晁 濤, 王雨瀟, 王松艷, 楊 明

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制與仿真中心, 黑龍江 哈爾濱 150001)

0 引 言

與傳統(tǒng)飛行器相比,高超聲速飛行器飛行速度高,突防能力強(qiáng),受到各軍事大國(guó)的普遍關(guān)注[1]。由于高超聲速飛行器極大的飛行速度和復(fù)雜的飛行環(huán)境,導(dǎo)致其動(dòng)力學(xué)具有強(qiáng)耦合、強(qiáng)非線性、強(qiáng)不確定性等特點(diǎn)。此外由于吸氣式高超聲速飛行器的“飛推一體化”設(shè)計(jì)構(gòu)型,在縱向通道內(nèi)飛行器呈現(xiàn)非最小相位特性[2]。這些特點(diǎn)給它的控制律設(shè)計(jì)帶來(lái)很大困難。

目前有關(guān)吸氣式高超聲速飛行器的六自由度建模和控制研究成果極少,絕大多數(shù)的控制方法研究都是針對(duì)飛行器的縱向三自由度模型。一些如線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator,LQR)等簡(jiǎn)單的線性控制方法建立在線性化的飛行器模型基礎(chǔ)上[3-5]。動(dòng)態(tài)逆和反步法等控制方法直接應(yīng)用在非線性模型上[6-10],但依賴于精確數(shù)學(xué)模型的方法會(huì)存在系統(tǒng)魯棒性問(wèn)題,反步設(shè)計(jì)會(huì)產(chǎn)生“微分爆炸”問(wèn)題[7]?？紤]到反步控制存在“復(fù)雜度爆炸”問(wèn)題,文獻(xiàn)[7-8]將動(dòng)態(tài)面控制引入到反步控制中,文獻(xiàn)[8]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)估計(jì)系統(tǒng)的不確定性,最后證明閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差是一致有界的。文獻(xiàn)[9]利用線性變參數(shù)模型(linear parameter-varying,LPV),設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制律實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤。

而對(duì)于非最小相位系統(tǒng),系統(tǒng)的相對(duì)階數(shù)小于系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù),傳統(tǒng)的反步法設(shè)計(jì)會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生不穩(wěn)定內(nèi)動(dòng)態(tài),無(wú)法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局穩(wěn)定。輸出重定義方法通過(guò)定義一個(gè)新的系統(tǒng)輸出使其變?yōu)橐粋€(gè)最小相位系統(tǒng),從而使系統(tǒng)可以用常規(guī)控制方法解決[11]。但輸出重定義方法存在其特有的應(yīng)用難題,一方面是目前不存在通用的方法來(lái)尋找這樣一個(gè)新輸出;另一方面輸出重定義方法也會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)新輸入不確定性。

對(duì)于飛行器系統(tǒng),其非最小相位特性給控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來(lái)了不小的難題。文獻(xiàn)[12]分析了欠驅(qū)動(dòng)再入飛行器的非最小相位特性,進(jìn)一步地,針對(duì)此飛行器姿控系統(tǒng)的非最小相位問(wèn)題,將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一種正則形式,給出系統(tǒng)非最小相位特性的定量判據(jù)。文獻(xiàn)[13]在此基礎(chǔ)上,加入了一種二階滑模控制方法,成功地鎮(zhèn)定了系統(tǒng)的不穩(wěn)定內(nèi)動(dòng)態(tài)。這也給一般的非最小相位問(wèn)題提供了解決思路。

