張佳佳, 陸曉飛, 陳 輝, 季正燕

(空軍預(yù)警學(xué)院一系, 湖北 武漢 430019)

0 引 言

一直以來,均勻線陣(uniform Linear array,ULA)以其陣列結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,陣列流型具有范德蒙德矩陣結(jié)構(gòu)特點(diǎn)備受關(guān)注,各種高分辨算法都是基于ULA發(fā)展推廣而來的。在陣元間距相等的約束條件下,只要陣元數(shù)目確定,陣列孔徑就確定了,分辨力也就確定了。要想提高分辨力只能增加陣元數(shù)目,這無疑大大增加了成本,而且還會(huì)引起高分辨算法計(jì)量的增加,因此為解決這一難題非均勻線陣(non-ULA,NULA)[1-2]應(yīng)運(yùn)而生。經(jīng)過精心設(shè)計(jì)的NULA能夠滿足在相同陣元數(shù)的前提下?lián)碛懈蟮奶炀€孔徑,進(jìn)而提高波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)分辨率。同時(shí),相較于ULA來說,NULA更便于實(shí)現(xiàn),給天線排布方式帶來很大的靈活性。

類似于傳統(tǒng)的ULA,NULA也會(huì)受到各種陣列誤差的影響,尤其是陣元間的互耦誤差。幾十年來,涌現(xiàn)出很多互耦誤差自校正方法。例如,文獻(xiàn)[3-4]都是基于子空間的原理,利用互耦矩陣的特殊性,使角度和互耦系數(shù)解耦合。此類方法不需要高維非線性搜索,計(jì)算量小,但對(duì)陣列結(jié)構(gòu)有要求。文獻(xiàn)[5-6]同時(shí)運(yùn)用了陣列結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和互耦矩陣的帶狀對(duì)稱Toeplitz特性,結(jié)合旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimation signal parameters via rotational invariance technique, ESPRIT)算法,將角度和互耦系數(shù)分離。此類方法無需先驗(yàn)知識(shí),也不需要迭代搜索。文獻(xiàn)[7]提出了歸一化空間譜的方法去除部分耦合誘導(dǎo)的虛假峰值,成功提高分辨力,穩(wěn)健估計(jì)信號(hào)來向。文獻(xiàn)[8]利用源信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性,由盲源分離算法估計(jì)廣義陣列的陣列流型,而后利用互耦矩陣特性將DOA估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)可分離的非線性最小二乘問題,此類算法無需高維搜索和迭代,對(duì)互耦自由度要求低,穩(wěn)健性高。文獻(xiàn)[9]針對(duì)混合信源DOA估計(jì)和互耦誤差校正提出方法。首先根據(jù)互耦矩陣特點(diǎn),粗略估計(jì)獨(dú)立源的DOA,而后結(jié)合斜投影和前后平滑實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì),最后利用估計(jì)的DOA,提出非子空間類的校正方法。近年來,壓縮感知的方法在DOA估計(jì)方面得到廣泛應(yīng)用,研究者們也開始將其運(yùn)用到陣列誤差的校正上來。文獻(xiàn)[10]采用了貝葉斯的方法聯(lián)合估計(jì)DOA和互耦系數(shù),充分運(yùn)用到了互耦矩陣稀疏特性,但過程中仍需要迭代運(yùn)算,計(jì)算量大,估計(jì)時(shí)間久。然而NULA的互耦矩陣并不具備Toeplitz特性,給NULA互耦誤差自校正帶來了很大的困難。文獻(xiàn)[11]針對(duì)NULA中的最小冗余陣,將低秩恢復(fù)的思想運(yùn)用到陣列協(xié)方差重構(gòu)中,解決DOA估計(jì)和互耦誤差問題。此方法多次運(yùn)用近似思想,必然會(huì)導(dǎo)致估計(jì)精度下降,中間的迭代過程也會(huì)使計(jì)算量增加。文獻(xiàn)[12]比較3種不同的NULA,針對(duì)偶極天線和微帶天線,提出解決互耦誤差的方法。文獻(xiàn)[13]在單快拍情況下針對(duì)L型NULA互耦校正提出解決方法。算法推導(dǎo)了不具有內(nèi)插變換的無互耦協(xié)方差矩陣與互耦和內(nèi)插變換的協(xié)方差矩陣之間的近似優(yōu)化,形成了用于互耦校正和DOA估計(jì)的全局優(yōu)化問題。此方法中需要交替的優(yōu)化過程計(jì)算量大。文獻(xiàn)[14]采用了輔助信源的方法,通過選擇天線構(gòu)造3個(gè)分時(shí)發(fā)射的校正源,得到3個(gè)方位校正數(shù)據(jù),聯(lián)合估計(jì)互耦和幅相誤差。在低信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)情況下占優(yōu)勢(shì),但誤差較大或天線旋轉(zhuǎn)角度小時(shí)算法會(huì)失效。同樣，針對(duì)NULA的互耦和幅相誤差,文獻(xiàn)[15]不需要校正源,而是利用更一般的線性幾何方法來提高估計(jì)能力,方法還可推廣到非均勻圓陣中。

