張義靈， 李 潔， 梁冬梅， 羅志榮(玉林師范學(xué)院 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院， 廣西 玉林 537000)

0 引 言

在水平面上受穩(wěn)定約束(即彈簧一端固定不動(dòng))的自由振動(dòng)彈簧振子模型，是由一個(gè)實(shí)心小球和一輕質(zhì)彈簧構(gòu)成，是力學(xué)中不可積系統(tǒng)的重要模型[1-2]。文獻(xiàn)[3]中對(duì)不同控制參數(shù)和初始擺角的彈簧擺運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究，表明當(dāng)控制參數(shù)頻率比改變時(shí)，彈簧擺的運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[4]中對(duì)懸掛點(diǎn)在水平方向作勻速或勻變速直線運(yùn)動(dòng)的彈簧擺(即受不穩(wěn)定約束彈簧擺)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析和研究，結(jié)果表明受不穩(wěn)定約束彈簧擺的運(yùn)動(dòng)比受穩(wěn)定約束時(shí)的運(yùn)動(dòng)更為復(fù)雜。文獻(xiàn)[5]中從不同條件下單擺的自由振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)在大角度擺動(dòng)時(shí)，該系統(tǒng)作非線性運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[6-7]中均是研究在水平面上受穩(wěn)定約束的彈簧振子運(yùn)動(dòng)模型，發(fā)現(xiàn)當(dāng)初速度較小時(shí)，彈簧振子在水平面上的運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[8-10]中的研究主要集中在2個(gè)或2個(gè)以上的彈簧振子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，都表明了其振動(dòng)的復(fù)雜性。

上述文獻(xiàn)主要從不同角度研究了彈簧擺及彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，但是對(duì)于水平面上受不穩(wěn)定約束(即彈簧一端可以移動(dòng))的彈簧振子運(yùn)動(dòng)的研究尚未見(jiàn)報(bào)道。鑒于此，本文運(yùn)用Matlab GUI[11-16]對(duì)在水平面上受不穩(wěn)定約束的彈簧振子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，通過(guò)設(shè)計(jì)GUI進(jìn)行數(shù)值模擬，作出系統(tǒng)的演化曲線、相圖以及運(yùn)動(dòng)軌跡，直觀地研究彈簧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

1 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

如圖1所示，在水平面上受不穩(wěn)定約束的彈簧振子模型，是由一個(gè)輕質(zhì)彈簧和一個(gè)大密度的實(shí)心小球構(gòu)成，其中彈簧的勁度系數(shù)為k，原長(zhǎng)為l；球的質(zhì)量為m，直徑忽略不計(jì)，視為質(zhì)點(diǎn)。在水平面上建立直角坐標(biāo)系，分別令彈簧自由伸長(zhǎng)點(diǎn)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)小球所在的水平面為零重力勢(shì)能面，質(zhì)點(diǎn)小球的坐標(biāo)為(x,y)。彈簧與x軸的夾角為θ0，其一端與x軸交于點(diǎn)A，另一端連接小球。在時(shí)間t=0時(shí)刻靜止釋放小球(初速度為0)，同時(shí)使點(diǎn)A以速度v開始沿x軸無(wú)摩擦向右作勻速直線運(yùn)動(dòng)，求彈簧振子的運(yùn)動(dòng)情況。

圖1 水平面上受不穩(wěn)定約束的彈簧振子示意圖

該系統(tǒng)為保守系統(tǒng),其拉格朗日方程可以表述為[1,7]

(1)

系統(tǒng)的動(dòng)能T和勢(shì)能V分別為：

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

(4)

將式(4)代入式(1)，其中q1=x，q2=y，則系統(tǒng)在直角坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)方程為：

(5)

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的求解

為方便數(shù)值計(jì)算，對(duì)式(5)進(jìn)行降階處理。定義4個(gè)列向量矩陣y=[y1y2y3y4]，設(shè)y1=x，y2=dx/dt，y3=y，y4= dy/dt，化為一階微分方程組：

(6)

本文運(yùn)用Matlab中ode 45指令求解非剛性的常微分方程(ODE)式(6)，求解語(yǔ)句如下：

[t,y]=ode45('zysfun',[0:0.01:str2num(get(handles.tfinal,'string'))],y0,[],k,m,l,v)

其中：zysfun為系統(tǒng)的子函數(shù)文件名，步長(zhǎng)為0.01，tfinal為模擬時(shí)間結(jié)束點(diǎn)；y0為初始條件矢量，k,m,l,v為運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

根據(jù)式(6)，將系統(tǒng)的微分方程表示為odefun函數(shù)的編寫形式，其程序語(yǔ)句如下：

functionydot=zysfun(t,y,flag,k,m,l,v)

ydot=[y(2);-k/m*(y(1)-v*t)*(1-l/sqrt((y(1)-v*t)^2+y(3)^2));y(4); -k/m*y(3)*(1-l/sqrt((y(1)-v*t)^2+

y(3)^2));]

