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(航天工程大學(xué) 航天裝備系，北京 101416)

0 引言

姿態(tài)確定系統(tǒng)是航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中的必要組成部分，對(duì)姿態(tài)控制精度及載荷能否有效工作起決定性的作用。姿態(tài)確定系統(tǒng)的主要任務(wù)是通過(guò)姿態(tài)敏感器測(cè)量信息精確估計(jì)航天器的三軸姿態(tài)與姿態(tài)角速度，一方面為姿態(tài)控制提供反饋信息，以便更好、更準(zhǔn)確地對(duì)航天器姿態(tài)實(shí)施控制，另一方面提供給有效載荷使用。

一套完整的姿態(tài)確定系統(tǒng)包括姿態(tài)敏感器和姿態(tài)控制算法。姿態(tài)敏感器是用來(lái)測(cè)量航天器相對(duì)與某一基準(zhǔn)方位的姿態(tài)信息，但其測(cè)量到的結(jié)果并不一定是航天器的真實(shí)姿態(tài)信息，通常存在誤差，而姿態(tài)確定算法是通過(guò)某種方法，將姿態(tài)敏感器的測(cè)量信息進(jìn)行處理，得到航天器姿態(tài)。一般有兩種方法[1]，一種是確定性方法也稱為幾何算法，是根據(jù)一組矢量測(cè)量值，求解航天器的姿態(tài)矩陣。其優(yōu)點(diǎn)是無(wú)需知道姿態(tài)的先驗(yàn)信息，并且其結(jié)果具有明顯的物理或幾何意義。但很難克服像姿態(tài)敏感器的測(cè)量誤差、偏置誤差和安裝誤差之類的參考矢量的不確定性，不易建立包括這些不確定性在內(nèi)的姿態(tài)確定模型及加權(quán)處理不同精度的測(cè)量值。另一種是狀態(tài)估計(jì)法也稱遞推濾波算法，通過(guò)建立狀態(tài)量的狀態(tài)變化方程和觀測(cè)方程，應(yīng)用估計(jì)算法，根據(jù)觀測(cè)信息估計(jì)出狀態(tài)量[1]。在航天器姿態(tài)確定中，根據(jù)航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型建立航天器姿態(tài)變化的狀態(tài)方程，根據(jù)一個(gè)時(shí)變的矢量測(cè)量來(lái)估計(jì)航天器姿態(tài)。其優(yōu)點(diǎn)是被估計(jì)量不局限于姿態(tài)參數(shù)，矢量觀測(cè)中的一些不確定參數(shù)，如敏感器誤差也可以作為狀態(tài)量進(jìn)行估計(jì)。這樣，在一定程度上就可以消除一些測(cè)量不確定因素，從而提高姿態(tài)確定精度。相比于確定性方法，狀態(tài)估計(jì)方法提高了姿態(tài)確定的精度。

目前，高精度航天器姿態(tài)確定系統(tǒng)通常多采用陀螺和星敏感器組合的形式來(lái)測(cè)量航天器的姿態(tài)信息，利用濾波技術(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，從而確定航天器的姿態(tài)。本文通過(guò)對(duì)陀螺和星敏感器組合進(jìn)行航天器姿態(tài)確定方式的建模，以誤差姿態(tài)角和陀螺常值漂移誤差為狀態(tài)量，以星敏感器測(cè)量殘差為量測(cè)量，采用EKF算法進(jìn)行姿態(tài)確定。而后，通過(guò)對(duì)影響姿態(tài)確定精度的因素進(jìn)行了定量的仿真分析，得到了不同影響因素對(duì)姿態(tài)確定的作用效果，為航天器姿態(tài)確定系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)提供了一定的理論依據(jù)。

1 姿態(tài)敏感器測(cè)量模型

1.1 陀螺模型

航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度可以通過(guò)直接或間接的方法獲得。直接方法是指利用某些測(cè)量設(shè)備直接測(cè)量，而間接方法是指使用某些軟件算法估計(jì)得到[2-4]。本文采取直接測(cè)量的方式。三軸角速率陀螺是一個(gè)采用連續(xù)測(cè)量方式的常見(jiàn)測(cè)速設(shè)備，其角速率觀測(cè)模型[5]如下:

ωg=ω+ξ+νg

(1)

(2)

1.2 星敏感器模型

本文采用利用CCD星圖識(shí)別方式工作的星敏感器。為了使研究簡(jiǎn)化，假設(shè)星敏感器在安裝時(shí)均安裝在慣量主軸上，沒(méi)有安裝誤差。則星敏感器的測(cè)量方程可以寫(xiě)成：

(3)

式中，φs,θs,ψs為星敏感器測(cè)量到的航天器的姿態(tài)角，νφ,νθ,νψ為3個(gè)通道的測(cè)量噪聲，假設(shè)它們都是均值為零的高斯白噪聲。

