周擁軍

（廣東省廣州市海珠外國語實(shí)驗(yàn)中學(xué)，廣東廣州 510220）

引 言

《方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)》是人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》A版必修1第三章《函數(shù)的應(yīng)用》第一節(jié)《函數(shù)與方程》的第一課時(shí)，主要內(nèi)容是函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，是一節(jié)概念課[1]。在授課中，采用以學(xué)生為主體的探究式教學(xué)方法，通過“設(shè)問—探索—?dú)w納—定論”層層遞進(jìn)的方式，精心設(shè)置一個(gè)個(gè)問題鏈，并以此為主線，由淺入深，循序漸進(jìn)，以培養(yǎng)學(xué)生的探究精神為出發(fā)點(diǎn)，為學(xué)生提供表現(xiàn)和成功的舞臺，滲透信心教育，讓學(xué)生經(jīng)歷知識形成和發(fā)展的過程，在體驗(yàn)中思考、創(chuàng)造，形成良好的思維品質(zhì)[2]。

一、以舊帶新，促進(jìn)聯(lián)想

問題1：判斷方程x2-2x-3=0根的個(gè)數(shù)，并求解。問題2：作函數(shù)y=x2-2x-3的圖象，并思考函數(shù)圖象與問題1中方程的根有什么聯(lián)系？問題3：上述關(guān)系對于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及其相應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)是否也成立呢？（請學(xué)生獨(dú)立完成如上問題）

教師點(diǎn)評：大家求出的方程根其實(shí)就是對應(yīng)函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，引出“函數(shù)零點(diǎn)”：對于函數(shù)y=f(x)，把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。（板書）

設(shè)計(jì)意圖：從問題1、2到問題3，建立方程與函數(shù)間關(guān)系，引入課題，經(jīng)歷特殊到一般，體驗(yàn)方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)差異，促成函數(shù)零點(diǎn)概念的形成，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的關(guān)系聯(lián)想。

二、深化零點(diǎn)概念，形成嚴(yán)謹(jǐn)思維

例1：求函數(shù)的零點(diǎn)。解：（略）。

完成變式練習(xí):求下列函數(shù)的零點(diǎn)。

圖1

圖2

生1：格式規(guī)范，書寫整潔，整個(gè)過程非常漂亮！研究函數(shù)先求定義域，再令函數(shù)值為0，解方程，求零點(diǎn)（圖1）。生2同學(xué)的解答基本正確，但有些問題，讓生2反思，問題在哪里？（圖2）生2：（有點(diǎn)害羞）教師，我將函數(shù)的零點(diǎn)寫成了坐標(biāo)點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)該是一個(gè)實(shí)數(shù)。師：能及時(shí)發(fā)現(xiàn)自己的問題，非常好！函數(shù)零點(diǎn)是令函數(shù)值為零的實(shí)數(shù)，所以大家一定要注意，函數(shù)的零點(diǎn)其實(shí)是一個(gè)實(shí)數(shù)，而非一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)。師：通過剛才的解題，大家能概括函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象之間的關(guān)系嗎？生3：函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根，即方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)就有零點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)，函數(shù)圖象與x軸就有交點(diǎn)。(板書結(jié)論)

設(shè)計(jì)意圖：通過對比、反思，教師的示范引領(lǐng)，及時(shí)糾正零點(diǎn)是函數(shù)與橫軸之交點(diǎn)，加深對零點(diǎn)定義的理解，突出重點(diǎn)。同時(shí)，通過零點(diǎn)概念的辨識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

三、通過位置探究，培養(yǎng)思維廣闊性

探究：已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且過點(diǎn)根據(jù)兩點(diǎn)可能位置作函數(shù)的可能圖象。并結(jié)合圖象思考：函數(shù)滿足什么條件時(shí)，在區(qū)間上一定有零點(diǎn)？（動手探究，并自薦上臺展示探究結(jié)果）

生4的結(jié)果如圖3。結(jié)論：當(dāng)A、B兩點(diǎn)在x軸兩側(cè)時(shí)，函數(shù)區(qū)間(a,b)上一定有零點(diǎn)。

生5的結(jié)果如圖4。結(jié)論：當(dāng)A、B兩點(diǎn)在x軸兩側(cè)時(shí)函數(shù)區(qū)間 (a,b) 上一定有零點(diǎn)，當(dāng)A、B兩點(diǎn)在x軸同側(cè)，函數(shù)在區(qū)間上可能有零點(diǎn)。

圖3

圖4

圖5

生6的結(jié)果如圖5。結(jié)論：當(dāng)A、B兩點(diǎn)在x軸同側(cè)時(shí)，函數(shù)可能有零點(diǎn)，可能沒有零點(diǎn)，如果有零點(diǎn)，一定是偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)A、B兩點(diǎn)在x軸兩側(cè)時(shí)，函數(shù)一定有零點(diǎn)，而且零點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)個(gè)。

師：三位同學(xué)的探究結(jié)果都正確，很好！特別是生6同學(xué)，不僅在研究函數(shù)零點(diǎn)是否存在的問題，還進(jìn)一步探究了函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，這是下一步要研究的問題，為他的這種探究精神鼓掌！

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)行兩點(diǎn)位置探究，通過圖形聯(lián)想，猜測可能出現(xiàn)的情況。當(dāng)兩點(diǎn)在軸同側(cè)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)甚至多個(gè)零點(diǎn)的情況，也可能無零點(diǎn)；當(dāng)兩點(diǎn)在軸兩側(cè)時(shí)，函數(shù)一定有零點(diǎn)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能是1個(gè)，也可能是多個(gè)。由此，培養(yǎng)思維的廣闊性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究過程，享受探究成功的快樂。

四、反饋練習(xí)，培養(yǎng)思維批判性

1.已知函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且有如下對應(yīng)值表（表1）。

表1 函數(shù)圖象對應(yīng)值

請寫出一定存在零點(diǎn)的區(qū)間_________。

2.能確定在區(qū)間（0,1）上有零點(diǎn)的函數(shù)是（ ）。

A.B.

