劉劍鳴, 習敬偉(燕山大學 電氣工程學院， 河北 秦皇島 066004)

1 引 言

混沌系統(tǒng)對輸入信號敏感、抗干擾性好，是弱信號檢測領域的一個新研究方向。2000年，聶春燕等人分析了二維Duffing混沌系統(tǒng)的弱信號檢測性能[1]；2006年，衣文索等人提出二維Duffing振子與弱正弦信號參量估計[2]；2013年，劉海波等人提出了對Duffing混沌系統(tǒng)的逆向相變檢測法[3]；2016年，時培明等人提出雙耦合Duffing混沌振子微弱信號檢測方法[4]。

通過多年改進，傳統(tǒng)Duffing混沌系統(tǒng)在弱信號檢測性能方面得到了很大提升，但仍有兩個問題一直沒有解決：(1) Duffing混沌系統(tǒng)變量x和y輸出為周期態(tài)和混沌態(tài)，在檢測時很難區(qū)分；(2) Duffing混沌系統(tǒng)只能窄域信號檢測。當檢測信號增強時，Duffing系統(tǒng)輸出由混沌態(tài)進入周期態(tài)，繼續(xù)增強檢測信號，系統(tǒng)輸出又回到混沌態(tài)，給信號檢測造成混亂。

其后，三維Liu混沌系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)[5～7]；2005年，Choe等人通過抑制方法使三維Lorenz混沌系統(tǒng)中的一個變量收斂于零[8],但是帶來了穩(wěn)定性變差；2013年，孟玲玲等人提出了混沌和類周期態(tài)兩種狀態(tài)的Lorenz混沌檢測系統(tǒng)[9]。上述研究成果仍然沒有解決混沌系統(tǒng)窄域檢測和收斂性的問題。

2016年，本課題組提出了多個三維混沌弱信號檢測系統(tǒng)[10]，并發(fā)現(xiàn)Liu-cos混沌系統(tǒng)效果相對最好[11]。

2 傳統(tǒng)Duffing混沌系統(tǒng)性能

Duffing混沌系統(tǒng)方程式為：

(1)

取k=5，當r超過閾值繼續(xù)增大后，系統(tǒng)交替出現(xiàn)混沌態(tài)和周期態(tài)，臨界值不唯一，檢測范圍具有窄域性。兩種狀態(tài)波形幅值、頻率接近，難以區(qū)分。系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)仿真如圖1。

圖1 Duffing系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)圖

3 Liu-cos混沌系統(tǒng)性能

3.1 系統(tǒng)動力學特征

三維Liu-cos混沌系統(tǒng)方程式為：

(2)

取a=2.4，b=2.5，c=7，ω=1，r=1.8，系統(tǒng)特征如圖2和圖3。

圖2 相平面圖

圖3 時序圖

仿真實驗顯示Liu-cos系統(tǒng)相平面有界非重疊、時序無序、系統(tǒng)具有混沌特征。

3.2 傅里葉-李雅普諾夫廣域收斂判別算法

將rcos(ωt)用X替代，由式(2)得：

(3)

特征方程：

(a+λ)(λ2-(b-c)λ-bc+4X2)=0

(4)

ejω0t=2 p δ(ω-ω0)

(5)

cos(ω0t)=(e-jω0t+ejω0t)/2

= p δ(ω-ω0)+ p δ(ω+ω0)

(6)

令ω=1，v=ωt，得Liu-cos系統(tǒng)方程式：

(7)

對常數(shù)σi(i=1,2,…,n)，設：

(8)

設U和Q為n階和n×1階常數(shù)陣，系統(tǒng)存在映射xk+1=f(xk)，在平衡點xp=(rcosωt,0,0)處的雅克比陣為J(xp)，構造uk(k=1,2,…,n)輸入序列滿足：

uk=Uxk+Q

(9)

(10)

將輸入序列uk加入系統(tǒng)映射右面得：

xk+1=f(xk)+uk

(11)

經過整理計算得：

xk+1=f(xk)-f(xP)+J(xP)(xP-xk)+

E(xk-xP)+xP

(12)

式(12)顯示在輸入序列作用下，系統(tǒng)在點xp周邊存在吸引域，域內點將收斂到平衡點，平衡點雅克比陣J(xp)=E，平衡點xp即為系統(tǒng)穩(wěn)定點，對角陣E中σi既為系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)，當σi全部為負實常數(shù)時，系統(tǒng)在點xp處特征值λi=eσi，此時系統(tǒng)收斂，在廣域平衡點(rcosωt,0,0)處變量x平衡于輸入驅動信號，變量y和z收斂到0。

3.3 Liu-cos系統(tǒng)仿真分析

(1)廣域檢測

取a=2.4，b=2.5，c=7，ω=1，廣域李雅普諾夫指數(shù)仿真實驗結果如圖4所示。

圖4 李雅普諾夫指數(shù)圖

(2)收斂性

在系統(tǒng)臨界狀態(tài)，加入0.000 001待測信號，系統(tǒng)仿真輸出如圖5所示，顯示系統(tǒng)變量y和z收斂到0。

圖5 各變量輸出時序

仿真實驗顯示Liu-cos混沌系統(tǒng)臨界值唯一，檢測范圍具有廣域性，變量y和z輸出混沌和收斂態(tài)區(qū)分明顯。

4 Liu-cos混沌系統(tǒng)聲波檢測

4.1 檢測系統(tǒng)的構成

聲波檢測系統(tǒng)包括：聲波發(fā)射器、聲波接收器、Duffing和Liu-cos混沌電路板、示波器,如圖6所示。

圖6 檢測系統(tǒng)實物圖

(1)聲波發(fā)射器：選用數(shù)字音頻編輯器軟件GoldWave對音頻信號進行編輯、播放，通過連接電腦的粉色喇叭間歇發(fā)射500 Hz正弦聲波信號。

