邵晶晶,王秀蓮?

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津300387）

1988年,Hans U Gerber等[1]研究了經(jīng)典風(fēng)險模型下的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。關(guān)于索賠時間間隔服從相位分布的情況,Zhimin Zhang等[2]研究了兩種索賠的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；同時,Min Song等[3]研究了一種索賠的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；在帶干擾的模型下,Shan Shan Wang 等[4]和 Wuyuan Jiang等[5]分別研究了一種和兩種索賠的最大剩余；Lanpeng Ji等[6]研究了兩種更新過程的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；Hu Yang等[7]在離散風(fēng)險模型下研究了兩種跳躍方式的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)；卓文焱等[8]研究了在隨機回報模型下的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。學(xué)者們根據(jù)不同研究問題,選擇不同的罰金函數(shù),如：Hansj?rg Albrecher等[9]選取了罰金函數(shù)取為指數(shù)形式；Hans U Gerber等[10]選取了罰金函數(shù)為w(U(T))。是在隨機回報下考慮索賠時間間隔為相位分布且有兩種跳躍方式的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)。

1 模型建立

考慮完備概率空間(Ω,?,P)上Sparre Andersen風(fēng)險盈余過程{C (t),t≥0},

其中u是初始資產(chǎn),c是單位時間內(nèi)收取的保費；{N (t),t≥0}表示到t時刻索賠和盈利發(fā)生的總數(shù),N(t)=sup{n :V1+V2+…+Vn≤t}(s u p{? }=0),

其中時間間隔Vi是獨立同分布的正值Vi～V隨機變量,它們有共同的密度函數(shù) fV(x)且期望為μV。{Xi,i=1,2,…} 是獨立同分布的非零隨機變量,Xi～X有密度函數(shù) f(x)且期望為 μ。假設(shè)X有正數(shù)和負數(shù)值集,其中正數(shù)表示索賠額,負數(shù)表示保險公司的隨機盈利。最后,假設(shè){Xi}和{Vi}相互獨立。

假設(shè)投資回報過程為Rt=δt,其中δ≥0為常數(shù),則t時刻保險公司的盈余過程為：

假設(shè)時間間隔V有相應(yīng)的狀態(tài)空間E={0 ,1,2,…,M},其中1,2,…,M是轉(zhuǎn)移態(tài),0是吸收態(tài)。索賠時間間隔隨機變量Vi的分布 fV(x)是相位分布,其中且是 n×n矩陣,且a)T有為長度為 n 的列向量且所有元素都是1,有

對于密度函數(shù) f(x)可通過下面的形式表示：

其中0＜p+,p-＜1,p++p-=1,f+,f-是兩個定義在?+上的密度函數(shù)且I(·)為示性函數(shù)。在這里,f+和 f-分別代表索賠額和隨機盈利的密度函數(shù)。實際上,“+”表示X是正的,相反的,“-”表示X是負的。

2 積分微分方程滿足的積分-微分方程

在給定初始馬氏態(tài)J0=i(i = 1,2,…,M),根據(jù)定義:?i(u)=

(其中 τ=inf{t : C(t)＜0} 是破產(chǎn)時間,有 τ=∞,若C(t)≥0,?t∈?。期初盈余u的破產(chǎn)概率可定義為其中

在短時間(0 ,t]內(nèi),根據(jù)首次狀態(tài)發(fā)生變化和首次跳躍發(fā)生的時刻進行討論,有以下四種情況：

①在(0 ,t]區(qū)間內(nèi)既沒有發(fā)生狀態(tài)改變也沒有發(fā)生跳躍；

②在(0 ,t]區(qū)間內(nèi)發(fā)生了狀態(tài)改變但沒有發(fā)生跳躍；

③在(0 ,t]區(qū)間內(nèi)發(fā)生了跳躍但沒有發(fā)生狀態(tài)改變；

④在(0 ,t]區(qū)間內(nèi)既發(fā)生了跳躍又有發(fā)生狀態(tài)改變。

令若在 (0 ,t]區(qū)間內(nèi)沒有發(fā)生跳躍,則有C(t)=u+h(t)。由馬氏性有,

故（5）式可化為

其中根據(jù)泰勒展開有：

其中u≤

利用文獻[8]中引理1的結(jié)論有:

上式關(guān)于t求導(dǎo)得：

在式(8)和式(9)中令t→0,并利用文獻[5]中附錄的結(jié)論有：

對于式(6)關(guān)于t求導(dǎo)得：令t→0并將(10)和(11)帶入(12),整理可得：其中

I=diag(1 , 1,…,1),其中取定w(u ,x-u)=1,0?表示一個長度為n的列向量,所有元素均為0。當(dāng)時,破產(chǎn)不會發(fā)生,故有故有

3顯式表達式

對f-(x)=λe-λx,其中 λ 為指數(shù)參數(shù)。對等式(14)兩邊作Laplace變換,得到方程:

其中

此時將λ看作變量,通過求解微分方程通解公式,可解（16）式有：

其中

對(17)式做Laplace逆變換可得出:

其中的Laplace逆變換。

接下來,當(dāng)1不是(u )的特征函數(shù)時,將（18）式中的u=0,可得到Φ(0)的值：

將(19)式帶入(17)可得的值為:

通過求解微分方程通解公式,可解（15）式有：

將(19)式和(20)式帶入(21)式就得到了s≠λ的表達式,故有：

對(22)做Laplace逆變換就得到了Φ(u)的表達式。

4結(jié)論

研究了在時間間隔為相位分布的情況下,兩種跳躍方式的連續(xù)時間投資回報更新過程?？紤]其中破產(chǎn)率函數(shù)恒為1時的情況,通過得到積分微分方程,找到合適的方法,進一步計算,得到該模型下的期望折現(xiàn)罰金函數(shù),在以后的那就中,我們可以考慮破產(chǎn)函數(shù)和向上跳躍服從的分布更加復(fù)雜的情況。

[1]HANS U，GERBER,ELIAS S W.On the time value of ruin[J].North American Actuarial Journal,1998,2(1)：48-72.

[2]ZHANG ZHIMIN,LI SHUANMING,YANG HU.The Gerber-Shiu discounted penalty functions for a risk model with two classes of claims[J].Journal of Computational&Applied Mathematics,2009,230(2):643-655.

[3]SONG MIN,MENG QINGBIN,WU RONG，eatl.The Gerber-Shiu discounted penalty function in the risk process with phase-type interclaim times[J].Applied Mathematics&Computation,2010,216(2):523-531.

[4]WANG SHAN SHAN,ZHANG CHUN SHENG.The Maximum Surplus before Ruin and Related Problems in a Jump-Diffusion Re?newal Risk Process[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(英文版),2011,27(12):2379-2394.

[5]JIANG WUYUAN,MA CHAOQUN.The maximum surplus before ruin for two classes of perturbed risk model[J].Applicable Analy?sis,2017:124-133.

[6]JI LANPENG,ZHANG CHUNSHENG.The Gerber-Shiu penalty functions for two classes of renewal risk processes[J].Journal of Computational&Applied Mathematics,2010,233(10):2575-2589.

[7]YANG HU,ZHANG ZHIMIN.On a discrete risk model with two-sided jumps[J].Journal of Computational&Applied Mathematics,2010,234(3):835-844.

[8]卓文焱,封林云,陳旭.隨機觀察和隨機回報的擴散風(fēng)險模型中的Gerber-Shiu函數(shù)研究[J].統(tǒng)計與決策,2014(23):7-11.

[9]HANSJ?RG ALBRECHER,CHEUNG C K,THONHAUSER S.Randomized observation periods for the compound Possion risk mod?el:the discounted penalty function[J].Scandinavian Actuarial Journal,2013(6):424-452.

[10]HANS U GERBER,SHIU ELIAS S W,YANG HAILIANG.The Omega model:from bankruptcy to occupation time in the red[J].European Actuarial Journal,2012,2(2):259-272.