本文主要針對(duì)關(guān)于中心原點(diǎn)對(duì)稱的NULA,解決DOA估計(jì)和互耦誤差自校正的問題。通過分析陣列結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)此類陣列互耦矩陣具有關(guān)于反對(duì)角線對(duì)稱的特點(diǎn),可將其分解成2個(gè)具有Toeplitz特點(diǎn)的矩陣之差的形式,從而方便實(shí)現(xiàn)角度和互耦系數(shù)的解耦合,而后結(jié)合子空間原理,同時(shí)估計(jì)信號(hào)的DOA和互耦系數(shù)。算法可以有效地避免高維搜索和迭代過程,簡(jiǎn)化計(jì)算量,同時(shí)具有精度高、分辨力強(qiáng)的特點(diǎn),可以有效地解決關(guān)于中心陣元對(duì)稱的NULA互耦問題。

1 數(shù)據(jù)模型的建立

1.1 理想情況下NULA的數(shù)據(jù)模型

一個(gè)N=5的NULA位于x軸上,陣元位置為xk(k=1,2,…,5),陣列布局如圖1所示,呈現(xiàn)出根據(jù)中心陣元對(duì)稱分布的形態(tài),其中d=0.5λ表示距離單元,λ代表波長(zhǎng),將原點(diǎn)處作為參考點(diǎn)。為簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程,僅考慮現(xiàn)實(shí)中方位角的應(yīng)用情況,方位角為θ∈(-180°,180°)。

圖1 NULA的陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Array structure of NULA

第k個(gè)陣元的相位差為

(1)

導(dǎo)向矢量可表示為

a(θ)=exp(-jβk)

(2)

整個(gè)陣列的流型矩陣為

A=[a(θ1),a(θ2),…,a(θM)]

(3)

式中,M表示信號(hào)源數(shù)。則陣列的接收數(shù)據(jù)可以表示為

X(t)=AS(t)+N(t)

(4)

式中,X(t)為數(shù)據(jù)矢量;A為理想無誤差時(shí)的陣列流型矩陣;S(t)為信號(hào)矢量;N(t)為均值為0、方差為δ2的高斯白噪聲(white Gaussian noise, WGN)矢量。

1.2 互耦誤差存在情況下的數(shù)據(jù)模型

由文獻(xiàn)[16]可知,互耦系數(shù)與陣元間距之間存在反比關(guān)系。當(dāng)陣元間距較小時(shí),陣元間的互耦效應(yīng)強(qiáng),互耦系數(shù)大;當(dāng)陣元間距大到一定程度導(dǎo)致稀疏,陣元間的互耦效應(yīng)就很小,互耦系數(shù)近似為0。根據(jù)文獻(xiàn)[8,17],通常情況下對(duì)于線陣來說,存在互耦影響的2個(gè)陣元之間距離不會(huì)超過2.5λ。因此在本文中,假定當(dāng)陣元間距大于2.5λ時(shí),2個(gè)陣元之間的互耦為0。不同于ULA的等距分布,關(guān)于中心陣元對(duì)稱的NULA的互耦矩陣不再具有Toeplitz特性,卻具有以下特點(diǎn):

(1) 由互易原理可知,陣元i對(duì)陣元j的互耦效應(yīng)等于陣元j對(duì)陣元i的互耦效應(yīng),即

zi,j=zj,i

(5)

(2) 陣元對(duì)自身的互耦系數(shù)為1,即

zi,j=1,i=j

(6)

(3) 當(dāng)2個(gè)陣元之間的距離大于存在互耦效應(yīng)的最大距離p1時(shí),互耦系數(shù)為0,即

zi,j=0,dij>p1

(7)

(4) 具有相同間距的陣元,互耦系數(shù)相同,即

zi,j=z(N+1-i),(N+1-j)

(8)

例如當(dāng)互耦自由度分別為2和3時(shí),互耦矩陣可以表示為

(9.2)

可以看出,互耦矩陣Z可以分解成兩部分矩陣之差,即有

Z=D-B

(10)

式中,一部分是具有帶狀對(duì)稱Toeplitz特性的矩陣D,可以由其第一行元素唯一表征;而另外一部分矩陣B則具有以下特性:

