時培明， 孫 鵬， 袁丹真(燕山大學(xué)電氣工程學(xué)院, 河北 秦皇島 066004)

1 引 言

滾動軸承是機械設(shè)備中的重要旋轉(zhuǎn)零件，也是機械設(shè)備主要故障源。研究滾動軸承微弱故障信號的檢測在了解軸承的性能狀態(tài)和及早發(fā)現(xiàn)潛在故障等方面起著至關(guān)重要的作用，具有重要的實踐意義[1～3]。軸承早期的故障特征很微弱，現(xiàn)在的微弱特征提取方法更多的是從消除噪聲方面進(jìn)行故障檢測，例如基于小波變換[4]、模式分解[5]降噪方法。盡管以上方法能在一定程度上檢測出故障特征，但削弱噪聲的同時把有用信號也削弱了。

隨機共振研究最早始于20世紀(jì)80年代初，由Benzi R等人和Nicolis C等人在研究古代冰川氣候問題時發(fā)現(xiàn)。對于許多非線性系統(tǒng)，適當(dāng)?shù)脑肼暱梢杂兄谔岣呦到y(tǒng)的輸出信號的能力，并被稱為隨機共振的非線性現(xiàn)象。在理論上，人們主要是利用用Langevin方程和Fokker-Planck方程來討論隨機共振的各種統(tǒng)計性質(zhì)，并逐漸形成了隨機共振的絕熱近似理論[6]和線性響應(yīng)理論[7]，但尚未成熟仍在不斷發(fā)展。目前，隨機共振現(xiàn)象主要是基于物理實驗和模擬觀測得到。1983年，F(xiàn)auve和Heslot[8]在實驗研究施密特觸發(fā)器中首次證實了隨機共振現(xiàn)象的存在。1988年，Mc Namara[9]等人在雙穩(wěn)態(tài)激光器中觀察到隨機共振現(xiàn)象的存在。這種現(xiàn)象的發(fā)生需要3個條件：(1)弱周期信號；(2)噪聲源；(3)非線性系統(tǒng)。只有當(dāng)非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)和周期信號、噪聲源相互匹配時可以產(chǎn)生隨機共振現(xiàn)象。

以前大多研究在單一穩(wěn)定系統(tǒng)的隨機共振[10,11]或者在線性系統(tǒng)下的隨機共振現(xiàn)象[12～15]。對由非線性耦合雙穩(wěn)態(tài)二階系統(tǒng)隨機共振系統(tǒng)和在軸承故障診斷方面的應(yīng)用較少，并且以信噪改善比作為隨機共振是否產(chǎn)生的依據(jù)研究較少。在本文中，以耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)[16]為模型，利用信噪改善比(signal to noise improvement ratio，SNIR)[17]和相關(guān)系數(shù)[18]特性曲線作為隨機共振是否產(chǎn)生的一個理論依據(jù)。

本文提出了一種新型非線性耦合雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型并給出了耦合方程，通過勢函數(shù)表達(dá)式畫出了其三維圖，并分析了隨機共振產(chǎn)生的機理。然后通過改變系統(tǒng)模型中的參數(shù)，畫出信噪改善比和相關(guān)系數(shù)隨參數(shù)改變的曲線圖。通過實際軸承故障數(shù)據(jù)對模型進(jìn)行實例分析，發(fā)現(xiàn)此模型能夠?qū)S承微弱的故障信號進(jìn)行有效撿測。

2 耦合雙穩(wěn)態(tài)隨機共振模型

由兩個單一的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)經(jīng)非線性耦合而成的耦合隨機共振模型如下：

Asin(2π×0.02t)

(1)

(2)

式中：r代表阻尼系數(shù)；k是耦合系數(shù)；a1,b1,a2,b2是系統(tǒng)參數(shù)；A?1；ζ是噪聲，并且滿足自相關(guān)函數(shù)

〈ζ(t)ζ(s)〉=D2δ(t-s)

(3)

式中：D是噪聲強度。

當(dāng)非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)和周期信號、噪聲源相互匹配時可以產(chǎn)生隨機共振現(xiàn)象，該耦合系統(tǒng)的勢函數(shù)v(x,y)可表示為

(4)

圖1 勢函數(shù)三維圖(a1=1，b1=1，a2=1，b2=1，r=0.01)

如圖1所示,當(dāng)a1=1，b1=1，a2=1，b2=1，r=0.01時，可以看到有4個勢阱，且相互對稱，勢壘處于中心位置。但是隨著弱周期信號加到耦合系統(tǒng)中，系統(tǒng)平衡被打破，勢函數(shù)會隨著驅(qū)動力發(fā)生周期性變化，勢壘高度也會發(fā)生變化，由于周期信號能量太弱，布朗粒子的能量太小，使其只能在單一勢阱內(nèi)運動。隨著噪聲的加入，使布朗粒子能量增大，可以使其越過勢壘到達(dá)另一勢阱，當(dāng)運動周期等于微弱信號周期時發(fā)生隨機共振現(xiàn)象。由于周期信號和噪聲只作用于x方向，因此只有在x方向或者在x方向比y方向更有利于產(chǎn)生隨機共振現(xiàn)象。耦合系數(shù)將影響耦合系統(tǒng)勢函數(shù)結(jié)構(gòu)，適當(dāng)耦合系數(shù)會對系統(tǒng)隨機共振產(chǎn)生有利影響。