C.D

3.函數(shù)在定義域內(nèi)有則函數(shù)在內(nèi)（ ）。

A.只有一個(gè)零點(diǎn) B.至少有一個(gè)零點(diǎn)

C.無零點(diǎn) D.無法確定有無零點(diǎn)

眾學(xué)生獨(dú)立完成反饋練習(xí)，師巡視指導(dǎo)，挑選同學(xué)進(jìn)行答案展示，大家一起討論。

設(shè)計(jì)意圖：三個(gè)反饋練習(xí)，初步體驗(yàn)定理運(yùn)用，達(dá)到“找出函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間”的問題，通過反饋交流、反思，糾正錯(cuò)誤，深刻理解函數(shù)零點(diǎn)區(qū)間內(nèi)涵，抓住關(guān)鍵，培養(yǎng)思維的批判性。

五、應(yīng)用知識，提升思維

例2 ：求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

小組討論解決方案，師巡視指導(dǎo)，參與學(xué)生討論，邀請小組派代表展示討論結(jié)果。

生11：我們討論的方案是，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，令解方程。方程有多少個(gè)根，函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)。不過，還沒想到如何解這個(gè)方程。師：從零點(diǎn)定義出發(fā)，研究零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方案可行。從概念開始思考，是研究數(shù)學(xué)的基本方法。如何求這類方程的近似根，是下節(jié)課的內(nèi)容。生12：我們解決問題的方案是，作函數(shù)的圖象，從圖象上觀察函數(shù)與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，有幾個(gè)交點(diǎn)說明有幾個(gè)零點(diǎn)。

表2 函數(shù)與軸焦點(diǎn)分析

因?yàn)楹瘮?shù)在定義域 ( 0,+∞) 內(nèi)是增函數(shù)，所以函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)。

生13：我們組在研究解決方案時(shí)，首先嘗試著解方程，但是解不出來。不過我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是由兩個(gè)增函數(shù)和相加而成，而這兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)分別是1和3，計(jì)算了，發(fā)現(xiàn)

解：列表。那么在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，而函數(shù)在定義域單調(diào)遞增，所以在定義域范圍內(nèi)應(yīng)該只有一個(gè)零點(diǎn)。師：很好！從函數(shù)的形聯(lián)想到根，用試根的方式來解決問題，同樣是解方程的重要思考方法。生14：我們組的解決方案是，令，移項(xiàng)得分別作函數(shù)和的圖象，方程的根即兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。觀察圖象，只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。將一個(gè)我們不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)我們熟悉的函數(shù)，將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。師：剛才大家提供了四種解決方案，方案1從零點(diǎn)定義出發(fā)解方程，根據(jù)根的個(gè)數(shù)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；方案2描點(diǎn)作函數(shù)草圖，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；方案3通過試根發(fā)現(xiàn)兩異號函數(shù)值，得到有零點(diǎn)區(qū)間，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；方案4將一個(gè)陌生函數(shù)變形為兩個(gè)熟悉的函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。大家的討論都很到位，四種方法雖思考方法和難易程度不同，但都是我們將來研究函數(shù)問題的重要方法。

設(shè)計(jì)意圖：通過小組合作研究，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度探索函數(shù)零點(diǎn)存在性判斷方法，開闊學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

結(jié) 語

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維習(xí)慣和思維方式的個(gè)性化表現(xiàn)形式，是衡量其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維程度、水平的重要指標(biāo)，在數(shù)學(xué)思維活動中起著決定性作用?？梢哉f，數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的差異決定了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的強(qiáng)弱?；仡櫛竟?jié)課，通過以下幾個(gè)方面培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

（1）在探究零點(diǎn)概念以及零點(diǎn)存在性判定定理的形成過程中，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性。通過研究“方程的根、函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)關(guān)系”的問題，引入函數(shù)零點(diǎn)的概念，并引導(dǎo)學(xué)生動手探究零點(diǎn)的存在條件，在經(jīng)歷定理歸納、辨析、概括的形成過程中，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性。

（2）通過引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性。例2是一道函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷問題，經(jīng)過小組合作研究、教師適當(dāng)點(diǎn)撥，學(xué)生從不同的角度提出四種解決問題的方案，學(xué)生的思維能力在問題的探索中得到發(fā)展，情感在互動交流中得以升華，知識在一步步思考中得以豐富，培養(yǎng)了學(xué)生思維品質(zhì)的廣闊性。

（3）引導(dǎo)學(xué)生“說思維”，培養(yǎng)思維的批判性。本課教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生“說思維”的活動貫穿始終，讓學(xué)生在“說思維”過程中自我肯定的同時(shí)及時(shí)糾正錯(cuò)誤，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的批判性。

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[S].北京:人民教育出版社,2003:16.

[2]孟勝奇.凸顯數(shù)學(xué)思維 追求教育本真——“幾何概型”教學(xué)實(shí)錄與反思[J].中國數(shù)學(xué)教育,2013,(06):30-33.