劉偉渭,姜瑞金,劉鳳偉,李奕璠,張良威
(1.西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,四川 成都 610031;2.中國(guó)中車長(zhǎng)江車輛有限公司,湖北 武漢 430000;3.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都 610031)
在軌道車輛結(jié)構(gòu)振動(dòng)的控制中,常以系統(tǒng)響應(yīng)最小為控制目的,而對(duì)受控結(jié)構(gòu)的可靠性或以可靠度最大化為目標(biāo)的隨機(jī)最優(yōu)控制問題的研究還并不充分[1-3]。對(duì)于機(jī)械結(jié)構(gòu)而言,所謂可靠性就是系統(tǒng)處于安全域內(nèi)的概率大小,系統(tǒng)壽命就是結(jié)構(gòu)處于安全域內(nèi)的時(shí)間長(zhǎng)度,而系統(tǒng)損壞就是結(jié)構(gòu)首次穿越了原有安全域邊界。這也表明,系統(tǒng)穿越安全域的概率大小、存在于安全域時(shí)間的長(zhǎng)短對(duì)于維持結(jié)構(gòu)安全運(yùn)行具有較為重要的意義,對(duì)于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言,若能通過外部的控制作用來提高系統(tǒng)可靠性,這對(duì)于結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)期安全運(yùn)行是一種較為有效的措施[4-8]。
對(duì)于高速列車而言,車輛的蛇行失穩(wěn)、脫軌失效是影響列車長(zhǎng)期安全服役安全可靠性的主要因素。車輛蛇行失穩(wěn)、脫軌失效行為不僅是系統(tǒng)的固有屬性,而且與車輛運(yùn)行的外部環(huán)境也具有重要關(guān)系。在線路實(shí)際運(yùn)行時(shí),車輛經(jīng)常會(huì)受到道岔沖擊、強(qiáng)烈的橫風(fēng)作用、車輛結(jié)構(gòu)件失效以及輪軌接觸關(guān)系惡化等因素影響。這將破壞系統(tǒng)原有較為穩(wěn)定的可靠性性能,使車輛存在安全隱患。對(duì)于處于運(yùn)營(yíng)中的車輛出現(xiàn)上述失穩(wěn)等情況,如果只能通過停車或減速運(yùn)行來處理,將造成較為嚴(yán)重的運(yùn)營(yíng)事故?;诖?,本文以軌道車輛可靠性性能提高為對(duì)象,通過隨機(jī)非線性控制策略的選取達(dá)到對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性性能改善的具體目標(biāo)[9-10]。
考慮受控作用下的擬不可積Hamilton系統(tǒng)結(jié)構(gòu),受控平均It微分方程為
( 1 )
其中,
( 2 )
若原系統(tǒng)的正常運(yùn)行區(qū)域?yàn)閇0,Hc),[0,∞)為Hamilton函數(shù)取值范圍,H(0)=H0∈[0,Hc)為系統(tǒng)初值,為了提高系統(tǒng)可靠性,可定義最優(yōu)成本函數(shù)
t
( 3 )
首次穿越時(shí)刻為τ;控制終時(shí)時(shí)刻為tf≤τ;受控約束條件為u∈U。此時(shí)作為可靠度最大化為控制目標(biāo)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程為
0≤t≤tfH∈[0,Hc)
( 4 )
其中的邊界條件為
V(Hc,t)=0
( 5 )
V(0,t)=有限
( 6 )
終值條件為
V(H,tf)=1H∈[0,Hc)
( 7 )
式( 4 )~式( 7 )即為受控條件下原系統(tǒng)可靠度最大化的首次穿越數(shù)學(xué)方法。
把方程( 4 )的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程右邊對(duì)ui進(jìn)行極大值分析,得到原系統(tǒng)的最優(yōu)控制率條件。假如約束條件為
|ui|≤bii=1,2,…,n
( 8 )
其中,bi是定值,可以看出,當(dāng)|ui|=bi,并且ui的數(shù)值能使ui(?H/?Pi)(?V/?H)得到正值,此時(shí)的式( 4 )右邊即可得極大值,則控制率為
( 9 )
因?yàn)榭煽啃院瘮?shù)在任何初值下均是單調(diào)遞減函數(shù),即?V/?H<0,這樣式( 9 )可簡(jiǎn)化為
(10)
(11)
其中,
(12)
0≤t≤tfH∈[0,Hc)
(13)
式(13)的邊界控制條件和終值控制條件為式( 5 )~式( 7 )。此時(shí)的條件可靠性函數(shù)為
Rc(t1|H0)=P{H(s,u*)∈[0,Hc),
s∈(0,t1]|H(0)∈[0,Hc)}
(14)
滿足后向Kolmogorov方程
(15)
Rc(t1|Hc)=0
