，,

(1.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 咸陽 712000； 2.鄭州輕工業(yè)學(xué)院，鄭州 450052；3.深圳市元創(chuàng)興科技有限公司，廣東 深圳 518055)

0 引言

三維橋式吊車負(fù)載能力強(qiáng)、操作靈活，在工業(yè)與運(yùn)輸領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如貨運(yùn)碼頭、建筑工地、鐵路建設(shè)、鋼生產(chǎn)線等。但是，三維橋式吊車是一種典型的非線性、強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動系統(tǒng)，吊車在實(shí)際運(yùn)行過程中，不僅臺車的正常運(yùn)動會引起末端負(fù)載的頻繁擺動，由于慣性作用，臺車在做正常加減速運(yùn)動過程中也會引起末端負(fù)載的頻繁擺動，這在臺車的啟停兩個階段表現(xiàn)的尤為明顯，末端負(fù)載的頻繁擺動是非常危險(xiǎn)的，這也使其成為一種常見的安全隱患。當(dāng)前，一般是通過經(jīng)驗(yàn)豐富的工人來操縱吊車，在操作過程中，工人需要利用他們的經(jīng)驗(yàn)并通過其眼睛的實(shí)時觀測來估計(jì)臺車的當(dāng)前位置與末端負(fù)載擺動角度的大小，然后選擇合理的動作序列來快速抑制負(fù)載的擺動，并盡快將它運(yùn)送到指定位置[1]。

為了提高三維橋式吊車的自動化程度和安全性，設(shè)計(jì)一套合理的自動控制系統(tǒng)就很有必要了，但是要實(shí)現(xiàn)對吊車安全高效的控制還面臨著許多困難，因此，這類系統(tǒng)的控制已經(jīng)成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

1 三維橋式吊車系統(tǒng)的建模及仿真

本文研究主要基于元創(chuàng)興科技有限公司生產(chǎn)的硬件平臺REI-BC-3D，如圖1所示，該平臺根據(jù)真實(shí)三維橋式吊車系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，主要包括支撐框架、橋架、臺車以及負(fù)載，驅(qū)動裝置主要包括3臺直流伺服電機(jī)，它們分別負(fù)責(zé)為橋式吊車系統(tǒng)提供臺車沿方向運(yùn)動驅(qū)動力、臺車與橋架沿方向運(yùn)動的驅(qū)動力以及提升負(fù)載的卷軸驅(qū)動力，負(fù)載可以由支撐框架結(jié)構(gòu)空間中的任意起點(diǎn)運(yùn)動到任意終點(diǎn)。

圖1 三維橋式吊車硬件平臺及對應(yīng)模型坐標(biāo)系

1.1 根據(jù)牛頓力學(xué)定理建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型

將三維橋式吊車硬件平臺抽象簡化后建立對應(yīng)的模型空間坐標(biāo)系，如圖1所示。其中有五個是可以測量的量：xw表示臺車距導(dǎo)軌中心的距離(未在圖中標(biāo)出)；yw表示導(dǎo)軌距框架結(jié)構(gòu)中心的距離(未在圖中標(biāo)出)；R表示吊繩的長度；α表示x軸正方向與吊繩之間的夾角；β表示z軸負(fù)方向與吊繩所在平面在yz面上的投影之間的夾角。

模型坐標(biāo)系中其他符號意義如表1所示。

表1 三維橋式吊車模型坐標(biāo)系符號意義

選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是數(shù)學(xué)建模過程中的一個重要環(huán)節(jié)[2]。為了描述5個獨(dú)立的可測量變量，在坐標(biāo)系中我們用了兩種坐標(biāo)：笛卡爾坐標(biāo)和球面坐標(biāo)，它們的原點(diǎn)為同一點(diǎn)，正方向如圖1所示，其中，xw,yw為笛卡爾坐標(biāo)，決定了臺車的位置；α,β,R為球面坐標(biāo)，決定了重物的位置，它們之間的關(guān)系為：

(1)

系統(tǒng)采用加速度為輸入，根據(jù)牛頓第二定律有：

(2)

這里Sx,Sy,Sz分別表示重物對臺車在各個坐標(biāo)軸上的分力，有：

(3)

假設(shè)吊繩是柔性的且可伸展的：

即Sx(xc-xw)+Sy(yc-yw)+Szzc>0，又有S=FR-TR，結(jié)合式(3)，式(2)可變?yōu)椋?/p>

(4)