2 姿態(tài)確定算法及仿真

對(duì)于航天器的姿態(tài)確定問(wèn)題而言，由于描述航天器姿態(tài)的系統(tǒng)和測(cè)量模型一般是非線性的，所以姿態(tài)確定問(wèn)題通?？梢詺w結(jié)為一個(gè)非線性濾波問(wèn)題。EKF算法是解決姿態(tài)確定問(wèn)題的比較傳統(tǒng)的方法。本節(jié)采用四元數(shù)作為姿態(tài)參數(shù)，建立誤差四元數(shù)的狀態(tài)方程，以姿態(tài)四元數(shù)和陀螺漂移作為待估計(jì)狀態(tài)。

2.1 航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

則航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[6]為：

(4)

ωbo=ω-Tbo(qbo)ωoi

(5)

ωbo表示姿態(tài)角速度矢量，ω為航天器本體坐標(biāo)系相對(duì)于地心慣性坐標(biāo)系的角速度，ωoi表示航天器的軌道角速度在LVLH坐標(biāo)系中的矢量，Tbo(qbo)表示四元數(shù)qbo所描述的姿態(tài)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，其表達(dá)式為：

(6)

又由四元數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)則可將運(yùn)動(dòng)學(xué)方程改寫(xiě)為：

(7)

其中：“?”表示四元數(shù)相乘。

(8)

其中：符號(hào)“^”表示估計(jì)值。

為了避免姿態(tài)四元數(shù)范數(shù)的約束條件，用四元數(shù)的乘法來(lái)定義實(shí)際四元數(shù)與估計(jì)四元數(shù)間的誤差四元數(shù)為：

(9)

(10)

2.2 濾波狀態(tài)方程和量測(cè)方程

由于四元數(shù)4個(gè)參數(shù)中有一個(gè)是冗余量，這會(huì)導(dǎo)致在使用EKF進(jìn)行姿態(tài)估計(jì)時(shí)，狀態(tài)協(xié)方差矩陣產(chǎn)生奇異，因此，需要進(jìn)一步對(duì)系統(tǒng)做處理，使其降階。

因此，對(duì)式(9)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(11)

再對(duì)式(10)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(12)

將式(8)代入上式得:

(13)

則:

(14)

將以上所得代入式(11)可得誤差四元數(shù)的微分方程:

(15)

又因?yàn)?

(16)

將其帶入式(15)中整理可得：

(17)

又由于誤差四元數(shù)為小角度偏差量，可近似為:

(18)

則:

(19)

將式(18)帶入到式(6)中得：

(20)

又根據(jù)式(5)可得：

(21)

而:

(22)

則:

(23)

由陀螺測(cè)量的數(shù)學(xué)模型式(1)和(2)可得：

(24)

其中:

將上式代入式(19)中，有：

(25)

即:

(26)

由上式可以看出，誤差四元數(shù)自然降階為3個(gè)獨(dú)立變量，從而避免了因系統(tǒng)冗余而導(dǎo)致的系統(tǒng)協(xié)方差矩陣奇異問(wèn)題。

又由于在小偏差條件下有：

(27)

其中：ψ、θ、φ是按照Z(yǔ)-Y-X轉(zhuǎn)序定義的歐拉角，則將其代入方程(26)中可得：

(28)

由星敏感器的測(cè)量原理可知，星敏感器的估計(jì)輸出為:

(29)

其中:Δφ、Δθ、Δψ為姿態(tài)角估計(jì)誤差。定義星敏感器的測(cè)量殘差為星敏感器的測(cè)量值與估計(jì)值之差，即：

(30)

則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(31)

其中:

系統(tǒng)的量測(cè)測(cè)方程為:

(32)

2.3 EKF姿態(tài)確定算法

根據(jù)上面推導(dǎo)出的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，應(yīng)用EKF算法對(duì)航天器的姿態(tài)進(jìn)行估計(jì)和確定，其具體流程如下：

1)初始條件設(shè)定：

X(t0)=[06×1]P(t0)=P0

2)進(jìn)行濾波更新：

利用EKF算法的更新方程[7]進(jìn)行狀態(tài)更新和協(xié)方差更新，同時(shí)計(jì)算濾波增益。

(33)

式中,Φ(tk,tk+1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,Qtk為系統(tǒng)狀態(tài)噪聲矩陣，Rtk為系統(tǒng)觀測(cè)噪聲矩陣:

其中:Δt為濾波周期。

3)校正姿態(tài)四元數(shù)和陀螺漂移：

當(dāng)?shù)玫狡盍康墓烙?jì)值之后，真實(shí)狀態(tài)的估計(jì)值為：

(34)

(35)

由于姿態(tài)四元數(shù)只是在一階小量偏差的條件下滿足范數(shù)條件，狀態(tài)更新之后還需將其進(jìn)行范數(shù)歸一化處理：

(36)

