☉江蘇省南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué) 吳如光

我們知道，熟知的函數(shù)、立幾、解幾等知識板塊經(jīng)常會用到畫圖的方法.其實(shí)，“畫圖”還能用來處理和解決很多其他的數(shù)學(xué)問題，是一種很有價(jià)值的數(shù)學(xué)方法，但有時(shí)很多考生并未給予足夠的重視.本文通過實(shí)例，展示“畫圖”這個(gè)技能是如何處理與解決除函數(shù)、立幾、解幾等知識板塊外的其他各類高考數(shù)學(xué)問題，正確讓考生熟悉并掌握這個(gè)新技能，為高考加分！

一、畫圖解決集合問題

學(xué)好集合知識，必須充分理解和掌握好數(shù)學(xué)語言，特別是數(shù)形結(jié)合思想.會用簡約、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)圖形語言（表格、韋恩圖、數(shù)軸等）來轉(zhuǎn)換相關(guān)的集合問題，是數(shù)學(xué)的基本能力之一，也是數(shù)形結(jié)合思想在集合解題中的充分體現(xiàn).集合中常用的方法是數(shù)軸法和Venn圖法.

例1 （2016年蘇州一模）已知集合A＝{x|x＜-1或x≥1}，B＝{x|2a＜x＜a＋1，a＜1}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

分析：根據(jù)集合A、B之間的關(guān)系B?A，數(shù)形結(jié)合畫出相應(yīng)的數(shù)軸.解此類題要注意是否包括端點(diǎn)臨界值.

解：因?yàn)閍＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠?，畫出數(shù)軸分析，如圖1所示.

圖1

由圖知要使B?A，需2a≥1或a＋1≤-1，即a≥或a≤-2.又因?yàn)閍＜1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2］∪[，1）.

解題思想：集合問題大都比較抽象，解題時(shí)要盡可能借助Venn圖、數(shù)軸等工具，利用數(shù)形結(jié)合思想將抽象問題直觀化、形象化、明朗化，從而使問題獲解.

二、畫圖解決三角函數(shù)問題

對于一些含有三角函數(shù)背景的填空題，若能以函數(shù)作出圖像，以圖像結(jié)合性質(zhì)，以性質(zhì)反饋問題，則能有效地掌握技巧，快捷地處理相關(guān)的三角函數(shù)問題，得出正確的答案.數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在三角函數(shù)中是利用單位圓中的三角函數(shù)線、三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)的定義域、解三角不等式、求單調(diào)區(qū)間、討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、比較大小等問題的解決.

例2（2015年上海卷）已知函數(shù)f（x）=sinx，若存在x1，x2，…，xm滿足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），則m的最小值為______.

分析：根據(jù)相應(yīng)的三角函數(shù)問題加以轉(zhuǎn)化，通過數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)的圖像和已知條件加以直觀分析與處理.

解：對任意的xi，xj，|f（xi）-f（xj）|≤f（x）max-f（x）min=2，欲使m取得最小值，盡可能多地讓xi（i=1，2，…，m）取最值點(diǎn)，考慮到0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|=12（m≥2，m∈N*），按照圖2所示的取值可以滿足條件，所以m的最小值為8.

圖2

解題思想：涉及三角函數(shù)的性質(zhì)的問題，同時(shí)還涉及絕對值及其應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合思維，直觀來分析與處理，省去不必要的推理、分析及繁雜的運(yùn)算，有效地解決了有關(guān)三角函數(shù)的性質(zhì)問題.

三、畫圖解決平面向量問題

在平面向量中，平面向量的線性運(yùn)算自身蘊(yùn)含著豐富深刻的幾何背景，平面向量的坐標(biāo)表示使平面向量問題代數(shù)化成為了可能.平面向量知識成為數(shù)形結(jié)合中重要的載體，是數(shù)形結(jié)合對應(yīng)的高度統(tǒng)一的實(shí)例之一.

例3 （2015年北京卷理13）在△ABC中，點(diǎn)M，N滿則x=______，y=______.

分析：通過特殊化，并結(jié)合構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，作出圖像數(shù)形結(jié)合，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來求解相應(yīng)的參數(shù)值問題.

解：不妨設(shè)AC⊥AB，且AB=4，AC=3，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AC所在直線分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xy，如圖3，則A（0，0），B（4，0），C（0，3），M（0，2），N（ 2，）.

圖3

解題思想：在解決平面向量問題中，通過巧妙構(gòu)造坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法來求解相應(yīng)的向量問題，也是高考中比較常見的一類技巧方法.巧妙通過坐標(biāo)系的建立，把平面向量的線性運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題，數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)、三角函數(shù)或不等式來求解最值問題，思路清晰，解法巧妙.

四、畫圖解決算法問題

算法的程序框圖本身就是以流程圖來敘述數(shù)學(xué)問題，在解決此類問題時(shí)要熟練掌握程序框圖中所表示的意義，通過數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)、數(shù)列、不等式等相關(guān)知識來分析與處理.

例4（2014年四川卷）執(zhí)行如圖4所示的程序框圖，如果輸入的x，y∈R，那么輸出的S的最大值為（ ）.

A.0 B.1

C.2 D.3

分析：結(jié)合算法的程序框圖，其求解的是不等式組條件下S＝2x＋y的所有取值與1中的最大值，通過數(shù)形結(jié)合來分析與求解.

圖4

解：題中程序輸出的是在不等式組S＝2x＋y的最大值與1中較大的數(shù)，結(jié)合不等式組對應(yīng)的可行域（如圖5所示），可知當(dāng)x＝1，y＝0時(shí)，S＝2x＋y取得最大值2，而2＞1，故選C.

