徐 凱，吳 磊，趙 梅

(1.重慶交通大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，重慶 400074；2.重慶市公共交通運營大數(shù)據(jù)工程技術(shù)研究中心，重慶 400074；3.西華大學(xué) 電氣與電子信息學(xué)院，四川 成都 610039)

列車自動駕駛ATO系統(tǒng)是列車自動控制系統(tǒng)的重要組成部分，其運行等級模式曲線計算的精確性將直接影響車載ATO的控制效果[1]。通常利用節(jié)能優(yōu)化算法來獲得列車節(jié)能駕駛策略，用以指導(dǎo)列車自動運行，減少運行能耗。為達到此目的，文獻[2]在列車運行控制模型的優(yōu)化中，采用遺傳算法降低了列車運行的能耗。文獻[3-5]分別采用不同形式的粒子群優(yōu)化算法來獲取列車自動駕駛曲線。上述參考文獻有一個共同點，即在一定約束條件下采用加權(quán)求和的方法，將列車運行控制的多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)優(yōu)化。在列車運行控制系統(tǒng)中，各個目標(biāo)之間的關(guān)系較為復(fù)雜，加權(quán)求和方法并沒有考慮各目標(biāo)之間的相互作用及影響，無法體現(xiàn)出多目標(biāo)問題研究的本質(zhì)。由于多目標(biāo)優(yōu)化獲得的是所有占優(yōu)解的集合，而并非只有一個最優(yōu)解。為體現(xiàn)出多目標(biāo)優(yōu)化的本質(zhì)，采用Pareto原理來解決此問題是一種較佳選擇。對于具體的列車以運行時間和能耗為目標(biāo)問題，需要從Pareto最優(yōu)解集中選擇一個或一些最符合實際需求的解作為最終解使用，由此設(shè)計列車ATO運行模式曲線。

近年來研究者采用基于Pareto原理的多目標(biāo)優(yōu)化方法來獲取列車運行操縱策略。文獻[6-7]結(jié)合模擬退火思想，對傳統(tǒng)差分進化算法的交叉操作進行改進，得到了高速列車運行優(yōu)化的操縱策略。文獻[8-9]分別采用基于模糊參數(shù)的NSGA-Ⅱ算法和基于模糊模型的遺傳算法，得到相應(yīng)的列車控制策略。近年來，不少研究者將多目標(biāo)粒子群優(yōu)化MOPSO算法應(yīng)用于列車運行優(yōu)化的操縱策略中[10-12]。相比遺傳算法和動態(tài)規(guī)劃，MOPSO算法可以在收斂性和結(jié)果質(zhì)量之間獲得較好的平衡。文獻[13]為獲得列車最佳控制策略，對MOPSO算法作了相應(yīng)的改進。文獻[14]將MOPSO與NSGA-Ⅱ兩種算法進行對比研究，發(fā)現(xiàn)MOPSO算法在計算時間、逼近Pareto真實前沿和多樣性等方面更為優(yōu)越。因此，如何進一步改善、提高MOPSO算法的收斂性和多樣性，得到一組優(yōu)越的Pareto前沿解集，從而獲得更為合理的ATO速度命令成為當(dāng)前研究的熱點之一。

為進一步提高粒子群優(yōu)化PSO算法的性能，將PSO與布谷鳥搜索CS算法相結(jié)合。文獻[15]借鑒PSO算法中全局最優(yōu)和個體最優(yōu)的概念，在CS算法lévy飛行隨機游動和偏好隨機游動之間引入PSO組件。文獻[16]將PSO與CS串行，每次迭代過程中先使用PSO算法優(yōu)化種群，記錄全局最優(yōu)和個體最優(yōu)，采用CS算法對種群個體最優(yōu)繼續(xù)尋優(yōu)。上述將PSO和CS算法進行組合優(yōu)化求解，僅針對單目標(biāo)優(yōu)化，降低了研究問題的深度，并采用測試函數(shù)評價組合算法的性能，沒有結(jié)合實際工程應(yīng)用問題來研究。本文采用一種將多種群PSO與布谷鳥搜索CS相結(jié)合的分層算法，即多種群分層PSO-CS聯(lián)合優(yōu)化算法，針對多目標(biāo)優(yōu)化問題，在列車運行控制仿真實驗中采用所提出的方法，通過多種群PSO、分層結(jié)構(gòu)以及兩種算法的混合策略，提高了Pareto前沿解的收斂性和多樣性。

