☉浙江省杭州高級中學(xué)錢江校區(qū) 俞 昕

一、問題提出

高考改革必然伴隨著教學(xué)安排、教學(xué)模式等的改革，由于選考學(xué)考的高考模式，高一就已經(jīng)開設(shè)了十門課，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)課時的減少，但事實(shí)上各地區(qū)的教學(xué)安排并沒有因為課時的銳減而有大的改變，所以就在一定程度上造成了課時的緊張、內(nèi)容的緊縮、趕進(jìn)度、重結(jié)果輕過程等現(xiàn)象.這些現(xiàn)象造成的結(jié)果與新課改的初衷是相悖的，所以如何契合高考改革與課程改革的步伐是值得我們一線教師探索與思考的問題.

隨著時代的變遷，人們的能力觀在逐漸發(fā)展，由傳統(tǒng)基礎(chǔ)教育目標(biāo)而發(fā)展起來的能力標(biāo)準(zhǔn)的局限性漸漸得以暴露.傳統(tǒng)的能力概念已經(jīng)不再適用，無法代表新時期的教育目標(biāo)，這也就進(jìn)一步催生了“素養(yǎng)”概念的產(chǎn)生.為了把握基礎(chǔ)教育的“基礎(chǔ)”這一根本，素養(yǎng)中的“關(guān)鍵素養(yǎng)”、“核心素養(yǎng)”得以強(qiáng)調(diào)和凸顯.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一般分為六個方面：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透與培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)該成為現(xiàn)今日常教學(xué)銜接高考的重要突破口.筆者將反思高考改革以后的教學(xué)現(xiàn)狀，并結(jié)合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)談?wù)勛约旱囊恍┫敕?

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)策略探討

1.在整合數(shù)學(xué)中追求數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性

新課改以來各種數(shù)學(xué)教材的一個共同特點(diǎn)，即是認(rèn)為應(yīng)當(dāng)完全打破關(guān)于代數(shù)（算術(shù)）、幾何等學(xué)科分支的傳統(tǒng)區(qū)分，從而事實(shí)上也就可以被看成對于“整合數(shù)學(xué)”的直接追求.例如，德國著名數(shù)學(xué)家克萊因（F.Klein）的著名論點(diǎn)：“幾何學(xué)研究的是（各種）變換群之下的不變量”，以及法國布爾巴基學(xué)派關(guān)于“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的深入研究等.鄭毓信先生指出：數(shù)學(xué)中不同學(xué)科分支的整合決非易事，更不應(yīng)將此簡單地等同于相關(guān)內(nèi)容在形式上的簡單組合；恰恰相反，最為重要的即是，能否通過深入的分析和研究揭示出相關(guān)對象的共同本質(zhì).例如，現(xiàn)行各種教材中所謂的“代數(shù)與幾何的整合”，事實(shí)上都只是對這兩門學(xué)科的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了混合編排，但就其具體安排而言，應(yīng)當(dāng)說仍然保持了相對的獨(dú)立性，從而也就只是形式上的簡單組合.因此，筆者認(rèn)為真正意義上的“整合數(shù)學(xué)”應(yīng)該是從內(nèi)容教學(xué)上實(shí)現(xiàn)整合.

例如，在余弦定理的教學(xué)中，我們常常提及余弦定理是勾股定理的一般形式，勾股定理是余弦定理的特殊形式.事實(shí)上，我們可以從更深層次來挖掘教材內(nèi)容，從一個側(cè)面讓學(xué)生感受整合數(shù)學(xué).勾股定理：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，即c2=a2+b2；余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方和再減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即c2=a2+b2-2abcosC；三度平方和定理：長方體的一條體對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和，即l2=a2+b2+c2；異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式：兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線AA′的長度為d，在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A′E=m，AF=n，EF=l，則l2=d2+m2+n2±2mncosθ；三直三面角面積定理：在以DABC為三個直三角面的四面體ABCD中，第四個面的面積等于三個直三角面的面積的平方和，即D2=A2+B2+C2；內(nèi)積空間直交分解定理：設(shè)M是Hilbert空間H中的閉線性子空間，那么H中任意元x能唯一地表示成M中一元y與一個與M直交的元z的和，即x=y+z，其中y是M中距x最近的點(diǎn).它的二維情形是勾股定理，三維情形是三度平方和定理.圖1所示的圖表可以反映它們之間的關(guān)系.