解題思想：此類問題往往綜合了算法初步知識，以數(shù)形結(jié)合的形式來展示函數(shù)中的分段函數(shù)問題，以及基本不等式的應(yīng)用等，通過多個(gè)知識點(diǎn)的交匯與綜合來創(chuàng)新問題，達(dá)到考查能力與應(yīng)用的目的.

圖5

五、畫圖解決概率問題

許多概率問題都可以通過畫樹形圖、建立直角坐標(biāo)平面等，將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題，借助于形的優(yōu)勢，使問題得到解決.特別在幾何概型中，數(shù)形結(jié)合顯得尤為重要.

例5 （2016年全國卷Ⅰ理4）某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是（ ）.

分析：根據(jù)題目條件，畫出時(shí)間軸，結(jié)合時(shí)間軸的長度加以數(shù)形結(jié)合，利用長度的計(jì)算來確定幾何概型問題.

解：如圖6所示，畫出時(shí)間軸.

圖6

小明到達(dá)的時(shí)間會隨機(jī)地落在圖中的線段AB上，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型可得所求的概率

解題思想：涉及概率的求解問題，有時(shí)可以把古典概型、幾何概型的問題轉(zhuǎn)化為直觀圖形，通過數(shù)形結(jié)合來分析顯得更為直觀與快捷.特別地，解決以實(shí)際問題為背景的幾何概型時(shí)，往往先確定幾何概型中的類型，作出相應(yīng)的圖像，并結(jié)合長度、區(qū)間、面積、體積等的計(jì)算來求解相應(yīng)的概率.

六、畫圖解決不等式問題

在求解一些不等式問題時(shí)，特別是絕對值不等式問題，往往可以通過轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的圖像加以數(shù)形結(jié)合，可以直觀快捷地處理不等式的求解問題.

例6（2016年日照一模）已知不等式|x-2|+|x-5|＜a有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.

分析：直接求解含有參數(shù)的絕對值不等式問題，比較難下手，通過引入函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖像直觀分析，數(shù)形結(jié)合就比較簡單易操作.

解：設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|+|x-5|=a，在同一直角坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)圖像（如圖7），函數(shù)f（x）的最小值為3，要使原不等式有解，必須且只須a＞3，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為（3，+∞）.

解題思想：運(yùn)用函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想解決不等式問題，而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來處理不等式問題的關(guān)鍵是認(rèn)識相關(guān)知識的本質(zhì)與函數(shù)的關(guān)系，同時(shí)熟悉相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，以及相應(yīng)函數(shù)圖形的應(yīng)用.

圖7

七、畫圖解決解三角形問題

對于解三角形的問題，往往要與直觀圖形加以數(shù)形結(jié)合，設(shè)法將已知與所求的邊角都湊到或轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形之中，才利于發(fā)現(xiàn)關(guān)系與找到求解的辦法.特別地，對于解三角形時(shí)所遇到的實(shí)際問題中求高的問題較多，且多數(shù)題都是需要通過利用一個(gè)斜三角形與一個(gè)直角三角形才可求出山高、塔高、煙囪高等.

例7 （2016年南通一模）在△ABC中，已知AB=4，AC=7，AD是BC邊上的中線，且AD=，試求邊BC的長.

分析：通過設(shè)元，數(shù)形結(jié)合，綜合利用△ABC與△ABD的公共角B，由余弦定理列出方程，從而得以求解相應(yīng)的邊長.

解：設(shè)BD=x，則在△ABD中，由余弦定理，得

圖8

解題思想：在解決三角形的相應(yīng)問題中，往往通過三角形直觀圖形加以數(shù)形結(jié)合，可以利用不同三角形中的公共元素，結(jié)合方程思想，往往可以收到意想不到的效果，方便快捷地處理相應(yīng)問題.

八、畫圖解決邏輯問題

對于充要條件的判定，一判斷充分性，二判斷必要性，要明確題中哪個(gè)作條件，哪個(gè)作結(jié)論，若p?q，則p是q的充分條件，q是p的心要條件.特別地，當(dāng)涉及集合關(guān)系、立體幾何等相關(guān)問題時(shí)，可以通過數(shù)形結(jié)合來直觀分析，快捷簡單.

例8（2016年溫州質(zhì)量檢測）設(shè)集合A、B是全集U的兩個(gè)子集，則“A?B”是“UA∪B=U”的（ ）.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

分析：如果直接根據(jù)兩個(gè)集合之間的關(guān)系加以判斷命題之間的對應(yīng)邏輯關(guān)系，往往容易忽視相應(yīng)集合的一些特殊問題，這也是很多學(xué)生容易犯錯(cuò)誤的地方.而若結(jié)合圖形加以直觀分析，更加明了，更加易于掌握.

圖9

圖10

解：如圖9，當(dāng)A?B時(shí)，UA∪B=U成立；如圖10，當(dāng)A=B時(shí)，UA∪B=UB∪B=U也成立，即UA∪B=U成立時(shí)，可得A?B.

所以“A?B”是“UA∪B=U”的充分不必要條件，故選A.

解題思想：數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，其具有直觀性、靈活性、深刻性，并有跨越各知識點(diǎn)的界線，有較強(qiáng)的綜合性.常用邏輯用語部分主要體現(xiàn)在判斷充要條件時(shí)可轉(zhuǎn)化為集合問題，利用數(shù)軸、圖形等進(jìn)行數(shù)形結(jié)合分析求解.

巧妙運(yùn)用“畫圖”這一數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)中幾種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.F