(1) 第1行和最后1行、第1列和最后1列均為0。

(2) 除掉特性(1)中為0的行和列,剩下的矩陣仍具有帶狀對(duì)稱的Toeplitz特性。

因此,當(dāng)互耦存在時(shí),整個(gè)陣列的接收數(shù)據(jù)可表示為

X(t)=ZAS(t)+N(t)

(11)

在快拍數(shù)L有限的情況下,陣列協(xié)方差矩陣可表示為

(12)

2 互耦自校正算法

2.1 原理描述

設(shè)互耦自由度為p,則互耦系數(shù)矢量z=[g1,g2,…,gp]T,此時(shí)陣列流型矩陣為

[Za(θ1),Za(θ2),…,Za(θM)]

(13)

當(dāng)互耦存在時(shí),根據(jù)子空間原理,多重信號(hào)分類(multiple signal classification, MUSIC)算法的譜估計(jì)可表示為

(14)

若采用聯(lián)合搜索來估計(jì)角度和互耦系數(shù),搜索維數(shù)由無互耦時(shí)的一維變?yōu)?p+M-1)維,計(jì)算量很大,無法滿足實(shí)時(shí)處理要求。根據(jù)式(10),Z可分解為兩部分之差,則有

Da(θ)-Ba(θ)=T1[a(θ)]z-T2[a(θ)]z

(15)

式中,T1和T2分別代表矩陣D和B所對(duì)應(yīng)的重構(gòu)矩陣。因矩陣D具有帶狀對(duì)稱的Toeplitz特點(diǎn)可知,T1可表示為

T1=Ta+Tb

(16)

(18)

當(dāng)p=2時(shí)

(19)

(20)

(21)

當(dāng)p=3時(shí)

(22)

(23)

(24)

當(dāng)p=4時(shí)

(25)

(26)

(27)

隨著p值的增大,重構(gòu)矩陣T1和T2的表達(dá)式越來越復(fù)雜,但他們的表達(dá)式是唯一確定的。將得到的T1和T2代入式(15)整理可得

(28)

將式(28)代入式(14)可得

(29)

zHQ(θ)z=0

(30)

很顯然,互耦誤差的存在使得z≠0,那么式(30)成立的條件就是N×p維矩陣Q(θ)出現(xiàn)秩損。當(dāng)且僅當(dāng)方位角為真實(shí)信號(hào)來向時(shí),滿秩矩陣Q(θ)才會(huì)變成奇異陣。因此,對(duì)信號(hào)角度的估計(jì)便可由式(31)或式(32)來完成。

(31)

(32)

式中,λmin[·]和det[·]分別為求矩陣最小特征值和矩陣行列式的算子。而后利用角度估計(jì)值,結(jié)合式(33)進(jìn)一步估計(jì)互耦系數(shù)。

(33)

式中,emin[·]表示求矩陣最小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量。

2.2 算法步驟

NULA互耦自校正(self-calibration of mutual coupling for NULA, SCNL)算法的基本步驟如下:

步驟2通過式(16)～式(27)分別獲得相應(yīng)的重構(gòu)矩陣T1和T2;

步驟3根據(jù)式(28)構(gòu)造重構(gòu)矩陣T,并求得Q(θ);

3 仿真分析

一個(gè)5元NULA位于x軸上,陣元位置如圖1所示,其中d=0.5λ,λ為波長(zhǎng),噪聲為零均值WGN,在方位角度12°和16°的方位上存在2個(gè)非相干信號(hào)源。令整個(gè)陣列的互耦自由度為p=3,互耦系數(shù)矢量為z=[1;0.882 1+0.658 3j;-0.347 6+0.146 9j]。

實(shí)驗(yàn)1NULA互耦校正空間譜圖

當(dāng)快拍數(shù)為300,圖2(a)和圖2(b)分別表示在不同SNR情況下,互耦未知、互耦已知、經(jīng)典自校正(簡(jiǎn)稱WF)算法及本文提出的2種方法的空間譜曲線的比較。

圖2 空間譜圖Fig.2 Spatial spectrum

由仿真結(jié)果可以看出,當(dāng)互耦誤差存在時(shí),普通的MUSIC算法完全失效。WF算法可以估計(jì)DOA,但是SNR較小的情況下測(cè)得的角度偏離實(shí)際值較遠(yuǎn),精度相對(duì)較差。而本文提出的SCNLE和SCNLD算法與互耦已知時(shí)的MUSIC算法均可以在信號(hào)來向處形成一個(gè)尖銳的峰值,準(zhǔn)確地估計(jì)信號(hào)的DOA。實(shí)驗(yàn)說明了本文算法的有效性,在SNR較低時(shí),本文算法的性能要優(yōu)于WF算法。

