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        換元法在解方程中的應(yīng)用

        2018-06-28 09:08:36李志若
        考試周刊 2018年53期
        關(guān)鍵詞:換元法解方程

        摘 要:換元法是初中數(shù)學(xué)非常重要的思想方法,在解方程時(shí)有著極為廣泛的應(yīng)用,本文根據(jù)方程自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),舉例說(shuō)明換元法解方程的常見類型。

        關(guān)鍵詞:換元法;解方程;方法特點(diǎn)

        換元法是初中數(shù)學(xué)非常重要的思想方法,在解方程時(shí)有著極為廣泛的應(yīng)用,本文根據(jù)方程自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),舉例說(shuō)明換元法解方程的常見類型,供大家參考。

        一、 直接換元

        例1 解方程xx-12-2xx-1-15=0

        解:設(shè)xx-1=y,則原方程可化為y2-2y-15=0,解得y1=-3,y2=5。當(dāng)y=-3,y=5。當(dāng)y=-3時(shí),xx-1=-3,解得x=34;當(dāng)y=5時(shí),xx-1=5,解得x=54。經(jīng)檢驗(yàn),x1=34,x2=54是原方程的根。

        二、 配方換元

        例2 解方程2x2+1x2-3x+1x=1

        解:原方程配方,得2x+1x2-3x+1x-5=0。設(shè)x+1x=y,則2y2-3y-5=0。

        解得y1=-1,y2=52。當(dāng)y=-1時(shí),x+1x=-1即x2+x+1=0.因?yàn)棣?12-4×1×1=-3<0,所以方程x2+x+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根。當(dāng)y=52時(shí),x+1x=52時(shí),即2x2-5x+2=0。解得x1=2,x2=12。經(jīng)檢驗(yàn),x1=2,x2=12是原方程的根。

        三、 倒數(shù)換元

        例3 解方程

        解:設(shè)x2+1x+1=y,則原方程可化為y+2y-3=0。去分母,整理,得y2-3y+2=0,解得y1=1,y2=2。當(dāng)y=1時(shí),x2+1x+1=1,即x2-x=0。解得x1=0,x2=1。當(dāng)y=2時(shí),x2+1x+1=2,即x2-2x-1=0。解得x3=1+2,x4=1-2.經(jīng)檢驗(yàn),x1=0,x2=1,x3=1+2,x4=1-2都是原方程的根。

        四、 變形換元

        例4 解方程4x2-2x+22x2-x+2=1

        解:原方程可變形為2(2x2-x+2)+22x2-x2-5=0。

        設(shè)2x2-x+2=y,則原方程可化為2y+2y-5=0。去分母,整理,得2y2-5y+2=0。解得y1=2,y2=12。當(dāng)y=2時(shí),2x2-x+2=2,即2x2-x=0。解得x1=0,x2=12。當(dāng)y=12時(shí),2x2-x+2=12,即4x2-2x+3=0。因?yàn)棣?(-2)2-4×4×3=-44<0,所以方程4x2-2x+3=0無(wú)實(shí)數(shù)根。經(jīng)檢驗(yàn),x1=0,x2=12是原方程的根1x2+11x-8+1x2+2x-8+1x2-13x-8=0

        五、 部分換元

        部分換元之后,一般方程還剩下兩個(gè)未知數(shù)

        例5 解方程2x2-x-2xx2+x-1+1=0

        分析:方程變形:3x2-(x2+x-1)-2xx2+x-1=0,方程可進(jìn)行部分換元,設(shè)y=x2+x-1,方程整理可得3x2-2xy-y2=0,可解得y=-3x,y=x,再代入y=x2+x-1,求出方程的解并檢驗(yàn)。

        例6 解方程

        1x2+11x-8+1x2+2x-8+1x2-13x-8=0。

        分析:設(shè)y=x2+2x-8 方程整理可得y2-4xy-45x2=0,解得,再代入y=x2+2x-8中,求出方程的解并檢驗(yàn)。

        六、 系數(shù)對(duì)稱方程換元

        例7 解方程:6x4+5x3-38x2+5x+6=0

        分析:方程6x4和6,5x3和5x的系數(shù)相等,上面方程的系數(shù)是對(duì)稱的,可以通過(guò)變形后,換元:變形:6x2+5x-38+5x+6x2=0,

        6(x+1x)2+5(x+1x)-50=0,

        總之,換元法在解方程中是一種常用的方法,特別是解特殊方程中經(jīng)常能產(chǎn)生事半功倍的效果。

        作者簡(jiǎn)介:

        李志若,福建省泉州市,泉州師范學(xué)院附屬鵬峰中學(xué)。

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