對(duì)于尾控式飛行器,升降舵的改變會(huì)同時(shí)對(duì)飛行器的升力和俯仰力矩產(chǎn)生影響。在反步法設(shè)計(jì)過(guò)程中,如果不忽略尾翼對(duì)升力的影響,系統(tǒng)存在二階的不穩(wěn)定內(nèi)動(dòng)態(tài),系統(tǒng)的縱向通道存在非最小相位特性,這給控制律設(shè)計(jì)帶來(lái)了麻煩。在一些方法中,飛行器被人為加入鴨翼操縱面,利用鴨翼來(lái)抵消尾翼對(duì)升力產(chǎn)生的影響,系統(tǒng)因此轉(zhuǎn)變?yōu)樽钚∠辔幌到y(tǒng)[14-15],從而完成控制器設(shè)計(jì)。然而,鴨翼已被證明會(huì)產(chǎn)生更嚴(yán)重的氣動(dòng)熱問(wèn)題,無(wú)法直接加入到飛行器的執(zhí)行機(jī)構(gòu)中。一些文獻(xiàn)在沒(méi)有鴨翼的情況下針對(duì)非最小相位動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)控制律[16-18]。文獻(xiàn)[16]在反步法的設(shè)計(jì)中忽略了尾翼對(duì)系統(tǒng)升力的影響,從而使系統(tǒng)相對(duì)階與系統(tǒng)階數(shù)相等,消除了內(nèi)動(dòng)態(tài),最后通過(guò)積分反饋來(lái)消除由于忽略尾翼影響造成的跟蹤靜差。文獻(xiàn)[17]將高增益反饋與飽和低增益反饋相結(jié)合,迫使系統(tǒng)表現(xiàn)出二時(shí)間尺度特性。然后利用非線性系統(tǒng)的小增益定理,證明閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。文獻(xiàn)[18]通過(guò)輸出重定義方法來(lái)解決非最小相位問(wèn)題。選取俯仰角偏差作為新的輸出,此時(shí)內(nèi)動(dòng)態(tài)彈道傾角為穩(wěn)定的,系統(tǒng)是最小相位的。而這同時(shí)為系統(tǒng)帶來(lái)了輸入不確定性,文中加入積分控制來(lái)保證系統(tǒng)無(wú)靜差。通過(guò)利用非線性系統(tǒng)的小增益定理和自適應(yīng)控制,使得閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差是漸近穩(wěn)定的。

針對(duì)帶有非最小相位特性的吸氣式高超聲速飛行器控制問(wèn)題,借鑒飛行器姿控系統(tǒng)非最小相位問(wèn)題中所應(yīng)用的轉(zhuǎn)換正則形式方法,設(shè)計(jì)了一種飛行器縱向輸出跟蹤控制方法。對(duì)于不具有非最小相位特性的速度子系統(tǒng),運(yùn)用動(dòng)態(tài)逆控制技術(shù)設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器;針對(duì)具有非最小相位特性的高度子系統(tǒng),首先選擇合理的局部微分同胚,將縱向俯仰通道模型轉(zhuǎn)換為正則形式,得到內(nèi)動(dòng)態(tài)。通過(guò)對(duì)內(nèi)動(dòng)態(tài)進(jìn)行穩(wěn)定性分析并給出系統(tǒng)非最小相位特性的判據(jù)。最后基于Lyapunov方程和最小范數(shù)控制策略設(shè)計(jì)了縱向通道控制器,控制器有效地抑制了系統(tǒng)內(nèi)動(dòng)態(tài),達(dá)到了良好的控制效果。

1 模型描述

一般的吸氣式高超聲速飛行器縱向模型描述[19]為

(1)

系統(tǒng)擁有4個(gè)狀態(tài)[V,γ,θ,Q]T和2個(gè)控制量[Φ,δe]T。模型參數(shù)及適用范圍來(lái)源于文獻(xiàn)[20],推力T、阻力D、升力L、俯仰力矩M擬合如式(2)所示,且各變量的含義及模型適用范圍如表1所示。

(2)

2 非最小相位特性判定

2.1 系統(tǒng)非最小相位特性分析

針對(duì)高度子系統(tǒng)

(3)

(4)

(5)

對(duì)于高度子系統(tǒng),系統(tǒng)輸出為彈道傾角γ,控制量為升降舵δe。從式(3)不難得到,系統(tǒng)相對(duì)階為1,小于系統(tǒng)階數(shù)3,所以系統(tǒng)存在二階內(nèi)動(dòng)態(tài)。

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)仿真分析,二階零動(dòng)態(tài)均呈發(fā)散趨勢(shì),在不穩(wěn)定零動(dòng)態(tài)的影響下,系統(tǒng)的外部輸出也會(huì)迅速超出可行范圍,系統(tǒng)具有非最小相位特性。

2.2 系統(tǒng)非最小相位特性判據(jù)

針對(duì)高度子系統(tǒng),存在一個(gè)局部微分同胚，即

Φ(x):x→(ζ,η)

(6)

將式(3)～式(5)轉(zhuǎn)化為正則形式。轉(zhuǎn)化后的正則形式可表示為

(7)

其中,外動(dòng)態(tài)

(8)

內(nèi)動(dòng)態(tài)

(9)

定理1若飛行器系統(tǒng)(1)參數(shù)滿足條件

(10)

則此飛行器的高度子系統(tǒng)具有非最小相位特性。

(11)

(12)

式中

(13)

(14)

對(duì)內(nèi)動(dòng)態(tài)η2求取二階導(dǎo)數(shù),得到

(15)

若系統(tǒng)滿足式(10),則

(16)