令：

(5)

則式(4)變?yōu)椋?/p>

(6)

將式(1)兩邊分別對t進(jìn)行二次求導(dǎo)，R為t的函數(shù)即R(t)，則有：

(7)

(8)

又令sn≡sinxn,cn≡cosxn，結(jié)合式(6)～(8)得到吊車系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述方程為：

(9)

其中：

(10)

由上可知，此時吊車系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述方程是非線性的，為了降低維度，接下來我們需要對其進(jìn)行近似線性化處理。

1.2 模型線性化解耦

三維橋式吊車控制目標(biāo)是：在運(yùn)動過程中盡量將系統(tǒng)控制在平衡點(diǎn)[0,0,0,0,0.5π,0,0,0,R,0]附近位置，且考慮到吊車在實(shí)際運(yùn)動過程中擺動幅度較小(擺動角度不超過10°)。因此，我們將系統(tǒng)在此平衡點(diǎn)處進(jìn)行近似線性化，這時：

(11)

將式(11)代入式(1)，然后結(jié)合式(2)～(8)得到吊車系統(tǒng)線性化后的狀態(tài)空間描述方程為：

(12)

令x=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8]T，y=x，u=[u1,u2]T，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述方程為：

(13)

A表示系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，B表示系統(tǒng)輸出矩陣，其中：

(14)

由式(14)可以看出三維橋式吊車系統(tǒng)在X方向與Y方向的狀態(tài)變量完全相互解耦，二者之間不存在相互影響，因此在X、Y方向可以分別采用相同的控制策略。解耦完成后的三維橋式吊車系統(tǒng)狀態(tài)空間描述方程為：

(15)

其中：

(16)

(17)

綜上所述，三維橋式吊車系統(tǒng)在其平衡點(diǎn)位置進(jìn)行線性化后，即簡化成線性定常系統(tǒng)，且系統(tǒng)在X、Y方向相互解耦，控制獨(dú)立，因此只要對任意一個方向進(jìn)行分析即可，此文中以X方向?yàn)槎ㄐ苑治龇较颉?/p>

根據(jù)現(xiàn)代控制理論可知，系統(tǒng)的可控性是最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)的前提，所以在對三維橋式吊車系統(tǒng)設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器之前，必須先進(jìn)行三維橋式吊車系統(tǒng)的可控性分析，根據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控性判據(jù)：

S=[B,AB,A2B,…AnB]

(18)

得：

rank(Bx,ABx,A2Bx,A3Bx)=4

(19)

系統(tǒng)可控性判斷矩陣的秩為4，剛好等于X方向的狀態(tài)變量(位移、速度、擺角、角速度)維數(shù), 根據(jù)系統(tǒng)可控性判斷理論依據(jù)可知系統(tǒng)是可控的，因此可以對三維橋式吊車系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。

1.3 LQR控制器設(shè)計(jì)

應(yīng)用經(jīng)典控制理論設(shè)計(jì)控制器能夠解決很多簡單系統(tǒng)(例如：單輸入單輸出系統(tǒng))的控制問題，但是對于實(shí)際遇到的許多復(fù)雜系統(tǒng)(例如：多輸入多輸出系統(tǒng)、階次較高的系統(tǒng))，往往得不到滿意的控制效果，這時就需要有在系統(tǒng)狀態(tài)空間模型下建立的最優(yōu)控制策略。

LQR (linear quadratic regulator)即線性二次型調(diào)節(jié)器，一般稱線性二次最優(yōu)控制器，屬于現(xiàn)代控制器范疇，是發(fā)展最早也最為經(jīng)典的一種最優(yōu)控制策略, LQR可得到系統(tǒng)狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制規(guī)律，可快速建立起系統(tǒng)最優(yōu)閉環(huán)控制模型。一般使用對象是以系統(tǒng)狀態(tài)空間方程表達(dá)的線性系統(tǒng)，而目標(biāo)函數(shù)為系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)輸入的二次型函數(shù)，LQR控制器設(shè)計(jì)也可以認(rèn)為就是在線性系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最小[3-5]。LQR控制器二次型目標(biāo)函數(shù)如下：

(20)