并保存為zysfun.m文件。在t=0 s時(shí)，小球初速度為零，矩陣y的初值y0= [y10y30]，其中y1、y3為小球x方向、y方向上的初始位置。

3 系統(tǒng)GUI設(shè)計(jì)思想

圖2為在水平面上受不穩(wěn)定約束彈簧振子的GUI初始界面設(shè)計(jì)。

圖2 GUI初始界面設(shè)計(jì)

運(yùn)用可視化界面探究該系統(tǒng)，具體操作步驟如下：① 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，靜止釋放小球，同時(shí)點(diǎn)A沿x軸作勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用拉格朗日方程建立直角坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程；② 根據(jù)第①步的分析，完成設(shè)置控制區(qū)域的編輯框、靜態(tài)文本框以及對(duì)Push Button按鈕編寫Callback(回調(diào)函數(shù))；③ 在已知運(yùn)動(dòng)參數(shù)以及模擬時(shí)間的情況下，運(yùn)行GUI，通過(guò)點(diǎn)擊“計(jì)算”按鈕，激活其他按鈕；點(diǎn)擊“曲線”按鈕，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)情況以曲線形式展現(xiàn)；點(diǎn)擊“保存數(shù)據(jù)”按鈕，計(jì)算結(jié)果輸出并保存在Excel文件；④ 最后通過(guò)給定的初始條件，輸入不同的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，觀察分析得出不同情況下彈簧振子運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。

4 仿真系統(tǒng)演示界面

在簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)普遍定義中，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程式為[1]

(7)

式中，頻率ω0=k/m。由式(5)和(7)可知，ω0取決于彈簧的勁度系數(shù)k和小球質(zhì)量m。在k和m的值一定時(shí)，研究彈簧振子在不同初始條件下的運(yùn)動(dòng)情況。

在該系統(tǒng)體系下，選取k=1 N/m，m=0.2 kg，l=1 m，模擬時(shí)間取50 s，步長(zhǎng)為0.01，當(dāng)初始角度較小(θ0=5°)和較大(θ0=75°)時(shí)，初始條件分別為y0=[0.996 0 0.087 0]和[0.259 0 0.966 0]。當(dāng)速度分別取較小(v=0.6 m/s)和較大(v=10.2 m/s)值時(shí)，彈簧振子運(yùn)動(dòng)的情況如圖3和圖4所示。

(a) θ0=5°

(b) θ0=75°

在圖3 (a)中，當(dāng)速度(v=0.6 m/s)和初始角度(θ0=5°)都較小時(shí)，由x方向相圖、x-t曲線可見(jiàn)，彈簧振子在沿x方向上作準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，振幅隨橫坐標(biāo)時(shí)間t作周期性變化的振動(dòng)，與“拍”現(xiàn)象相似，其特征為：圖中上、下兩部分的峰不對(duì)稱，其中上半部分的峰寬度大，而下半部分的峰較尖銳；從y方向相圖、y-t曲線可知，彈簧振子在y方向也作準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，同時(shí)可以看到一個(gè)有趣的現(xiàn)象，以坐標(biāo)(0.087,0)為起點(diǎn)，在0～1.307 1 m之間，先向右作半徑逐漸增大的螺旋式運(yùn)動(dòng)到右端點(diǎn)，然后再向左作半徑逐漸減小的螺旋式運(yùn)動(dòng)回到起點(diǎn)附近坐標(biāo)(0.047,0.013 4)處，這樣一個(gè)螺旋式來(lái)回準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)；從x-y軌跡圖可知，彈簧振子在二維空間作類似于正弦圖像的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。而當(dāng)初始角度較大(θ0=75°)時(shí)，通過(guò)觀察圖3(b)可知，x方向相圖無(wú)明顯特征；在x-t和y-t曲線上的幅度波動(dòng)較大，得到的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)規(guī)則變化，彈簧振子在二維空間不再作準(zhǔn)周期性運(yùn)動(dòng)。但觀察y方向相圖可知，彈簧振子在y方向仍作準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。

(a) θ0=5°

(b) θ0=75°

圖4為速度較大(v=10.2 m/s)時(shí)的模擬圖，通過(guò)觀察圖4(a)，當(dāng)θ0=5°時(shí)，由x方向相圖、x-t曲線可知，彈簧振子在x方向上仍作準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，但相對(duì)于“拍”現(xiàn)象不太明顯，其特征與v、θ0較小時(shí)相類似；由y方向相圖、y-t曲線可知，彈簧振子在沿y方向作類似于“旋渦”運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)形式為以小中心口為起點(diǎn)，而后半徑逐漸增大；但觀察x-y運(yùn)動(dòng)軌跡圖可得，彈簧振子在二維空間作準(zhǔn)周期性運(yùn)動(dòng)，其特征變化與“拍”現(xiàn)象相似。當(dāng)θ0=75°時(shí)，通過(guò)觀察圖4 (b)可知，彈簧振子在二維空間仍作準(zhǔn)周期性運(yùn)動(dòng)，其中在x方向相圖與x-y軌跡圖上，“拍”現(xiàn)象明顯，而在y方向相圖上，其運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)則是復(fù)雜的閉合曲線，作準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。