(16)
Rc(t1|0)=有限
(17)
初始條件為
Rc(0|H0)=1H0=∈[0,Hc)
(18)
原系統(tǒng)首次穿越損壞條件的概率為
(19)
首次穿越時(shí)間τ具有的條件概率密度為
(20)
為分析更為接近軌道車輛的實(shí)際運(yùn)行工況,考慮如圖1所示的約束輪對(duì)模型,在該模型中考慮了一系懸掛剛度參數(shù)激勵(lì)影響以及來自鋼軌的隨機(jī)不平順激勵(lì)作用。本文重點(diǎn)關(guān)注系統(tǒng)的橫向失穩(wěn)可靠性以及控制策略的有效性,由于垂向懸掛對(duì)橫向運(yùn)動(dòng)耦合影響較小,為便于直觀分析,只考慮橫向模型。
圖1 受控的彈性約束輪對(duì)模型
上述模型中各參數(shù)和具體數(shù)值見表1。
表1 各參數(shù)及數(shù)值
受控約束輪對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為
(21)
假設(shè)有變量代換
a=a1+a2β01=β11+β12
β02=β13+β14β03=β23+β24
原系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為
(22)
式(21)可改寫為
(23)
其中,
m11(q1,p1)=a1m12(q1,p2)=0
f1(q1)=β11q1+β12q1+β13+β14
f2(q1)=β22q1+β23+β24
式(23)為受控約束輪對(duì)隨機(jī)激勵(lì)耗散Hamilton方程組。
約束輪對(duì)系統(tǒng)受控條件下其求解過程服從一維擴(kuò)散過程,而該過程被平均It微分方程所支配。
(24)
D((β13+β14)2+(β23+β24)2)
(25)
D((β13+β14)2+(β23+β24)2)H
(26)
根據(jù)式(10)有
(27)
式( 1 )中的ui由式(29)的最優(yōu)控制率u*取代,進(jìn)行平均則有
(28)
把式(28)代入式(24),受控條件下的漂移系數(shù)為
(29)
把式(29)和式(26)分別代入式(13)和式(15),即可得到可靠度最大化為控制目標(biāo)的首次穿越時(shí)間條件概率密度以及最優(yōu)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程。
方程(13)為二階變系數(shù)拋物線與雙曲線組合型偏微分方程,對(duì)其的求解采用有限差分法Peaceman-Rachford,初始能量H0=0.02,各參數(shù)值見表1。
圖2為不同控制力幅值下系統(tǒng)可靠性隨時(shí)間的變化情況,其中橫坐標(biāo)為系統(tǒng)運(yùn)行的無量綱時(shí)間,縱坐標(biāo)的可靠性函數(shù)值表示系統(tǒng)處于安全域內(nèi)的概率值,當(dāng)縱坐標(biāo)為0時(shí)表示系統(tǒng)必將穿越安全域而發(fā)生失穩(wěn)脫軌,當(dāng)縱坐標(biāo)為1時(shí)表示系統(tǒng)始終處于安全域內(nèi),當(dāng)縱坐標(biāo)為(0,1)時(shí),表示系統(tǒng)處于安全域內(nèi),只是具有一定概率值。從圖2可以看出,當(dāng)系統(tǒng)沒有受到控制約束作用時(shí),即B=0,此時(shí)輪對(duì)系統(tǒng)的可靠性函數(shù)值隨著運(yùn)行時(shí)間的增加,逐漸減小,并最終趨于恒定值零。當(dāng)受到控制約束作用后,控制力為3 kN和7 kN時(shí),仍然具有上述規(guī)律,但是此時(shí)可靠性函數(shù)的最終恒定值隨著控制力的作用逐漸增加。特別地,當(dāng)控制力增加為10 kN時(shí),可靠性函數(shù)值幾乎沒有減小趨勢(shì),而始終恒定于1??傮w來看,約束輪對(duì)系統(tǒng)在該控制策略下,穩(wěn)定性的可靠性性能改善明顯,在此參數(shù)條件下,原系統(tǒng)不穩(wěn)定,受控后可改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性,使原不穩(wěn)定性系統(tǒng)變?yōu)楦怕室饬x上的穩(wěn)定系統(tǒng),特別是當(dāng)控制力達(dá)到某一幅值后,系統(tǒng)將轉(zhuǎn)變?yōu)榻^對(duì)意義上的穩(wěn)定系統(tǒng)。
圖2 不同控制力幅值下系統(tǒng)可靠性隨時(shí)間的變化情況