式中，Q表示衡量系統(tǒng)狀態(tài)量的權(quán)重矩陣，一般為正定或半正定對稱矩陣，R表示衡量系統(tǒng)輸入量的權(quán)重矩陣，一般為正定對稱矩陣。Q為狀態(tài)量的權(quán)陣，元素越大，意味著該變量在函數(shù)中越重要，要求目標(biāo)函數(shù)值最小，也就是說該狀態(tài)的約束要求最高。R為控制量的權(quán)陣，同樣，對應(yīng)的元素越大，這意味著，控制約束越大。U為尋求控制向量，U應(yīng)該使目標(biāo)函數(shù)值最小。根據(jù)極值原理，我們可以導(dǎo)出LQR控制器的最優(yōu)控制規(guī)律：

U=-R-1BTPx=-Kx

(21)

式中，K為最優(yōu)反饋增益矩陣，P為常值正定矩陣，P必須滿足黎卡夫(Ricatti)代數(shù)方程：

PA+ATP-PBR-1BP+Q=0

(22)

因此LQR控制器設(shè)計(jì)歸結(jié)于求解黎卡夫方程，并求解出反饋增益矩陣K。

Matlab 的應(yīng)用為LQR 控制器設(shè)計(jì)與仿真提供了條件，在Matlab控制工具箱中，已經(jīng)包含了求解二次型最優(yōu)控制的函數(shù)，其調(diào)用格式為:

K=lqr(A,B,Q,R)

(23)

當(dāng)三維橋式吊車系統(tǒng)受到外部干擾而處于擾動狀態(tài)并導(dǎo)致負(fù)載大范圍偏離系統(tǒng)原平衡位置時，則要求系統(tǒng)具備自我調(diào)節(jié)能力，能快速消除外部干擾，并求出使其保持平衡狀態(tài)的最優(yōu)控制輸入量，即為三維橋式吊車系統(tǒng)最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)問題。

對于三維橋式吊車系統(tǒng)來說，因?yàn)橄到y(tǒng)狀態(tài)矩陣A和系統(tǒng)輸出矩陣B在上一節(jié)已經(jīng)確定，而K由權(quán)重矩陣Q與R唯一決定，故此Q、R的選擇尤為重要，所以只要選定了相應(yīng)的Q、R兩個權(quán)重矩陣，反饋增益矩陣K即可得出。

在LQR控制器設(shè)計(jì)中，一般將衡量輸入量的權(quán)重矩陣R取為R=[1]，為了滿足正定的要求，并針對三維橋式吊車系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)例，衡量狀態(tài)量權(quán)重矩陣Q選為如下形式：

Q=diag(Q1,Q2,Q3,Q4)

(24)

式中,Q1、Q2、Q3、Q4四個元素分別表示臺車位移權(quán)重、臺車速度權(quán)重、負(fù)載擺動角度權(quán)重、負(fù)載擺動角速度權(quán)重。選取不同的元素值并計(jì)算。

在Matlab Command窗口編寫LQR控制器反饋增益矩陣K的計(jì)算程序, 在此以X方向?yàn)槔?，?jì)算代碼如下：

clc;

R=0.56; % the length of the rope;

g=9.81; % the acceleration of the gravity

Ax= [0 1 0 0;

0 0 0 0;

0 0 0 1;

0 0 -g/R 0];

Bx= [0;1;0;-1/R];

R=[1];

Q=diag ([1 2 1 5]);

K=lqr (Ax,Bx,Q,R);

為了取得更好的控制效果，需根據(jù)仿真結(jié)果多次調(diào)整衡量狀態(tài)量的權(quán)重矩陣Q，仔細(xì)觀察矩陣Q在選取不同元素值情況下系統(tǒng)控制性能的變化并記錄。

1.4 LQR控制器仿真與分析

Simulink是Matlab軟件中的重要組件，是一個基于控制模型設(shè)計(jì)的框圖環(huán)境，只需將系統(tǒng)功能模塊連接，構(gòu)成所需要的控制系統(tǒng)模型，就可以快速進(jìn)行仿真與分析實(shí)驗(yàn)，為控制器的設(shè)計(jì)提供了很大的便利。

根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)反饋增益矩陣K在Simulink環(huán)境下搭建三維橋式吊車系統(tǒng)仿真模型如圖2所示。