實(shí)驗(yàn)2角度估計(jì)性能分別與SNR和快拍數(shù)的關(guān)系

當(dāng)快拍數(shù)為300,SNR從0 dB變化到30 dB,間隔2 dB,通過100次蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn),比較互耦已知、WF算法、SCNLD算法、SCNLE算法的角度估計(jì)性能隨SNR變化的關(guān)系。這里限定算法能同時(shí)分辨出2個(gè)獨(dú)立信源,并且估計(jì)偏差小于0.5°時(shí)視為成功。圖3給出了4種算法成功概率的比較。

圖3 成功概率與SNR的關(guān)系Fig.3 Relationship between success probability and SNR

圖4則給出了4種算法均方根誤差(root mean square error, RMSE)隨SNR的變化關(guān)系。

圖4 RMSE與SNR的關(guān)系Fig.4 Relationship between RMSE and SNR

同理,當(dāng)SNR為10 dB不變情況下,快拍數(shù)從10變化到510,圖5和圖6分別給出了4種算法的成功概率和RMSE隨快拍數(shù)變化的關(guān)系。

整體來說,SCNLD和SCNLE算法的估計(jì)性能相差不大。由圖3和圖5可知,當(dāng)SNR較低時(shí),本文算法的成功概率低于互耦已知的MUSIC 算法,但明顯優(yōu)于WF算法,當(dāng)SNR大于10 dB以后或快拍數(shù)大于300,本文算法百分百成功。由圖4和圖6可知,SCNLD和SCNLE算法的RMSE均略大于互耦已知的MUSIC算法的,小于WF算法。

圖5 成功概率與快拍數(shù)的關(guān)系Fig.5 Relationship between success probability and thenumber of snapshot

圖6 RMSE與快拍數(shù)的關(guān)系Fig.6 Relationship between RMSE and the number of snapshot

實(shí)驗(yàn)3互耦系數(shù)的估計(jì)

本實(shí)驗(yàn)考察了SCNLE算法對(duì)互耦系數(shù)的估計(jì)性能。定義互耦系數(shù)矢量的相對(duì)校正誤差為

(34)

圖7 互耦系數(shù)的校正誤差隨SNR變化的關(guān)系Fig.7 Relationship between correction error of mutual coupling coefficients and SNR

圖8則表示當(dāng)SNR為10 dB,快拍數(shù)從10到510時(shí),互耦系數(shù)的校正誤差隨快拍數(shù)的變化。

圖8 互耦系數(shù)的校正誤差隨快拍數(shù)變化的關(guān)系Fig.8 Relationship between correction error of mutual coupling coefficients and the number of snapshot

通過100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),表1、表2顯示了在快拍數(shù)為300時(shí),不同SNR情況下得到的互耦系數(shù)的估計(jì)。

表1 互耦系數(shù)g2的估計(jì)(真值0.882 1+0.658 3j)

表2 互耦系數(shù)g3的估計(jì)(真值-0.347 6+0.146 9j)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,隨著SNR的增加,ε值會(huì)越來越小。當(dāng)SNR大于15 dB時(shí),互耦校正誤差趨近0值。同樣,ε也會(huì)隨著拍數(shù)的增大而逐漸變小,最終趨近0值,說明估計(jì)出的互耦系數(shù)值十分接近真值。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)關(guān)于中心陣元對(duì)稱的五元NULA,提出互耦自校正算法。通過對(duì)NULA整體結(jié)構(gòu)的分析,發(fā)現(xiàn)其互耦矩陣具有關(guān)于反對(duì)角線對(duì)稱的特點(diǎn),并且可將其分解成2個(gè)矩陣之差的形式。其中的一個(gè)是具有帶狀對(duì)稱Toeplitz特性的矩陣,而另外一個(gè)矩陣除掉邊框?yàn)?的行和列,也具有Toeplitz矩陣的特性,這樣一來就可以方便地構(gòu)造出合適的重構(gòu)矩陣,實(shí)現(xiàn)角度和互耦系數(shù)的解耦合,而后根據(jù)子空間原理,就可實(shí)現(xiàn)DOA的估計(jì)和互耦系數(shù)的求解。本文所提算法不需要額外的輔助陣元和輔助信源,同時(shí)可以有效降低搜索的維數(shù),減少運(yùn)算量,在角度相隔較近的情況下仍然具有較高的估計(jì)精度,很好地解決了NULA的互耦問題,具有較大的實(shí)際意義。

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