圖3為不同控制力幅值下系統(tǒng)首次穿越時(shí)間概率密度隨時(shí)間變化情況,其中橫坐標(biāo)為系統(tǒng)運(yùn)行的無量綱時(shí)間,縱坐標(biāo)的首次穿越時(shí)間條件概率密度表示系統(tǒng)在對(duì)應(yīng)的運(yùn)行時(shí)刻點(diǎn)上穿越出安全域的概率值,數(shù)值越小系統(tǒng)越能維持于安全域內(nèi)。從圖3可以看出,隨著運(yùn)行時(shí)間的增加,不管是否受控,系統(tǒng)均呈現(xiàn)出首次穿越時(shí)間條件概率密度先逐漸增加,達(dá)到某一峰值后再逐漸減小,并最終趨于一恒定值。未受控時(shí)(即B=0),在時(shí)刻t=110,具有最大概率值;受控后,隨著控制力從3、7、10 kN逐漸增加,最大概率幅值逐漸減小,但是出現(xiàn)最大概率幅值所對(duì)應(yīng)時(shí)刻幾乎也在t=110??傮w來看,在該控制策略作用下,系統(tǒng)發(fā)生首次穿越的概率會(huì)隨著控制力的增加逐漸減小,而使系統(tǒng)變得更為穩(wěn)定,然而控制作用卻不能改善或延遲系統(tǒng)發(fā)生首次穿越的時(shí)刻。
圖3 不同控制力幅值下系統(tǒng)首次穿越時(shí)間概率密度隨時(shí)間變化情況
為分析在不同系統(tǒng)初始能量激勵(lì)下隨著控制約束的變化影響,得到了圖4、圖5的結(jié)果。圖4初始能量H0=0.04,圖5初始能量H0=0.08,二者的控制約束力分別為0、3、7、10 kN。由圖4可以看出,隨著輪對(duì)運(yùn)行時(shí)間t的增加,可靠性函數(shù)值的變化規(guī)律為先從1逐漸減小,并最終趨于介于0~1之間的一個(gè)恒定值。當(dāng)未控時(shí)(B=0 kN),可靠性函數(shù)值最終趨于0,表明系統(tǒng)隨著運(yùn)行時(shí)間的增加將失效;而當(dāng)控制力從3 kN變化到10 kN時(shí),可靠性函數(shù)的穩(wěn)定值逐漸增加,表明系統(tǒng)隨著運(yùn)行時(shí)間的增加不會(huì)失效,并且控制力越大系統(tǒng)失效的可能性越小。由圖5可以看出,當(dāng)初始能量較大時(shí),隨著輪對(duì)運(yùn)行時(shí)間的增加,系統(tǒng)在較短時(shí)間內(nèi),可靠性函數(shù)值迅速?gòu)?減少為一個(gè)接近于0的穩(wěn)定值。當(dāng)控制力從0、3、7、10 kN逐漸增加時(shí),可靠性函數(shù)的恒定值只是略有增加,控制效果幾乎不起作用。這表明,當(dāng)輪對(duì)運(yùn)行具有較大初始激勵(lì)能量時(shí),系統(tǒng)將快速失穩(wěn)并脫軌失效,這是由于輪對(duì)失穩(wěn)的振動(dòng)為發(fā)散運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)的能量逐漸增加,并最終超過輪軌約束而脫軌,即使此時(shí)提供約束控制,效果也不明顯。
圖4 不同控制力幅值下系統(tǒng)的可靠性隨時(shí)間變化情況(H0=0.04)
圖5 不同控制力幅值下系統(tǒng)的可靠性隨時(shí)間變化情況(H0=0.08)
為分析約束輪對(duì)首次穿越失效后的最優(yōu)控制,并改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性性能,建立受控動(dòng)力學(xué)模型中考慮軌道不平順激勵(lì)和自身結(jié)構(gòu)參激的動(dòng)力學(xué)模型?;陔S機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理的控制策略,并運(yùn)用擬不可積Hamilton系統(tǒng)隨機(jī)平均法,以可靠度最大化為控制目標(biāo),建立可靠性函數(shù)和首次穿越時(shí)間概率密度函數(shù)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程。
分析表明,通過控制力作用,可使原本不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受控后變?yōu)楦怕室饬x上的穩(wěn)定系統(tǒng),在選取適當(dāng)控制力條件下,甚至可使可靠性函數(shù)值接近于1,而使系統(tǒng)成為絕對(duì)意義上的穩(wěn)定系統(tǒng)。另外,在系統(tǒng)失穩(wěn)初期,并未激發(fā)較大能量時(shí),即使提供較小的外界控制約束力作用,也能達(dá)到較好效果;如果系統(tǒng)失穩(wěn),經(jīng)過一段時(shí)間而激發(fā)了較大振動(dòng)能量,此時(shí)再提供約束作用,對(duì)改善系統(tǒng)性能已不明顯。
上述內(nèi)容僅針對(duì)單輪對(duì)隨機(jī)最優(yōu)控制的理論分析,為了分析的完整性,還應(yīng)增加試驗(yàn)驗(yàn)證對(duì)比。在后續(xù)研究中,將繼續(xù)完成軌道車輛整車隨機(jī)最優(yōu)控制理論和仿真分析,把具有二系橫向作用器裝置的整車在滾振臺(tái)上進(jìn)行試驗(yàn),并與理論分析進(jìn)行比較和驗(yàn)證。
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