圖2 三維橋式吊車LQR控制仿真模型

將三維橋式吊車系統(tǒng)X方向狀態(tài)空間方程輸入到模型中，然后將反饋增益矩陣K對應(yīng)輸入到LQR控制器模塊，即可開始仿真實(shí)驗(yàn)。仿真終止時，打開系統(tǒng)響應(yīng)示波器觀察響應(yīng)曲線。

當(dāng)計(jì)算得到的反饋增益矩陣K=[1.076，-2.0648，4.258，-2.1564]時，仿真結(jié)果如圖3所示。

其中橫坐標(biāo)表示響應(yīng)時間。

圖3 三維橋式吊車LQR控制仿真結(jié)果1

響應(yīng)曲線表明：在給定一定干擾后，吊車系統(tǒng)超調(diào)過大，調(diào)整時間過長，而且存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，仿真結(jié)果說明此反饋增益矩陣K對系統(tǒng)控制效果不佳，需要根據(jù)約束條件重新調(diào)整權(quán)重矩陣Q并重新計(jì)算優(yōu)化以后的K。

當(dāng)計(jì)算得到的反饋增益矩陣K=[2.055，-3.0392，2.3976，-3.1374]時，優(yōu)化后的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 優(yōu)化后的三維橋式吊車LQR控制仿真結(jié)果

優(yōu)化后的響應(yīng)曲線表明：吊車系統(tǒng)在同樣的干擾情況下，可以在較短時間內(nèi)收斂并達(dá)到新的平衡狀態(tài)，而且穩(wěn)態(tài)誤差很小，仿真結(jié)果說明此反饋增益矩陣K具有較好的控制效果。

2 系統(tǒng)控制程序設(shè)計(jì)

三維橋式吊車系統(tǒng)采用PC機(jī)+運(yùn)動控制器的控制架構(gòu)，PC機(jī)周期性從運(yùn)動控制器中讀取位置編碼器和擺角編碼器反饋數(shù)據(jù)，然后將原始硬件數(shù)據(jù)(脈沖信號)轉(zhuǎn)換并計(jì)算出各個狀態(tài)變量，經(jīng)過其上運(yùn)行的控制算法計(jì)算出最優(yōu)控制量，并將控制量通過以太網(wǎng)通訊協(xié)議發(fā)送給運(yùn)動控制器，運(yùn)動控制器對控制量進(jìn)行指令解析與運(yùn)動規(guī)劃并產(chǎn)生相應(yīng)的控制信號發(fā)送給伺服驅(qū)動器，伺服驅(qū)動器對控制信號進(jìn)行放大并驅(qū)動對應(yīng)伺服電機(jī)轉(zhuǎn)動，帶動各軸運(yùn)動，最后實(shí)現(xiàn)三維橋式吊車的定位與防擺閉環(huán)控制。三維橋式吊車控制原理如圖5所示。

圖5 三維橋式吊車控制原理框圖

三維橋式吊車實(shí)時控制程序首先要初始化運(yùn)動控制器并進(jìn)行連接，保證控制程序與運(yùn)動控制器的正常通訊，完成以后啟動多媒體定時器(定時精度可達(dá)毫秒級)，開始進(jìn)入定時器中斷服務(wù)函數(shù)，三維橋式吊車系統(tǒng)控制周期設(shè)定為10 ms(經(jīng)驗(yàn)值)，也就是說，在這10 ms時間內(nèi)，中斷服務(wù)函數(shù)必須依次完成：讀取X、Y兩個方向的位置編碼器和擺角編碼器脈沖信號；根據(jù)脈沖當(dāng)量(涉及編碼器分辨率、減速器減速比、運(yùn)動控制器倍頻數(shù)等硬件參數(shù)計(jì)算)將脈沖信號分別轉(zhuǎn)換成臺車位移、負(fù)載擺動角度；通過差分求導(dǎo)方式對X、Y兩個方向臺車位移和負(fù)載擺動角度進(jìn)行求導(dǎo)，得到臺車運(yùn)動速度和負(fù)載擺動角速度；最后根據(jù)所采用控制算法轉(zhuǎn)換而成的控制量計(jì)算公式分別計(jì)算X、Y兩個方向的控制量并單獨(dú)下發(fā)等任務(wù)。

