán)多項(xiàng)式:

Q(z-1)=(1-z-1)。為了取得更好的解耦效果，將S1(z-1)選為二階多項(xiàng)式矩陣，在線修正加權(quán)多項(xiàng)式矩陣S1(z-1)，并保證S1(z-1)=0。采用PID控制器仿真時，選擇離散PID控制器的參數(shù)分別為KP1=0.8,KI1=0.1,KD1=0.02;KP2=0.25,KI2=0.15,KD2=0.02。

本文在4種控制策略下的仿真效果如圖2～5所示。圖2和圖3仿真效果對比，PID解耦控制器的響應(yīng)比常規(guī)PID時間加快了40%，超調(diào)量減少了約12.5%；圖4為采用廣義最小方差自適應(yīng)控制算法的仿真結(jié)果，圖5為增加解耦的結(jié)果。當(dāng)被控對象參數(shù)矩陣未知時，采用廣義最小方差解耦控制器對多變量進(jìn)行解耦，由圖可知，在時間k=20時，解耦后的超調(diào)量減少了約45%，解耦設(shè)計(jì)使得閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能大大提高。

PID控制器是工業(yè)生產(chǎn)中最常用的控制器，其控制算法成熟，但對于多輸入多輸出系統(tǒng)，特別是變量多且耦合性強(qiáng)時，常規(guī)的PID控制難以調(diào)制到最優(yōu)狀態(tài)，導(dǎo)致其控制效果不佳，而本文采用的圖4的自適應(yīng)控制算法具有自動適應(yīng)系統(tǒng)的變化。與PID控制相比，在起始階段自適應(yīng)的響應(yīng)時間提高了75%，超調(diào)量降低了25%。通過圖3和圖5仿真結(jié)果得出，采用PID解耦控制實(shí)現(xiàn)的效果比自適應(yīng)解耦控制效果的超調(diào)量增大約為46%，所得到的效果不是很理想，而本文利用改進(jìn)的隨機(jī)梯度(SG)算法來辨識控制器參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)解耦控制算法，使得系統(tǒng)輸出的相互影明顯減小，控制效果性能更佳。

圖2 常規(guī)PID控制被控 對象時輸出、入的仿真曲線 圖3 解耦PID控制被控 對象時輸出、入的仿真曲線

圖4 自適應(yīng)控制被控對象 輸出、入時的仿真曲線 圖5 自適應(yīng)解耦控制被控對 象輸出、入時的仿真曲線

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)了廣義最小方差自適應(yīng)解耦控制器，對參數(shù)矩陣未知的多變量系統(tǒng)利用對角矩陣法解除了不同回路間的耦合作用，并使得被控對象的廣義輸出向量與廣義理想輸出向量的誤差向量的范數(shù)方差最小。為了使控制器具有更好的控制性能，本制器參數(shù)收斂到真值，以便實(shí)現(xiàn)控制輸出信號能更好的跟蹤參考輸入信號。通過對算法的改進(jìn)和結(jié)構(gòu)的調(diào)整、仿真求證，進(jìn)而證明本文的方法能夠較好實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性并提高了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性[21]。

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