圖1

從銜接高考的角度，高考題中也蘊(yùn)含著豐富的素材，教師可以借此讓學(xué)生感受整合數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一性.

例如，2016年浙江省數(shù)學(xué)理科高考試題19：如圖2，設(shè)橢圓C：+y2=1（a＞1）.

圖2

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長（用a，k表示）；

（2）若任意以點(diǎn)A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點(diǎn)，求橢圓的離心率的取值范圍.

第（2）問運(yùn)算量較大，基本思路是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.（高考標(biāo)準(zhǔn)答案計算量大，解法在此省略）

事實(shí)上，可以將解決此圓錐曲線問題與二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題聯(lián)系統(tǒng)一起來.設(shè)M（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，連接MA，由于|MA|2=x2+（y-1）2=a2（1-y2）+（y-1）2=（1-a2）y2-2y+a2+1，考慮函數(shù)t=（1-a2）y2-2y+a2+1，-1≤y≤1的圖像與直線t=r2的公共點(diǎn).其中a＞1，r是圓的半徑.當(dāng)公共點(diǎn)對應(yīng)的y=±1時，一個公共點(diǎn)對應(yīng)圓與橢圓的一個公共點(diǎn)；當(dāng)公共點(diǎn)對應(yīng)的y∈（-1，1）時，一個公共點(diǎn)對應(yīng)圓與橢圓的兩個公共點(diǎn).根據(jù)題意，可知函數(shù)t=（1-a2）y2-2y+a2+1，-1≤y≤1為單調(diào)函數(shù)，否則必然存在直線t=r2與之有兩個公共點(diǎn)，且其對應(yīng)的y均在區(qū)間（-1，1）內(nèi).考慮到其對稱軸為≤-1，解得1＜a2≤2，進(jìn)而可得橢圓的離心率e的取值范圍是

顯然，從整合數(shù)學(xué)的角度來思考與解決這道高考題，不僅計算簡潔，而且充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)性，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維

鄭毓信先生認(rèn)為：相對于“幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維”而言，“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維”應(yīng)當(dāng)說是更為合適的一個主張.所謂“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維”，主要地并非是指“想得更快”、又或是如何能夠“與眾不同”，而是指“想得更清晰、更全面、更深刻、更合理”.這正是不少數(shù)學(xué)家的切身體會：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對于思維發(fā)展的主要作用之一就是十分有利于人們學(xué)會“長時間的思考”.由此可見，在教學(xué)中就不僅唯一地關(guān)注學(xué)生“即興思維”能力的提高，而是應(yīng)當(dāng)更加重視如何能夠幫助他們逐步養(yǎng)成“長時間思考”的習(xí)慣與能力.

2002年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主康納曼有一部名著《快思慢想》，賦予“快思”與“慢想”新的涵義.

快思 慢想如何做？（工具性理解） 為什么可以這樣做？（關(guān)系性理解）問題解決（解題沖動） 策略性思考與調(diào)控（元認(rèn)知）特殊（model of） 一般（model for）

文2給出了教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)重視的幾個環(huán)節(jié)：（1）“問題引領(lǐng)”；（2）數(shù)學(xué)地交流與互動，從而幫助學(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)優(yōu)化：（3）文化熏陶，言傳身教.另外，在教學(xué)中又應(yīng)依據(jù)學(xué)生的具體情況切實(shí)加強(qiáng)工作的針對性，包括很好地實(shí)現(xiàn)以下幾個階段的區(qū)分與合理過渡，即由“深藏不露”逐步過渡到“畫龍點(diǎn)睛”，由“點(diǎn)到為止”逐步過渡到“系統(tǒng)論述”，由“教師介紹”逐步過渡到“學(xué)生的自我總結(jié)和自覺應(yīng)用”.

