☉北京市第十二中學高中部 高慧明

圓錐曲線中的最值和范圍問題是高中數學教與學的重點和難點，也是近幾年高考的熱點和學生得分的難點.原因有三：（1）圓錐曲線常與函數、平面幾何、不等式、方程、三角、向量等知識橫向交叉滲透，考查學生的綜合知識體系；（2）圓錐曲線涉及的數學思想方法較多，例如，轉化與化歸思想、數形結合思想、分類與整合思想、函數與方程思想，換元法、判別式法、參數法、消元法、構造法等；（3）圓錐曲線計算量大，要求學生必須有較強的分析能力和運算求解能力.

由于圓錐曲線中的最值和范圍問題與圖形的幾何特征、函數的最值及不等式等有密切的聯系，因此解決的方法很多，比較常見的有：（1）結合曲線定義借助圖中幾何量間的大小關系；（2）不等式（組）求解法，根據題意結合圖形，列出所討論的參數適合的不等式（組），得出參數的取值范圍；（3）函數值域求解法，把討論的參數作為一個變量，選取一個適當的參數作為自變量來表示這個函數，借助討論函數的值域來求參數的范圍；（4）利用代數基本不等式，基本不等式的應用，關鍵要創(chuàng)造條件，進行巧妙的構思；（5）利用三角函數的有界性，圓錐曲線參數方程的一個共同點是都含有三角式，其價值在于：①可通過參數θ簡明地表示曲線上點的坐標，②利用三角函數的有界性及其變形公式來求解最值、范圍等問題；（6）構造二次方程，利用判別式Δ≥0求解.

本文主要探究利用構建不等式和函數的方法解決圓錐曲線中的最值和范圍問題，同時涉及解析幾何中常用的數學思想方法，以期對各位讀者有所啟迪.

一、構建目標不等式

欲求變量的取值范圍，可設法構造含有變量的不等式（組），通過解不等式（組）來達到目的.

類型一——利用已知條件中明顯的不等關系構建目標不等式

例1 已知圓x2+y2=1過橢圓+=1（a＞b＞0）的兩焦點，與橢圓有且僅有兩個公共點，直線l：y=kx+m與圓y=1相切，與橢圓+=1相交于A，B兩點.記λ=·2.求k的取值范圍.

解析：易知橢圓的方程為x

2

2+y2=1.因為直線l：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，即m2=k2+1.由4kmx+2m2-2=0.設A（x1，y1），B（x2，y2），則=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km （x1+x2）+≤k2≤1，即k的取值范圍

點評：通過直線與圓相切得到k，m的關系，再利用已知條件中的不等關系≤λ≤，結合向量的數量積及根與系數的關系構造關于k，m的不等式，再由k，m的關系，消元得到關于k的不等式，通過解不等式達到目的.

類型二——利用題目中隱藏的已知參數的范圍構建不等式

利用題目中隱藏的已知參數的范圍求新參數的范圍問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系，將新的參數的范圍問題轉化為已知的參數范圍問題.

2 已知A是橢圓E：+=1的左頂點，斜率為例k（k＞0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA.當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍.

點評：本題通過已知條件2|AM|=|AN|得到新的參數k與已知參數t之間的聯系，并挖掘題目中隱藏的信息，得到t＞3，據此建立關于k的不等式.

類型三——利用點在曲線內（外）的充要條件構建目標不等式

利用點在曲線內（外）的充要條件構建目標不等式的核心是抓住目標參數和某點的關系，根據點與圓錐曲線的位置關系構建目標不等式.

例3 設拋物線過定點A（-1，0），且以直線x=1為準線.若直線l與拋物線頂點的軌跡C交于不同的兩點M，N，且線段MN恰被直線x=-平分，設弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m，試求m的取值范圍.