1 列車控制多目標(biāo)優(yōu)化模型

參考文獻[17]描述列車運動的微分方程為

( 1 )

( 2 )

式中：t為列車運行時間；v和s分別為列車運行速度和距離；c和ε分別為列車單位合力和加速度系數(shù)。

列車在運行過程中，其所受的力為

ma=f(u，v)-g(v)-w(x，v)

( 3 )

式中：m和a分別為列車質(zhì)量以及運行中合力產(chǎn)生的加速度；f(u，v)為作用于列車上的牽引力或者制動力，當(dāng)列車處于牽引、制動和惰行狀態(tài)時，f(u，v)分別為正值、負(fù)值和零；g(v)為列車基本阻力；w(x，v)為列車附加阻力，其中x和v分別為線路位置和列車運行速度，附加阻力取決于列車運行的線路條件。

在充分考慮安全、停車準(zhǔn)確及各種約束條件基礎(chǔ)上，將列車運行能耗和時間作為目標(biāo)求解。根據(jù)列車運動方程，可計算出列車在整個區(qū)間上的運行時間為

( 4 )

式中：i=1，…，N為劃分的若干個小區(qū)間序號；Ti為每個小區(qū)運行時間；T為站間實際運行時間。

列車運行能耗指標(biāo)計算模型為[6]

( 5 )

式中：E為列車能耗；F和B分別為牽引力和制動力；A為列車輔助功率；ξM為列車牽引時將電能轉(zhuǎn)換成為機械能的轉(zhuǎn)換因子；ξB為列車制動時將機械能轉(zhuǎn)換成電能的轉(zhuǎn)換因子。

從實質(zhì)上來講，列車運行多目標(biāo)優(yōu)化就是對式( 1 )～式( 3 )所描述的模型，在滿足約束條件下，求出所輸入的一組控制序列{ui}i=1，2，…，k以及k-1個工況轉(zhuǎn)換點位置{xi}i=1，2，…，k-1(xi∈[0，S])，做到讓列車運行時間短且耗能低。由此，以運行時間和能耗為多目標(biāo)的優(yōu)化問題可表示為

min{T，E}

( 6 )

約束條件為

( 7 )

式中：v(0)為列車初速度；v(S)為列車末速度；v(s)為列車在位置s處的實際速度；vlim(s)為列車的限制速度；Sr為列車實際運行的距離；S為兩站點之間的距離，cm。

2 多種群分層PSO-CS聯(lián)合優(yōu)化算法

2.1 粒子群優(yōu)化算法PSO

PSO算法是受鳥群覓食行為啟發(fā)而提出的群搜索算法，通過粒子間相互作用，發(fā)現(xiàn)復(fù)雜搜索空間中的最優(yōu)區(qū)域，具有全局搜索能力強的特點。該算法的粒子速度和位置更新公式分別為[15]

( 8 )

( 9 )

2.2 布谷鳥搜索算法CS

布谷鳥搜索[18]是由劍橋大學(xué)Yang等提出的一種群智能優(yōu)化算法，是一種新型元啟發(fā)式搜索算法。主要原理是基于布谷鳥的lévy飛行機制及巢寄生性，使其能夠快速有效地尋找到最優(yōu)解。布谷鳥搜索算法采用lévy飛行進行位置更新，其更新公式為[18]

⊕L(λ)

(10)

(11)

(12)