根據(jù)上述控制流程描述設(shè)計(jì)三維橋式吊車系統(tǒng)實(shí)時控制程序流程圖如圖6所示。

圖6 三維橋式吊車實(shí)時控制程序流程圖

為了減少程序代碼編寫的工作量并增強(qiáng)控制程序的可觀性，可以采用Simulink進(jìn)行流程式實(shí)時控制程序的設(shè)計(jì)，此方法最大的難點(diǎn)就是要用戶自己建立起控制系統(tǒng)模型與硬件設(shè)備的接口函數(shù)，包括反饋的快速采集函數(shù)與控制量的精確執(zhí)行函數(shù)等，而Simulink中提供的S函數(shù)可以很好地完成這類工作，S函數(shù)是System Function的簡稱，用C或C++等高級語言編寫的S函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)對硬件端口的操作[4,6-7]。

首先根據(jù)控制程序流程圖在Simulink中建立三維橋式吊車控制系統(tǒng)模型，對于涉及與運(yùn)動控制器進(jìn)行數(shù)據(jù)交互的模塊則全部采用S函數(shù)實(shí)現(xiàn)，主要包括運(yùn)動控制器初始化模塊、編碼器值讀取模塊、控制量下發(fā)模塊。

運(yùn)動控制器初始化模塊S函數(shù)部分代碼如下：

//打開運(yùn)動控制器

Connected=DMCOpen(nControllerIndex,NULL,&m_hDmc);

if(Connected){

//連接控制器失敗

ssSetErrorStatus(S, "Connect Controller failed!");

return;}

sprintf(szCommandStr,"CW,1;CE0,0,0;MT1,1,1;KP4,4,4;KI0,0,0;KD20,20,20 ");//設(shè)置運(yùn)動控制器控制模式為速度模式

DMCCommand(m_hDmc,szCommandStr,szReplay,sizeof(szReplay));

//編碼器計(jì)數(shù)清零并上伺服

sprintf(szCommandStr,"DP0,0,0,0;DE0,0,0,0;SH ");

DMCCommand(m_hDmc,szCommandStr,szReplay,sizeof(szReplay));

控制量下發(fā)模塊S函數(shù)部分代碼如下：

*y1 = ssGetOutputPortRealSignal(S,0);

InputRealPtrsType uPtrs = ssGetInputPortRealSignalPtrs(S,0);

InputRealPtrsType uPtrs1= ssGetInputPortRealSignalPtrs(S,1);

v= *uPtrs[0];

m_hDmc=*uPtrs1[0];

//控制量單位轉(zhuǎn)換

acc = (long)(fabs(v)*1000*4*20/(48*5.08/1000));

if(v < 0) vel = -1000000;//極限速度

if(v > 0) vel = 1000000;//極限速度

if(v== 0) vel = 0;

sprintf(szCommandStr,"ACX=%ld;DCX=%ld;JGX=%ld;BGX ",(long)acc,(long)acc,(long)vel);//下發(fā)控制量

DMCCommand(m_hDmc,szCommandStr,szReplay,sizeof(szReplay));

編寫完成后的控制程序界面如圖7所示。該程序可以直接對三維橋式吊車系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時控制，達(dá)到定位及防擺的實(shí)驗(yàn)效果。

圖7 三維橋式吊車Simulink控制程序界面

3 結(jié)語

本文首先詳細(xì)闡述了三維橋式吊車系統(tǒng)建模及仿真，包括應(yīng)用牛頓力學(xué)定理建立系統(tǒng)動力學(xué)模型，對系統(tǒng)狀態(tài)空間描述方程進(jìn)行線性解耦，解耦后證明三維橋式吊車控制問題實(shí)質(zhì)是X、Y兩個方向的控制問題，即可以看成是兩個龍門吊車的運(yùn)動過程，大大簡化了控制難度，然后以現(xiàn)代控制理論為理論依據(jù)，對吊車系統(tǒng)進(jìn)行可控性分析，隨后根據(jù)系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)經(jīng)典的線性二次型最優(yōu)控制器，并在Simulink環(huán)境下對控制器進(jìn)行仿真，對仿真結(jié)果進(jìn)行觀察和分析，最后使用C++與MATLAB混合編程技術(shù)設(shè)計(jì)控制程序?qū)ο到y(tǒng)進(jìn)行真實(shí)的控制實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了三維橋式吊車的固定擺長與變擺長快速防擺控制，非常直觀地感受設(shè)計(jì)的控制器的控制性能。

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