3 耦合雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)特性分析

數(shù)值仿真采用4階龍格庫塔算法，對于式(1)、式(2)來說，不同參數(shù)的取值，將出現(xiàn)不同的隨機共振特性。為定量分析隨機共振現(xiàn)象，把信噪改善比響應(yīng)特性曲線(SNIR)和相關(guān)系數(shù)作為隨機共振是否產(chǎn)生的依據(jù)，其SNIR值大于1被認(rèn)為是隨機共振系統(tǒng)對輸入信號產(chǎn)生積極作用的標(biāo)志。Makra等人認(rèn)為隨機共振可以提供信噪比增益，證實可以獲得大于1的信噪改善比。其定義如下：

(5)

即輸出信噪比SNRo與輸入信噪比SNRi之比。

信噪比指的是信號的有效值S與噪聲的有效值N之比。其定義如下：

(6)

相關(guān)系數(shù)也可以作為隨機共振的評價方法，它描述了兩個隨機變量之間線性相關(guān)的程度。輸出信號x(t)的自功率譜密度為：

(7)

式中：Rxx(τ)為x(t)的自相關(guān)函數(shù)。

系統(tǒng)的輸入輸出互功率譜為：

(8)

式中：Rxy(τ)為x(t)與故障信號y(t)的互相關(guān)函數(shù)。相關(guān)系數(shù)定義為：

(9)

下面分別討論耦合系數(shù)k，阻尼系數(shù)r對隨機共振產(chǎn)生的影響。

(1)如圖2、圖3所示，分別畫出了當(dāng)a1=1，b1=1，a2=1，b2=2，r=0.7，k=0和k=0.7時的信噪改善比曲線圖與相關(guān)系數(shù)曲線圖。通過兩個曲線圖都可以觀察到耦合的作用，促進(jìn)了信號、噪聲和系統(tǒng)之間的協(xié)同作用，更有利于隨機共振現(xiàn)象的發(fā)生。

(2)如圖4所示，在對應(yīng)k=0.5，a1=1，b1=1，a2=1，b2=1，不同的r值在x方向上的信噪改善比曲線圖。可以看到，隨著噪聲強度的增加，信噪改善比的值先增加后減小，出現(xiàn)了一個峰值，這正是隨機共振發(fā)生的一個重要特點。

圖2 信噪改善比曲線 (a1=1，b1=1，a2=1，b2=2，r=0.7)

圖3 相關(guān)系數(shù)曲線(a1=1，b1=1，a2=1，b2=2，r=0.7)

圖4 信噪改善比曲線(k=0.5，a1=1，b1=1，a2=1，b2=1)

4 實例驗證

對于驅(qū)動端軸承，其型號為SKF6205-2RSJEM，采樣頻率為12 kHz，轉(zhuǎn)速為fr=1 772 r/min，驅(qū)動端滾動軸承尺寸信息如表1所示，滾動軸承負(fù)載1.5 kW時各部件的故障特征頻率如表2所示。

表1 驅(qū)動端軸承尺寸信息

表2 驅(qū)動端滾動軸承各個部件的故障特征頻率

圖5 故障軸承的時域圖和功率譜圖

以滾動體故障為例，通過計算得其理論特征故障頻率為119.72 Hz，其時域圖和功率譜圖如圖5所示。利用隨機共振方法對其進(jìn)行檢測，通過隨機共振處理后得出滾動軸承滾動體發(fā)生故障時的時域圖和功率譜圖如圖6所示。

圖6 輸出信號的時域圖和功率譜圖

圖5、圖6中所標(biāo)出的是頻率為120.2 Hz時的坐標(biāo)值，與理論計算中的滾動體故障頻率119.72 Hz相吻合，還可以看出一些高頻成分被消弱，而有用信號得到加強，特征頻率120.2 Hz處的幅值由0.014 9增加到0.082 52，有了很大提高。從而可以判斷此故障為軸承滾動體故障。

5 結(jié) 論

本文提出了一種新型耦合隨機共振的微弱軸承故障信號檢測方法。首先，由勢函數(shù)圖形分析，隨著噪聲強度增加，會使粒子在兩個勢阱之間運動，當(dāng)非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)和周期信號、噪聲源相互匹配時會產(chǎn)生隨機共振現(xiàn)象。然后，用信噪改善比和相關(guān)系數(shù)曲線去驗證了增加耦合項能夠加強隨機共振現(xiàn)象的發(fā)生。同時，畫出了阻尼系數(shù)隨著噪聲強度變化的信噪改善比曲線圖，發(fā)現(xiàn)在某個噪聲強度下，它的信噪改善比值達(dá)到一個最大值，它是隨機共振產(chǎn)生的一個明顯特征。并且對實際軸承故障信號進(jìn)行處理，證明了非線性耦合雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)能增強故障特征信號。

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