式中：Г是標(biāo)準(zhǔn)Gamma函數(shù)；λ取值為2.5。

2.3 雙層框架的聯(lián)合優(yōu)化算法

2.3.1 算法思想

一方面，PSO算法局部搜索能力強、收斂速度快，CS算法由于lévy飛行具有高度的隨機性，因而有較強的全局搜索能力和多樣性。因此將PSO和CS兩種算法的優(yōu)點相結(jié)合。另一方面，可將底層的種群劃分為多個小種群，讓多個小種群獨立并行協(xié)同搜索，不僅擴大了粒子在解空間的搜索范圍，也提高了粒子的搜索速度，與此同時，利用高層中的CS算法來搜索全局的最優(yōu)點，以保證算法收斂性。上述算法能夠在搜索可行解的過程中，兼顧效率和精度兩個方面。

結(jié)合圖1，多種群分層PSO-CS聯(lián)合優(yōu)化算法的思路為：在底層中，將種群平均劃分為k個小種群，使用PSO算法優(yōu)化每個小種群，進行局部并行搜索；將每個小種群中的精英粒子si(i=1，…，k)送到高層，使用CS算法進行深度優(yōu)化，優(yōu)化后的較優(yōu)解分別返回到各自的小種群中；底層和高層的粒子若有可行解，則找出可行解的Pareto前沿解集，將解集放入外部檔案中，并對外部檔案更新。這種多種群分層聯(lián)合優(yōu)化結(jié)構(gòu)提高了算法收斂性和全局搜索能力。

圖1 多種群分層PSO-CS聯(lián)合優(yōu)化框架圖

該算法在底層小種群之間，通過整個種群的最優(yōu)值進行間接交流，增強了粒子的多樣性。每個小種群不僅根據(jù)該種群個體最優(yōu)和全局最優(yōu)來修正本種群內(nèi)粒子的速度和位置，還要考慮整個種群全局最優(yōu)值來修正粒子速度和位置。標(biāo)準(zhǔn)粒子群的迭代公式修正為

(13)

(14)

不同于單目標(biāo)優(yōu)化，在解決列車多目標(biāo)優(yōu)化問題時，如何選擇合適的小種群全局最優(yōu)值Besti和整個種群的全局最優(yōu)值gBest，用于指導(dǎo)各小種群中粒子的“飛行”顯得十分重要。

小種群全局最優(yōu)值Besti選擇策略為：若小種群中所有粒子均為不可行解，選擇違反約束程度最小的粒子作為Besti；若小種群中只有一個粒子是可行解，則該粒子作為Besti；若小種群中有多個可行解，找出可行解的Pareto前沿解，從Pareto前沿解中隨機選取一個粒子作為Besti。

整個種群中的所有粒子單獨選擇gBest，其策略為：若外部檔案沒有解，選擇整個種群違反約束程度最小的粒子作為gBest；若外部檔案存在解，每個粒子隨機地從外部檔案中選擇一個粒子作為gBest。

圖1中小種群精英粒子si的選擇策略為：若小種群中所有粒子均為不可行解，選擇違反約束程度最小的粒子作為小種群精英粒子；若小種群中的粒子有可行解，將可行解中所有Pareto前沿解作為小種群的精英粒子。

2.3.2 算法步驟和流程

算法底層：

步驟1初始化PSO相關(guān)參數(shù)，隨機生成N個粒子作為初始種群，將整個初始種群均分成k個小種群。

步驟2計算每個粒子的目標(biāo)向量{T，E}，存儲每個粒子的個體歷史最優(yōu)值pBest，找出每個小種群的全局最優(yōu)值Besti和整個種群的全局最優(yōu)值gBest。

步驟3利用式(13)和式(14)分別更新粒子的速度和位置。

步驟4計算每個粒子的目標(biāo)向量{T，E}，若存在Pareto前沿解集，則更新外部檔案。

算法高層：

步驟5計算每個小種群的精英解，并將精英解送往高層作為布谷鳥的初始位置，精英解的個數(shù)作為鳥巢的個數(shù)，初始化CS算法的參數(shù)。

步驟6用式(10)更新鳥巢位置，對更新后的鳥巢位置進行相應(yīng)測試，與上一代鳥巢位置比較，將測試值好的保留，并轉(zhuǎn)入下一步。

步驟7產(chǎn)生[0，1]之間的隨機數(shù)rand，設(shè)定鳥巢被發(fā)現(xiàn)的概率pa，并與rand比較。若pa≤rand，則隨機改變鳥巢的位置，否則保持不變。進一步測試鳥巢改變后位置，將它與上一步獲得的鳥巢位置對比，把適應(yīng)度好的鳥巢位置保留下來。