則方程(15)存在正根,內(nèi)動(dòng)態(tài)η不穩(wěn)定,系統(tǒng)具有非最小相位特性。

證畢

上述定理為飛行器模型的非最小相位特性分析提供了關(guān)于氣動(dòng)參數(shù)的定量判據(jù)。

從實(shí)際飛行器氣動(dòng)特性的物理意義上來(lái)講,氣動(dòng)舵在產(chǎn)生升力的同時(shí),會(huì)產(chǎn)生俯仰力矩,從而會(huì)改變飛行器的攻角,這部分攻角所產(chǎn)生的升力與氣動(dòng)舵產(chǎn)生的升力方向相反。而式(10)成立,代表后者由于攻角產(chǎn)生的升力要大于氣動(dòng)舵本身產(chǎn)生的升力。在一般的飛行器中,縱向通道采用尾翼控制,高度子系統(tǒng)基本都會(huì)具有非最小相位特性。

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 速度子系統(tǒng)

對(duì)于速度子系統(tǒng)

(17)

(18)

式中

(21)

設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)逆控制器

?1]

(22)

得到

(23)

根據(jù)式(23)可以看出,所設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)逆控制器可以保證系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)速度通道的漸近跟蹤。

3.2 高度子系統(tǒng)

(24)

首先設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)逆控制器,令

(25)

得到

(26)

式中,u為虛擬控制量。

將式(26)代入正則形式的系統(tǒng)方程(7),系統(tǒng)可以寫(xiě)為

(27)

式中

z=[ζη1η2]T

(28)

(29)

B=[1 0 0]T

(30)

Γ=[0Γ1Γ2]T

(31)

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)z的線性反饋、鎮(zhèn)定內(nèi)動(dòng)態(tài),令

u=u′-Kz

(32)

選取合適的增益矩陣K=[k1k2k3],使得A′=A-BK為Hurwitz矩陣。

此時(shí)系統(tǒng)方程變?yōu)?/p>

(33)

對(duì)任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q,存在P使得Lyapunov方程成立，即

A′P+PA′=-Q

(34)

選取Lyapunov函數(shù)

V=zTPz

(35)

對(duì)V求導(dǎo)得到

(36)

基于最小范數(shù)控制策略,有

(37)

則偽控制量

(38)

根據(jù)式(25)、式(38)可得原系統(tǒng)的彈道傾角輸出跟蹤控制器為

(39)

從控制器設(shè)計(jì)過(guò)程來(lái)看,在動(dòng)態(tài)逆控制器的基礎(chǔ)上加入了z的反饋?lái)?xiàng),成功地解決了單一動(dòng)態(tài)逆控制器會(huì)使內(nèi)動(dòng)態(tài)發(fā)散的問(wèn)題。

值得一提的是,在其他一些解決飛行器非最小相位問(wèn)題的方法中,角度積分項(xiàng)反饋經(jīng)常會(huì)被加入到控制器中,解決由于忽略模型項(xiàng)造成的穩(wěn)態(tài)誤差等問(wèn)題。而本文所提出方法的內(nèi)動(dòng)態(tài)η2經(jīng)計(jì)算得到的單位是rad×s2,是關(guān)于角度二次型的積分項(xiàng),與其他方法得到了相似的結(jié)果。所以,角度積分項(xiàng)反饋在處理非最小相位問(wèn)題的方法中起到的作用還值得深入研究。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證算法的有效性,給出了一組巡航狀態(tài)下的吸氣式高超聲速飛行器仿真示例。考慮吸氣式高超聲速飛行器縱向模型,表2給出了模型參數(shù)適用范圍內(nèi)的一組飛行器的初始條件。

表2 飛行器初始條件

首先驗(yàn)證高超聲速飛行器高度子系統(tǒng)是否具有非最小相位特性,即

(40)

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可以判斷此高超聲速飛行器的高度控制子系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)。

設(shè)置飛行器縱向跟蹤指令為

Vc=8 860 ft/s

(41)

γc=0

(42)

首先采用常用的思路,忽略模型中升降舵對(duì)升力的影響,使模型變?yōu)樽钚∠辔幌到y(tǒng),這樣可以采用標(biāo)準(zhǔn)的反步法來(lái)設(shè)計(jì)控制器。燃油節(jié)流率和升降舵可以分別實(shí)現(xiàn)對(duì)速度V和彈道傾角γ的控制,仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 反步法跟蹤誤差Fig.1 Tracking errors of back-stepping method

從圖1可以看出,飛行器在25 s左右達(dá)到穩(wěn)定跟蹤,由于在彈道傾角方程中忽略了舵偏角對(duì)其的影響,其中彈道傾角γ存在穩(wěn)態(tài)誤差,約為0.01 rad。

