田社平， 張 峰(上海交通大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)院,上海 200240)

0 引 言

正弦穩(wěn)態(tài)電路最大功率傳輸定理是電路理論或電路分析課程的重要教學(xué)內(nèi)容之一，它指出了電路在正弦激勵(lì)下負(fù)載獲取最大功率的條件[1-4]。在電路實(shí)際應(yīng)用中，常常也存在非正弦周期激勵(lì)的情況，如在傳感器應(yīng)用電路中，傳感器的輸出將包含各種正弦成分的非電量(如振動(dòng))轉(zhuǎn)換為電量(如電壓)，此時(shí)可將傳感器看作非正弦周期激勵(lì)的電源[5-6]。由于多頻率電源激勵(lì)下，負(fù)載阻抗隨頻率發(fā)生變化，因此，很難推導(dǎo)最大功率條件的一般解析表達(dá)式，一般都通過數(shù)字仿真的方法來進(jìn)行測試[7]。而要設(shè)計(jì)多頻率激勵(lì)下的最大功率匹配負(fù)載，所列寫的參數(shù)方程均為復(fù)雜的非線性方程，很難直接求解。

為此，本文采用遺傳算法，搜索負(fù)載可能吸收的最大功率，當(dāng)該功率達(dá)到匹配的最大功率，則此時(shí)的元件參數(shù)即為最大功率匹配負(fù)載的元件參數(shù)。以3個(gè)不同頻率激勵(lì)時(shí)的最大功率傳輸問題為例，討論遺傳算法在最大功率匹配負(fù)載設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，使得負(fù)載所獲得的功率正好等于電源各諧波分量單獨(dú)作用時(shí)負(fù)載所獲得的最大功率之和。仿真實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果表明，采用遺傳算法進(jìn)行最大功率匹配負(fù)載的元件參數(shù)設(shè)計(jì)，可以得到理想的結(jié)果。

1 非正弦周期穩(wěn)態(tài)下的最大功率匹配

當(dāng)線性非時(shí)變電路在多頻率正弦激勵(lì)下達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，負(fù)載所吸收的功率等于每一個(gè)頻率正弦激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)負(fù)載所吸收的功率之和。由此，可得到下述結(jié)論：非正弦周期穩(wěn)態(tài)下負(fù)載所吸收的功率至多等于電源各諧波分量單獨(dú)作用時(shí)負(fù)載所獲得的最大功率之和。當(dāng)負(fù)載所吸收的功率等于各諧波分量單獨(dú)作用時(shí)負(fù)載所獲得的最大功率之和時(shí)，稱此時(shí)的負(fù)載為最大功率匹配。

以圖1所示的電源電路[7]為例進(jìn)行討論。不失一般性，假設(shè)u(t)的表達(dá)式為

(1)

式中：ω1=1 rad/s；ω2=2 rad/s；ω3=3 rad/s。

圖1 含多個(gè)頻率激勵(lì)的單口網(wǎng)絡(luò)

可求出在3個(gè)頻率下的電源等效阻抗分別為

(2)

如果某一負(fù)載在上述3個(gè)頻率下的阻抗分別為

(3)

則負(fù)載在上述3個(gè)頻率激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)時(shí)分別獲得最大功率，即

(4)

由此可求得負(fù)載在最大功率匹配時(shí)所獲得的最大功率為

PLmax=PLmax1+PLmax2+PLmax3=56.25 W

(5)

2 最大功率匹配負(fù)載的設(shè)計(jì)

下面以圖1所示電源為例說明在u(t)[見式(1)]作用下最大功率匹配負(fù)載的設(shè)計(jì)。

2.1 負(fù)載電路形式的選取

負(fù)載電路形式可采用不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。由于電源中包含電感元件，因此負(fù)載要獲得更大的功率，則負(fù)載應(yīng)為容性負(fù)載[8,9]。一種可能的負(fù)載電路形式如圖2所示，其中的1 Ω電阻與圖1電路中的1 Ω電阻對應(yīng)，支路ab與圖1電路中的1H電感對應(yīng)。

圖2 可能的最大功率匹配負(fù)載

2.2 最大功率匹配條件

圖2所示負(fù)載的阻抗為

ZL(jω)=

(6)

(7)