4)回到步驟2)，進(jìn)行下一周期，重復(fù)以上步驟。

2.4 EKF姿態(tài)確定算法仿真計(jì)算及結(jié)果分析

表1 陀螺、星敏感器相關(guān)參數(shù)以及濾波初值

根據(jù)表1中的參數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，可得到以下結(jié)果：

圖1 姿態(tài)角確定誤差

圖2 姿態(tài)角速度確定誤差

圖3 陀螺漂移誤差

由上面的仿真結(jié)果曲線可以看出，在姿態(tài)穩(wěn)定之后，姿態(tài)角的確定誤差基本在10″左右，姿態(tài)角速度的確定誤差在1(＂/s)之內(nèi)，可滿足姿態(tài)確定的精度要求。同時(shí)，陀螺的常值漂移誤差在2×10-4(°/s)左右。

3 姿態(tài)確定中的精度分析

由于姿態(tài)確定系統(tǒng)由姿態(tài)敏感器硬件和姿態(tài)控制算法軟件兩部分組成，因此，影響姿態(tài)確定誤差的主要因素必然分為由硬件引起的誤差和由軟件引起的誤差兩部分構(gòu)成。

3.1 姿態(tài)敏感器對(duì)姿態(tài)確定精度的影響分析

由于本文采用的是基于陀螺和星敏感器組合進(jìn)行姿態(tài)確定的方法，因此，從星敏感器的測(cè)量精度、星敏感器的采樣頻率和陀螺的測(cè)量精度幾個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比分析，分別按照如下的條件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)：

Case1:僅改變星敏感器的測(cè)量精度，其余仿真條件不變，得到如表3所示的仿真結(jié)果；

Case2:僅改變星敏感器的采樣頻率，其余仿真條件不變，得到如表4所示的仿真結(jié)果；

Case3:僅改變陀螺的測(cè)量精度，其余仿真條件不變，得到如表5所示的仿真結(jié)果；

表3 星敏感器測(cè)量精度對(duì)姿態(tài)確定精度的影響

表4 星敏感器采樣頻率對(duì)姿態(tài)確定精度的影響

表5 陀螺測(cè)量精度對(duì)姿態(tài)確定精度的影響

從表3～表5的仿真結(jié)果可以看出：

1)星敏感器的測(cè)量精度越高，姿態(tài)確定的精度也越高，但是星敏感器的測(cè)量精度和姿態(tài)確定的精度并不成線性關(guān)系，當(dāng)測(cè)量精度到達(dá)一定范圍時(shí)，對(duì)航天器姿態(tài)確定精度的貢獻(xiàn)度將不再顯著。例如當(dāng)星敏感器的測(cè)量精度為24″時(shí)，姿態(tài)確定精度在20″左右，星敏感器測(cè)量精度在12″時(shí)，姿態(tài)確定精度在12″左右，而當(dāng)星敏感器測(cè)量精度在6″時(shí)，姿態(tài)確定精度在8″左右；

2)星敏感器的采樣頻率越高，姿態(tài)確定的精度也越。這是因?yàn)殡S著采樣頻率的增大，數(shù)據(jù)更新的速率加快，濾波器得到的校正信息增多，從而提高了濾波器的估計(jì)精度。同樣，這種增加也不是成線性關(guān)系的，例如當(dāng)星敏感器的采樣頻率為4 Hz時(shí)，姿態(tài)確定的精度在15″左右，采樣頻率為10 Hz時(shí)，姿態(tài)確定精度在10″左右，而當(dāng)采樣頻率為100 Hz時(shí)，姿態(tài)確定精度在5″左右；

3)姿態(tài)確定精度隨陀螺測(cè)量的精度和陀螺常值漂移精度的增加均增加，但是陀螺精度的影響遠(yuǎn)沒(méi)有常值漂移的精度影響顯著。

3.2 算法模型對(duì)姿態(tài)確定精度的影響分析

在建立濾波方程時(shí)，是否存在陀螺的漂移校正直接影響模型的誤差，下面對(duì)此進(jìn)行仿真：

Case4:考慮陀螺的漂移校正和不考慮陀螺的漂移校正進(jìn)行仿真，其仿真結(jié)果如表6所示。

表6 系統(tǒng)模型對(duì)姿態(tài)確定精度的影響

從表6的仿真結(jié)果可以看出：在系統(tǒng)模型中加入陀螺漂移的校正，對(duì)提高姿態(tài)確定精度有顯著的作用。

4 結(jié)束語(yǔ)

使用陀螺和星敏感器組合進(jìn)行航天器的姿態(tài)確定時(shí)，采用EKF算法可以實(shí)現(xiàn)較高的姿態(tài)確定精度；經(jīng)定量分析星敏感器的測(cè)量精度、采樣頻率、陀螺的常值漂移、測(cè)量精度、常值漂移精度和系統(tǒng)模型中有無(wú)陀螺漂移校正后，得到結(jié)論：為了使航天器姿態(tài)確定精度提高，可以采用高精度的星敏感器，增大星敏感器的采樣頻率，采用高精度的陀螺，但是這些因素只在一定范圍內(nèi)效果明顯，且提高敏感器的精度，會(huì)導(dǎo)致成本增大，因此，在工程實(shí)際中，應(yīng)綜合各種因素，折衷考慮。同時(shí)在進(jìn)行系統(tǒng)建模時(shí)對(duì)陀螺漂移進(jìn)行校正，可以明顯提高姿態(tài)確定精度。

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