下面采用文中所設(shè)計(jì)控制器來(lái)進(jìn)行仿真。根據(jù)上文控制器設(shè)計(jì)原則選取控制器參數(shù),令式(32)中增益向量為

K=[15,-1,1]T

(43)

仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 跟蹤誤差Fig.2 Tracking errors

可以看出,采用文中提出的基于模型正則形式的狀態(tài)反饋控制時(shí),系統(tǒng)最終彈道傾角的穩(wěn)態(tài)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采用傳統(tǒng)反步法控制時(shí)的穩(wěn)態(tài)彈道傾角誤差。

圖3 姿態(tài)角響應(yīng)曲線Fig.3 Pitch response curve of attitude angle

圖4 舵偏角和油門變化曲線Fig.4 Variation curve of rudder angle and throttle

圖5 內(nèi)動(dòng)態(tài)變化曲線Fig.5 Variation curve of internal dynamics

飛行器在25 s左右達(dá)到穩(wěn)定跟蹤,跟蹤效果良好,誤差和收斂速度均在可接受范圍內(nèi)。圖3～圖5中狀態(tài)在12 s左右的拐點(diǎn)為燃油節(jié)流率由飽和狀態(tài)轉(zhuǎn)為非飽和狀態(tài)所致。圖3為飛行器俯仰角和攻角的變化曲線,各狀態(tài)在最初短暫的振蕩后趨于平穩(wěn),并且整個(gè)過(guò)程都處在可行約束范圍內(nèi)。圖4為舵偏角與燃油節(jié)流率的變化曲線,舵偏角最終穩(wěn)定在0.16 rad左右,由于加速指令在前12 s處于飽和狀態(tài),燃油節(jié)流率在25 s以后穩(wěn)定在0.3左右。圖5為高度子系統(tǒng)二階內(nèi)動(dòng)態(tài)的變化曲線,從圖中可以看出,系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)得到了有效的鎮(zhèn)定,在25 s左右都收斂到一個(gè)穩(wěn)定值。

仿真結(jié)果證明，所設(shè)計(jì)控制器可以在保證系統(tǒng)外部狀態(tài)跟蹤效果的同時(shí),有效地鎮(zhèn)定系統(tǒng)的不穩(wěn)定內(nèi)動(dòng)態(tài),解決了高超聲速飛行器高度子系統(tǒng)的非最小相位問(wèn)題。

需要強(qiáng)調(diào)的是,文中所設(shè)計(jì)控制器重點(diǎn)在于提出一種新方法來(lái)解決高超聲速飛行器的高度子系統(tǒng)的非最小相位問(wèn)題,鎮(zhèn)定系統(tǒng)的不穩(wěn)定內(nèi)動(dòng)態(tài),暫時(shí)并未考慮系統(tǒng)魯棒性、收斂性能等問(wèn)題。文中模型正則變換后,只結(jié)合簡(jiǎn)單控制方法來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)鎮(zhèn)定,后期會(huì)在此研究基礎(chǔ)上加入非線性干擾觀測(cè)器,或結(jié)合一些魯棒性強(qiáng)的控制方法來(lái)解決系統(tǒng)的魯棒性問(wèn)題,所設(shè)計(jì)控制器會(huì)適應(yīng)更大范圍、更強(qiáng)干擾的飛行條件。

5 結(jié) 論

針對(duì)一類具有非最小相位特性的吸氣式高超聲速飛行器提出了一個(gè)判定非線性系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)的判據(jù),并針對(duì)非最小相位系統(tǒng)的縱向軌跡跟蹤控制問(wèn)題,給出了一種跟蹤控制方法,成功地鎮(zhèn)定了系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)。

方法的意義在于提出基于模型正則變換后的狀態(tài)反饋方法來(lái)解決高超聲速飛行器的高度子系統(tǒng)的非最小相位問(wèn)題。方法給出了吸氣式高超聲速飛行器系統(tǒng)非最小相位特性與系統(tǒng)氣動(dòng)參數(shù)之間的定量判據(jù);通過(guò)轉(zhuǎn)換縱向俯仰通道模型轉(zhuǎn)換為正則形式,實(shí)現(xiàn)了內(nèi)動(dòng)態(tài)的鎮(zhèn)定,同時(shí)避免反步法的微分爆炸問(wèn)題,控制器設(shè)計(jì)過(guò)程較為簡(jiǎn)單。所提出控制方法依賴于精確模型的推導(dǎo),會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)魯棒性問(wèn)題。魯棒控制方法與本文提出方法的結(jié)合應(yīng)用是接下來(lái)的研究方向。

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