由式(7)可知，最大功率匹配負(fù)載的元件參數(shù)受到3個(gè)方程的約束，而未知的元件參數(shù)有5個(gè)，這說明式(7)可有無窮多解。同時(shí)，由于方程均為非線性方程，故對式(7)無論求解析解，還是求數(shù)值解，都是非常困難的。

為此，可采用最優(yōu)化方法來搜索最大功率匹配時(shí)的負(fù)載元件參數(shù)值。其基本思路為：對搜索到的元件參數(shù)值，計(jì)算負(fù)載獲得的功率，如果所獲得的功率達(dá)到最大功率(即56.25 W)，則此時(shí)的元件參數(shù)值就是最大功率匹配負(fù)載的元件參數(shù)值。

2.3 遺傳算法的應(yīng)用

采用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法如牛頓法、梯度法等，并不能很好地解決上述問題，這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)優(yōu)化算法必須首先給定初始值。而初始值很難正確選取，從而使算法收斂到局部最優(yōu)值。采用現(xiàn)代優(yōu)化算法如遺傳算法，則可避免上述問題，得到全局最優(yōu)解。

遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)是以自然選擇和遺傳理論為基礎(chǔ)，將生物進(jìn)化過程中適者生存規(guī)則與群體內(nèi)部染色體的隨機(jī)信息交換機(jī)制相結(jié)合的高效全局尋優(yōu)搜索算法。GA摒棄了傳統(tǒng)的搜索方式，模擬自然界生物進(jìn)化過程，采用人工進(jìn)化的方式對目標(biāo)空間進(jìn)行隨機(jī)優(yōu)化搜索。它將問題域中的可能解看作是群體的一個(gè)個(gè)體或染色體，并將每一個(gè)個(gè)體編碼成符號串形式，模擬達(dá)爾文的遺傳選擇和自然淘汰的生物進(jìn)化過程，對群體反復(fù)進(jìn)行基于遺傳學(xué)的操作(遺傳、交叉、變異)。根據(jù)預(yù)定的目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)對每個(gè)個(gè)體進(jìn)行評價(jià)，并據(jù)適者生存、優(yōu)勝劣汰的進(jìn)化原則，不斷得到更優(yōu)的群體，同時(shí)以全局并行搜索方式來搜索優(yōu)化群體中的最優(yōu)個(gè)體，以求得滿足要求的最優(yōu)解[10-12]。

現(xiàn)在已經(jīng)有各種成熟的GA工具箱可資利用，如Matlab軟件自帶的全局優(yōu)化工具箱中就包含GA優(yōu)化函數(shù)ga()。對應(yīng)用而言，最主要的是構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)。這里，適應(yīng)度函數(shù)可取負(fù)載獲取的功率，對圖2電路，取適應(yīng)度函數(shù)為

(8)

設(shè)定元件參數(shù)C1、C2、C3、L1、L2的搜索值范圍均為0～10(單位為F或H)，運(yùn)行GA可得到多組最大功率匹配時(shí)的元件參數(shù)值，表1給出了部分計(jì)算結(jié)果。

表1 3頻率情況部分設(shè)計(jì)結(jié)果

值得指出的是，GA屬于概率算法，即該算法以概率1收斂到全局最優(yōu)值。因此在實(shí)際運(yùn)行算法時(shí)，有可能計(jì)算結(jié)果并非最優(yōu)值，此時(shí)只須觀察最優(yōu)適應(yīng)度值是否為56.25來判斷結(jié)果的最優(yōu)性。

3 仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

將表1中的各組設(shè)計(jì)值代入式(7)，可知各組參數(shù)均滿足式(7)，這說明設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果是正確的。

除此之外，還可對表1中的計(jì)算結(jié)果采用Multisim電路仿真軟件進(jìn)行驗(yàn)證[13-15]。本文所采用的版本為13.0。仿真電路圖及功率表讀數(shù)結(jié)果如圖3所示。圖中元件參數(shù)分別取表1中的第一組數(shù)據(jù)。仿真結(jié)果表明，在穩(wěn)態(tài)時(shí)功率表的讀數(shù)為56.25 W，說明所設(shè)計(jì)的負(fù)載電路滿足最大功率匹配條件。值得指出的是，由于激勵(lì)的頻率非常小，只有零點(diǎn)幾Hz，在仿真時(shí)，讀數(shù)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的時(shí)間較長，且功率表的顯示值在理論值附近有輕微的波動(dòng)。