由圖3和圖4的分析可得，在θ0、v較小時(shí)，彈簧振子在二維空間作類似于正弦的準(zhǔn)周期性運(yùn)動(dòng)，而在v較小，θ0較大時(shí)，彈簧振子將不再作準(zhǔn)周期性運(yùn)動(dòng)；在v較大時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)情況受初始角度θ0的影響較小，仍然在二維空間作單一的半徑增大螺旋式準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)；通過(guò)比較分析圖3(a)和4(a)可知，在θ0較小時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)受速度影響較小，均作準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)；比較圖3(b)和4(b)可得：在θ0較大時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)受速度影響較大。

5 結(jié) 語(yǔ)

本文利用拉格朗日方程推導(dǎo)出在水平面上受不穩(wěn)定約束彈簧振子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，運(yùn)用Matlab GUI對(duì)彈簧振子運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行仿真。在水平面上彈簧一端作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)情況較為復(fù)雜，彈簧振子運(yùn)動(dòng)與彈簧一端的速度大小和初始角度有關(guān)；在一定條件下，系統(tǒng)在二維空間作準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。由于篇幅的限制以及系統(tǒng)振動(dòng)的復(fù)雜性，本文只考慮了彈簧一端作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)不同初始角度下的彈簧振子運(yùn)動(dòng)情況，但如果考慮在不同初始條件下彈簧一端作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，那么彈簧振子的運(yùn)動(dòng)情況會(huì)更加復(fù)雜，我們將作下一步的研究。

參考文獻(xiàn)(References)：

[1] 漆安慎, 杜嬋英. 普通物理學(xué)教程·力學(xué)[M]. 3版. 北京：高等教育出版社, 2012.

[2] 趙凱華, 羅蔚茵. 新概念物理教程·力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社, 2001.

[3] 楊正波, 夏清華, 劉思平. 不同控制參數(shù)下的彈簧擺[J]. 大學(xué)物理, 2011, 30(5):23-26.

[4] 夏清華, 屈少華. 受不穩(wěn)定約束彈簧擺運(yùn)動(dòng)的研究[J]. 大學(xué)物理, 2015, 34(4):6-10.

[5] 李 碩, 趙彤帆, 李根全,等. Matlab軟件在單擺自由振動(dòng)中的應(yīng)用[J]. 實(shí)驗(yàn)室研究與探索, 2013, 32(11):65-68.

[6] 李 陽(yáng), 王 宏, 韓艷玲. 與r的一次方成正比有心力作用下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)研究[J]. 物理通報(bào), 2015, 34(12):4-8.

[7] 李 陽(yáng), 王 宏, 韓艷玲,等. 在水平面上受穩(wěn)定約束的彈簧振子運(yùn)動(dòng)研究[J]. 廣西物理, 2015,36(2):31-34.

[8] 黃 焱. 雙彈簧振子在豎直方向的自由振動(dòng)研究[J]. 大學(xué)物理, 2014,33(9):20-23.

[9] 何松林, 黃 焱, 戴祖誠(chéng). 對(duì)稱雙彈簧振子橫向振動(dòng)的復(fù)雜性研究[J]. 昆明學(xué)院學(xué)報(bào), 2010, 32(3):86-88.

[10] 楊正波, 夏清華, 劉思平. 多彈簧振子耦合系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)研究[J]. 大學(xué)物理, 2010, 29(4):29-32.

[11] 鐘可君, 張海林. 基于Matlab GUI設(shè)計(jì)的光學(xué)實(shí)驗(yàn)仿真[J]. 實(shí)驗(yàn)室研究與探索, 2010, 29(10):52-53.

[12] 朱飛宇, 徐志宇, 黃國(guó)輝,等. 基于MatlabGUI的三容水箱液位實(shí)時(shí)監(jiān)控系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J]. 實(shí)驗(yàn)室研究與探索, 2017,36(9):83-86.

[13] 溫 正. MATLAB科學(xué)計(jì)算[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2017.

[14] 羅華飛. MATLAB GUI設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)手記[M]. 3版. 北京：北京航空航天大學(xué)出版社, 2014.

[15] Hunt B R, Lipsman R L, Rosenberg J M. A guide to MATLAB: for beginners and experienced users[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2014.

[16] Zhang Z, Bai H, Yang G,etal. Computer simulation of Fraunhofer diffraction based on MATLAB[J]. Optik-International Journal for Light and Electron Optics, 2013, 124(20): 4449-4451.