圖1

解法1：易知此拋物線頂點的軌跡C的方程為x2+=1（x≠1）.設弦MN的中點為yN），則由M，N為橢圓C上的點，可知兩式相減，得4（xM-xN）（xM+xN）+（yM-yN）（yM+代入上式得k=-在弦MN的垂直平分線上，所以y=-k+m，所以m=y+k=y.由于000點P（-，y）在線段BB′上（B′，B為直線x=-與橢圓的0交點，如圖1所示），所以yB′＜y0＜yB，即-＜y0＜

點評：本題求解的關鍵是根據點差法得到目標參數m與點P（-，y）的關系， 再根據點P（-，y）與橢圓的00位置關系得到y(tǒng)0的取值范圍，從而求得目標參數m的取值范圍.本題還可利用判別式構建目標不等式.

二、構建函數模型

若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立目標函數，然后根據其結構特征，構建函數模型求最值，一般情況下，可以構建二次型函數、雙曲線型函數、多項式函數等.

類型一——構建二次型函數

122C相交于A，B兩點，△F1AB的周長為T（2，0），若λ∈［-3，-1］，求+|的取值范圍.

解析：易知橢圓C的方程為=1.當直線l的斜率不存在，即λ=-1時，A

當直線l的斜率存在，即λ∈［-3，-1］時，設直線l的方程為y=k（x-1）.

由，可得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），顯然y1≠0，y2≠0，則由根與系數的關系可

點評：本題主要考查橢圓的定義、向量的坐標表示、幾何問題代數化等.其中難點是代數化之后，目標函數比較復雜，如果直接計算相當麻煩，但是通過分析發(fā)現，目標函數都有相同的式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使函數轉化成一個簡單的二次函數，把未知的、復雜的題目轉化為已知的、簡單的題目，注意替換后變量取值范圍的變化.

類型二——構建雙曲線型函數

雙曲線型函數主要有：y=a+（b≠0），y=ax+（ab≠0）.

例5 已知橢圓（a＞b＞0） 的左右焦點分別為F1，F2，以F1F2為直徑的圓與直線ax+2by-ab=0相切.如圖2，過F1作直線l與橢圓分別交于P，Q兩點，若△PQF2的周長為，求的最大值.

圖2

解析：因為△PQF2的周長為4，所以4a=4，所以a=，易知b2=1，橢圓方程為+y2=1，且焦點F（1-1，0），F（21，0）.

②若直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x+1），

點評：本題的求解思路是先利用向量的坐標運算及根與系數的關系得到的目標函數， 然后分離參數，構建y=a+（b≠0）型函數，再利用函數單調性即可求其取值范圍.注意當目標函數是分式函數時，通常可以通過參數分離的方法，將目標函數轉化成雙曲線函數處理.

類型三——構建多項式型函數

例6 如圖3，已知拋物線x2=y，線上的點B作直線AP的垂線，垂足為Q.

（1）求直線AP斜率的取值范圍；

（2）求|PA|·|PQ|的最大值.

圖3

解析：（1）由題意可知，P（x，x2），-＜x＜，所以∈（-1，1），故直線AP斜率的取值范圍是（-1，1）.

所以|PA·||PQ|的最大值為

點評：本題第（2）問利用向量坐標運算及根與系數的關系易得|PA|·|PQ|=（1+k）3（1-k），此時目標函數是次數較高的多項式函數，其最值不易求出，可構建多項式型函數f（x）=（1+x）3（1-x），-1＜x＜1，x≠0，通過求導的方式研究函數的單調性，進而求出最值.

綜上，圓錐曲線中的最值與范圍問題的主要求解策略是將問題等價轉化成不等式求解問題或目標函數最值問題，在構建目標不等式時要注意挖掘題目中隱藏的不等關系，熟練轉化幾何關系，靈活運用基本不等式；在構建函數模型時，要抓住式子結構，對目標函數的類型進行預判，注意目標函數往往都不是簡單的初等函數，而是幾個基本初等函數的復合函數，求解過程中需要靈活運用換元法、消元法、導數法等.F