步驟8計算高層每個粒子目標(biāo)向量{T，E}，若存在Pareto前沿解集，則更新外部檔案，將上層更新后的粒子分別返回各自所在的小種群。

步驟9判斷是否達到終止條件，若達到，輸出外部檔案Pareto最優(yōu)解集；否則，返回步驟2。

算法的具體流程如圖2所示。

圖2 算法流程圖

3 仿真實驗及分析

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

為驗證所提方法的有效性，以重慶軌道三號線鄭家院子到唐家院線路為例，在Matlab環(huán)境下進行仿真。

(1)線路參數(shù)：線路的參數(shù)見表1。

表1 線路參數(shù)

(2)列車參數(shù)：采用6節(jié)編組，總重量162 t，長度120 m。從大到小依次將牽引、惰行和制動所產(chǎn)生的加速度值進行編碼，編碼采用實數(shù)方式。先將最大的3級牽引加速度編碼設(shè)置為1，然后該編碼依次遞增，直到4級制動減速度的編碼值為8結(jié)束。表2列出了列車在不同運行工況下的參數(shù)取值及所對應(yīng)的編碼。

表2 列車運行工況參數(shù)取值

(3)運行參數(shù)：列車運行區(qū)間目標(biāo)時間85～95 s。

(4)參數(shù)設(shè)置：MOPSO種群數(shù)100，迭代次數(shù)250，其他參數(shù)按照參考文獻[14]設(shè)置。多種群分層PSO-CS聯(lián)合優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置：慣性權(quán)重w=1，學(xué)習(xí)因子c1=c2=c3=2，步長因子α=1，鳥窩被發(fā)現(xiàn)概率pα=0.25，種群粒子總數(shù)50，小種群個數(shù)5，迭代次數(shù)500，兩種算法函數(shù)評價次數(shù)均為25 000次。

根據(jù)種群粒子總數(shù)為50，將小種群個數(shù)取為5，既保證小種群數(shù)量恰當(dāng)，又保證了每個小種群中粒子數(shù)適中，這樣本文所提算法的收斂性和多樣性均達到最佳。

3.2 算法性能評價指標(biāo)

在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，為了驗證所提出算法的優(yōu)越性，首先需要明確以下幾個指標(biāo)，對算法的收斂性和多樣性進行度量。

(1)收斂性指標(biāo)GD

(15)

式中：n為算法得到的Pareto前沿解個數(shù)；di為第i個解與真實Pareto前端之間的最短距離。該值越小，表明算法的收斂性越好。

(2)收斂性指標(biāo)γ

(16)

式中：p*=(p1，p2，…，p|p*|)為真實Pareto前沿解集，A=(a1，a2，…，a|A|)為算法得到Pareto前沿解集。γ越小則算法逼近真實Pareto前沿解集的程度越好。

(3)多樣性指標(biāo)SP

(17)

(4)多樣性指標(biāo)Δ

(18)

3.3 實驗結(jié)果及分析

將所提出的多種群分層PSO-CS聯(lián)合優(yōu)化算法和MOPSO算法分別用于列車自動駕駛曲線的優(yōu)化。上述兩種算法分別獨立運行30次，從收斂性指標(biāo)GD、γ和多樣性指標(biāo)SP、Δ以及Pareto前沿解的個數(shù)等方面，分別對兩種算法的結(jié)果進行統(tǒng)計比較，以此衡量算法的優(yōu)劣性。算法的性能比較統(tǒng)計結(jié)果見表3。