圖3 實(shí)驗(yàn)仿真電路及結(jié)果

4 結(jié) 語

非正弦穩(wěn)態(tài)周期電路的功率計(jì)算有其特殊性，一方面，很難通過推導(dǎo)得到通用的適用于任意多個(gè)頻率激勵(lì)的相關(guān)公式，另一方面，激勵(lì)的各諧波分量產(chǎn)生的功率并不影響其他諧波分量產(chǎn)生的功率，這簡化了非正弦穩(wěn)態(tài)周期電路最大功率傳輸問題的分析。本文以三個(gè)頻率激勵(lì)下最大功率匹配負(fù)載設(shè)計(jì)為例，討論了GA的應(yīng)用，取得了理想的效果。在具體應(yīng)用時(shí)還應(yīng)注意：

(1) 正確選取負(fù)載的電路形式是成功應(yīng)用本文方法的關(guān)鍵。從理論上講，負(fù)載的電路形式可以多種多樣，這給設(shè)計(jì)帶來一定的困難。但是，即便所選取的電路形式并非是與最大功率匹配的，也可采用本文的方法計(jì)算出在該電路形式下獲得最大功率所對應(yīng)的一組

元件參數(shù)值，以便應(yīng)用于實(shí)際電路的設(shè)計(jì)。因此，本文的方法具有較好的普遍適用性。

(2) 由于所有元件參數(shù)值都應(yīng)取正值，因此其下限可取零或合適的較小數(shù)。而參數(shù)值的上限則可通過試算而得，如可先取較大值，再根據(jù)初步計(jì)算結(jié)果予以適當(dāng)調(diào)整。

(3) GA本身在運(yùn)行還必須進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，如初始種群數(shù)、交叉概率、變異概率、最大進(jìn)化代數(shù)等。這些參數(shù)可采用默認(rèn)值或經(jīng)驗(yàn)值。

(4) 盡管本文僅討論了三個(gè)頻率激勵(lì)下最大功率匹配負(fù)載設(shè)計(jì)問題，但本文的思路和方法完全可以適用于多個(gè)頻率下最大功率匹配負(fù)載的設(shè)計(jì)。

參考文獻(xiàn)(References)：

[1] ALEXANDER C K，SADIKU M N O. Fundamental of Electric Circuits[M]. 5th ed. New York: McGraw-Hill Inc.，2013.

[2] 田社平. 電路理論基礎(chǔ)[M]. 上海：上海交通大學(xué)出版社. 2016.

[3] 李瀚蓀.簡明電路分析基礎(chǔ)[M]. 北京：高等教育出版社，2002.

[4] Nilsson J W，Riedel S A. Electric Circuits[M]. 7th ed. New Jersey: Prentice Hall，2005.

[5] 李醒飛. 測控電路[M]. 5版. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2016.

[6] 張國雄. 測控電路[M]. 4版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社, 2011.

[7] 曹倩玉，劉子溪，范詩辰,等. 多頻率電源下的最大功率傳輸問題研究[J]. 實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理，2014，31(5)：58-60.

[8] 顏秋容．實(shí)現(xiàn)最大功率傳輸?shù)淖杩棺儞Q方法研究[J]. 電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2011，33(3)：40-44.

[9] 田社平，陳洪亮. 關(guān)于正弦穩(wěn)態(tài)功率傳輸?shù)挠懻揫J]. 電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2008，30(6)：7-9.

[10] 玄光男，陳潤偉．遺傳算法與工程優(yōu)化[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2003.

[11] 周 明，孫樹棟.遺傳算法原理及應(yīng)用[ M] . 北京:國防工業(yè)出版社，1999.

[12] B?ck T, Hoffmeister F. Extended selection mechanisms in genetic algorithms[C]//Proceedings of the Fourth International Conference on Genetic Algorithms. San Mateo, California, USA: Morgan Kaufmann Publishers, 1991: 92-99.

[13] 張 壹，羊 森，武子云. Multisim13在電路基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 實(shí)驗(yàn)室科學(xué)，2016，19(1)：66-67.

[14] 付 揚(yáng). Multisim仿真在電工電子實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J]. 實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2011，30(4): 120-122.

[15] 劉 君，楊曉蘋，呂聯(lián)榮，等. Multisim 11在模擬電子技術(shù)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J]. 實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2013，32(2): 95-98.