例如，現(xiàn)今實(shí)行的學(xué)考等級制度，以語數(shù)外為例，若每個學(xué)科劃分A、B、C、D四個等級，不計較學(xué)科排序，可以有多少種不同等級？教師可以從這個小小的問題出發(fā)不斷地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象化、一般化，不斷地進(jìn)行提升與總結(jié)，讓學(xué)生由“快思”逐步進(jìn)入到“慢想”階段.有學(xué)生會想到按位置排序計算，第一位選A時，第二位有4種不同的排法：第二位選A，第三位有4種不同的排法；第二位選B，第三位有3種不同的排法；第二位選C，第三位有2種不同的排法；第二位選D，第三位有1種不同的排法.所以當(dāng)?shù)谝晃贿xA時，共有4+3+2+1=10（種）不同的排法.同理，第一位選B時，共有3+2+1=6（種）不同的排法；第一位選C時，共有2+1=3（種）不同的排法；第一位選D時，共有1種不同的排法.所以，總共有10+6+3+1=20（種）不同的排法.也有學(xué)生會想到按字母分類計算：選一個字母，共有種不同的排法；選兩個字母，其中一個字母必用兩次，共有2種不同的排法；選三個字母，共有種不同的排法.所以共有2+=20（種）不同的排法.還有學(xué)生用排除法：43-5-4=20（種）不同的排法.事實(shí)上在學(xué)生各種方法的基礎(chǔ)上，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探究：設(shè)選A的有X1種，選B的有X2種，選C的有X3種，選D的有X4種，有X1+X2+X3+X4=3，即（X1+1）+（X2+1）+（X3+1）+（X4+1）=7.設(shè)Xi+1=Yi，i=1，2，3，4，于是就有Y1+Y2+Y3+Y4=7，Yi∈N*，i=1，2，3，4.則問題就轉(zhuǎn)化為求方程Y1+Y2+Y3+Y4=7的正整數(shù)解.然后可以用“隔板法”可以解決：設(shè)有7個小球，用三塊板來隔，至少要隔出一個球，有6個縫，共有=20（種）不同的排法.這種方法可以繼續(xù)推廣到解決更一般的問題：設(shè)有m個學(xué)科，每個學(xué)科有n個等級，不計較學(xué)科排序，共有多少種不同的排法？設(shè)選每個等級為X1，X2，…，Xn，則有X1+X2+…+Xn=m，即（X1+1）+（X2+1）+…+（Xn+1）=m+n，設(shè)Xi+1=Yi，i=1，2，…，n，則Y1+Y2+…+Yn=m+n，Yi∈N*，i=1，2，…，n.類似地，可以用“隔板法”得共有種不同的排法.以上從數(shù)學(xué)的角度思考這個實(shí)際問題，需要學(xué)生進(jìn)行“長時間的思考”，養(yǎng)成這種對一個問題從數(shù)學(xué)的角度層層深入的進(jìn)行“長時間思考”的習(xí)慣與能力，而這種能力正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)所必需的.

3.幫助學(xué)生尋找數(shù)學(xué)真問題

文3指出：目前我們教育領(lǐng)域最熱的話題是公民的核心素養(yǎng)，而這一核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，首當(dāng)其沖的是“聯(lián)系”，即知道書本上的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系，這是現(xiàn)有國際上一切關(guān)于數(shù)學(xué)素養(yǎng)問題討論的基本共識.之所以如此，是因為對數(shù)學(xué)真正的理解，只能在“聯(lián)系”之路上實(shí)現(xiàn)，否則只能到達(dá)了解或知道的層面；對數(shù)學(xué)應(yīng)用的需求，只能在“聯(lián)系”之路上產(chǎn)生，否則只能是套題型、湊條件的花拳繡腿.沒有“聯(lián)系”，求知的欲望以及樂學(xué)、好學(xué)的源頭幾乎無從談起，更進(jìn)一步，沒有了“聯(lián)系”，從哪里抽象、拿什么建模、憑什么推理，換言之，我們津津樂道的那些數(shù)學(xué)素養(yǎng)幾乎全都斷了由頭，差不多可以免談.而“聯(lián)系”的兩頭，一頭是數(shù)學(xué)，另一頭是真實(shí)的世界、是現(xiàn)實(shí)生活，而在考試教育、題型教育的陰霾中，學(xué)生有這樣的機(jī)會嗎？在沒有“聯(lián)系”的氛圍里，奢談素養(yǎng)，只能是又一場夸夸其談，“素養(yǎng)”可能會像“核心概念”那樣成了又一片過眼云煙.