表3 性能評價指標(biāo)統(tǒng)計結(jié)果

從表3統(tǒng)計結(jié)果可以看出：根據(jù)Pareto前沿解的收斂性、多樣性和數(shù)量的比較，多種群分層PSO-CS聯(lián)合優(yōu)化算法性能指標(biāo)均優(yōu)于MOPSO算法。從各指標(biāo)的平均值可以看出，所提出的算法不僅收斂速度快，還能增加解的多樣性，同時解的個數(shù)也較多。

圖3和圖4分別是MOPSO算法和多種群分層PSO-CS聯(lián)合優(yōu)化算法的解空間分布情況。從圖3、圖4可以看出，在兩種算法得到的可行解中，Pareto前沿解都處于解空間內(nèi)側(cè)，滿足運行時間較短和能耗小的目標(biāo)。采用MOPSO算法得到的可行解數(shù)量少且分布稀疏。而多種群分層PSO-CS聯(lián)合優(yōu)化算法得到的可行解數(shù)量較多且分布均勻，大量可行解都集中靠近Pareto前沿。

圖3 MOPSO算法的解空間

圖4 PSO-CS算法的解空間

圖5是兩種算法的Pareto前沿解比較。從圖5可知，采用所提出算法獲得Pareto前沿解更加靠近內(nèi)側(cè)，收斂性更好。在相同運行時間下，用該算法得到的解，能耗更低；采用所提出算法得到的解集向左端拓展，分布范圍更廣，意味著可獲得更短的列車運行時間；所提出算法獲得的解分布更均勻，相鄰解之間間隙小。而MOPSO算法獲得的相鄰解之間的間隙較大，需要進行填充才能增加解的多樣性。

圖5 兩種算法的Pareto前沿解比較

從Pareto前沿解可知，列車運行時間和能耗之間相互矛盾，即列車運行時間越短所需能耗越高，列車運行時間越長能耗越低?？梢酝ㄟ^選擇恰當(dāng)?shù)目刂撇呗詠頋M足列車實際運行的要求。采用本文提出算法得到Pareto前沿最優(yōu)解集后，可以獲得最省時、最節(jié)能和兩個目標(biāo)折衷的列車運行速度-距離曲線，如圖6所示。

圖6 三種不同要求的速度-距離曲線

結(jié)合圖5和圖6，當(dāng)時間最優(yōu)時，所對應(yīng)的時間和能耗分別是86.02 s和48 151.82 kJ；當(dāng)能耗最優(yōu)時，所對應(yīng)的時間和能耗分別為94.82 s和36 598.49 kJ；若性能折衷，則所需的時間和能耗分別為90.31s和40 197.05 kJ。

當(dāng)列車輸入控制序列數(shù)設(shè)置為7，在上述3種不同要求下，圖6中速度-距離曲線所對應(yīng)控制序列下的加速度和距離值見表4。從表4可知，當(dāng)時間最優(yōu)時，惰行的距離最短，為176 m；而當(dāng)能耗最優(yōu)時，惰行的距離最長，為380 m。

表4 三種不同要求下的控制策略

4 結(jié)論

針對城軌列車在滿足安全、精確停車及各種約束條件下，以時間和能耗為優(yōu)化目標(biāo)，建立列車運行操縱的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。提出一種多種群分層聯(lián)合優(yōu)化的多目標(biāo)算法，將它用于城軌列車ATO中，通過仿真實驗得到如下結(jié)論：

(1)針對將多目標(biāo)加權(quán)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題而存在的缺點，提出的算法能夠避免由于各目標(biāo)間的相互影響而不能得到需要的解集。

(2)將多種群PSO算法與CS算法的優(yōu)點相結(jié)合，采用分層聯(lián)合優(yōu)化的策略，與MOPSO算法相比較，提高了Pareto前沿解的收斂性。由此得到的列車控制策略，可以讓列車在相同運行時間下降低能耗。

(3)與MOPSO算法相比，本文所提算法獲得Pareto前沿解的多樣性更為優(yōu)越。這為設(shè)計者提供了更多、更靈活的選擇方案，在設(shè)計列車ATO運行模式曲線時，具有更大的選擇空間。

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