圖3

圖4

基于以上的觀點(diǎn)，我們應(yīng)該讓學(xué)生多些機(jī)會接觸數(shù)學(xué)中的真問題，而不是總是在充斥著考試味道的題海中掙扎.數(shù)學(xué)真問題不僅僅是指如同文3中所說的現(xiàn)實(shí)問題，也應(yīng)該包括那些能積極引發(fā)學(xué)生思考的探索性問題與開放性問題.

例如，在二面角教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)問題情境：這是一座我們即將要攀登的山峰，我們就稱它為“勝利峰”（數(shù)學(xué)抽象為如圖3所示的數(shù)學(xué)模型）.山坡上有一條直道CD，它和坡角的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米后我們升高多少米？學(xué)生紛紛提出質(zhì)疑：這個問題沒法解，缺少條件！于是引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入新知“二面角平面角”的教學(xué)（教學(xué)過程省略）.之后再回到此問題情境：將條件補(bǔ)全，比如我們用某種測量儀器或通過某部門了解到“勝利峰”的傾斜度（即二面角的平面角）為60°，那么這個問題如何解決？解決此問題的關(guān)鍵是什么？這里還有值得探究的新問題嗎？筆者參與到學(xué)生的合作學(xué)習(xí)中去，這時整個課堂氣氛達(dá)到了高潮，學(xué)生解題的積極性已經(jīng)被充分的調(diào)動起來.在之后的問題解決過程中，立體幾何中的經(jīng)典圖形就會顯現(xiàn)出來（如圖4所示）.筆者繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將這個登山問題再進(jìn)行設(shè)計和改編，使之成為新的問題.學(xué)生即興編出了一些問題：（1）假設(shè)“勝利峰”的坡度是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡角的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，要使我們上升100米，則我們要行走多少米？（2）假設(shè)“勝利峰”它的坡度是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡角的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，則我們行走的路線與地面所成角是多少？

三、寫在最后

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)對于我們一線教師來說是一項長期而艱巨的工作，尤其是隨著高考體制的改革，數(shù)學(xué)取消了文理分科，核心素養(yǎng)問題更顯關(guān)鍵.從目前高考來看，通過大量做題就可以考好的時代已經(jīng)過去了，高考越來越以考查核心問題、學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為主.所以無論從短期的高考目標(biāo)，還是長期的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)來看，我們勢必要不斷反思自己的教學(xué).“如果一節(jié)課的內(nèi)容太多，承載的任務(wù)太重，學(xué)生上課時候很忙碌，思考力就很難得到提升，學(xué)習(xí)力會越來越弱.若課堂只聚焦幾個核心問題，讓學(xué)生深入思考，看上去學(xué)得少、學(xué)得慢，但思考的方式、方法豐富了，思考力便能提高，思考力就會越來越強(qiáng).”這是來自語文老師的論述，但對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，顯然也是適用的.筆者近期在一些文獻(xiàn)上看到“留白”這一字眼，如果選擇合適的內(nèi)容并加以恰當(dāng)?shù)氖褂?，“留白”不妨可以在?shù)學(xué)教學(xué)中一用.事實(shí)上，筆者理解的“留白”是在數(shù)學(xué)課堂內(nèi)外通過給學(xué)生創(chuàng)設(shè)核心問題（真問題），讓學(xué)生保持持續(xù)性思考探究問題的熱情，從而深刻體會數(shù)學(xué)概念方法的本質(zhì)性、整合數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性.

1.鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016（3）.

2.鄭毓信.“數(shù)學(xué)與思維”之深思［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015（1）.

3.孫曉天.研究現(xiàn)實(shí)世界的真問題——記第十屆東盟國家中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科競賽（ssys）［J］.數(shù)學(xué)通報，2016（4）.

4.章建躍.讓學(xué)生學(xué)真正的數(shù)序［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2012（9）.

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