(2)聲波接收器：選普通話筒進行音頻放大，將聲音信號轉化為微弱電信號，經兩級電壓放大和一級功率放大為1.6 V電信號后輸入混沌電路板。

(3)Duffing和Liu-cos混沌電路板：用電路仿真軟件Multisim設計混沌電路板，然后利用運算放大器ADTL084A和乘法器AD633(x和y輸出最大非線性度分別為4 mV和1 mV)制作混沌電路板。

(4)最后用示波器觀察混沌電路板接收聲波信號后的輸出波形變化。

4.2 與Duffing電路收斂性對比

聲波發(fā)射器間歇發(fā)射500 Hz正弦聲波信號，聲波接收器將聲音信號轉化為極其微弱電信號，經三級放大后輸入Liu-cos電路板，變量x、y、z輸出時序如圖7所示。圖7中，上面波形為x輸出，中間為y輸出，下面為z輸出，最下面為500 Hz輸入信號。

圖7 Liu-cos混沌電路輸出時序

揚聲器間歇發(fā)射500 Hz正弦聲波信號，通過聲波接收器轉換放大后輸入Duffing混沌電路板，變量x和y的輸出時序如圖8所示。

圖8 Duffing混沌電路輸出時序

通過比較可見，Duffing混沌電路板的輸出混沌和大周期區(qū)分不明顯。Liu-cos混沌電路板變量y和z輸出由混沌變?yōu)槭諗繀^(qū)分明顯，過渡過程短暫，電路反映靈敏，便于接下電路辨識處理。

4.3 廣域檢測

逐漸放大輸入信號到10 V，Liu-cos混沌電路板變量x、y、z的輸出時序如圖9所示。

圖9 Liu-cos混沌電路加強信號的輸出

變量y和z輸出一直保持收斂狀態(tài)。顯示Liu-cos混沌電路可進行cos信號幅值廣域檢測。

4.4 與Duffing電路檢測信號頻率對比

取Liu-cos混沌電路板基準頻率500 Hz，測量到500.2 Hz頻率聲波信號時，變量y和z間歇混沌輸出波形如圖10。利用間歇時間間隔計算外部被測信號頻率是Liu-cos混沌電路另一個應用場合。

圖10 Liu-cos電路輸入500.2 Hz信號的輸出

取Duffing電路板基準頻率500 Hz，測量到500.2 Hz頻率聲波信號時，輸出波形如圖11。

圖11 Duffing電路輸入500.2 Hz信號的輸出

圖10和圖11顯示Liu-cos混沌電路板變量y和z輸出間歇混沌和收斂信號變化明顯，易于計算被測量聲波信號頻率。Duffing混沌電路間歇混沌和大周期信號的幅值、頻率過渡過程緩慢，不利于區(qū)分和計算。

5 抗窄帶噪聲干擾

寬帶信號與窄帶信號目前的定義不盡相同，計算窄帶信號與寬帶噪聲相比的信噪比意義不大，最好是換算到譜級比較。Liu-cos混沌系統(tǒng)的譜級信噪比經過計算得：

(13)

式中：sum表示求和運算；abs表示開平方運算；x(f)為待測信號功率；n(f)為噪聲信號功率。

5.1 火車持續(xù)低頻聲波干擾

在火車低頻噪聲干擾下，Liu-cos混沌電路板輸出如圖12。上部為變量x、y和z輸出，底部信號為火車低頻干擾聲音和500 Hz聲波信號相混合放大后輸入混沌電路的波形，實際實驗顯示500 Hz輸入信號在低頻噪聲干擾下波形已完全變形，但對變量y和z輸出波形收斂性能影響輕微，說明Liu-cos電路具有很好的抗低頻、窄帶噪聲干擾的能力。

圖12 火車聲波干擾時的輸出時序

5.2 突加悶雷低頻聲波干擾

Liu-cos混沌電路在悶雷低頻聲波干擾下的輸出如圖13。圖中底部信號前部為500 Hz聲波信號輸入，1/3處為加入低頻悶雷噪聲和500 Hz聲波信號混合放大后輸入混沌電路的波形。

圖13 突加悶雷干擾時的輸出時序

由圖13可見突加低頻悶雷噪聲干擾對變量y和z收斂波形影響輕微，說明Liu-cos電路板具有很好的抗突加窄帶強噪聲干擾能力。

6 性能對比

鎖相放大器、Duffing混沌電路和Liu-cos混沌電路弱信號檢測性能對比如表1。通過對比顯示了Liu-cos混沌系統(tǒng)弱信號檢測的優(yōu)越性。

表1 弱信號檢測性能對比

7 結 論

混沌系統(tǒng)對輸入信號敏感、抗干擾性好，適合應用于聲波弱信號檢測領域。

(1)通過設計的混沌系統(tǒng)收斂性判別算法，證明了Liu-cos混沌系統(tǒng)變量y和z對于聲波弱信號檢測具有廣域性收斂性、閾值唯一性。解決了傳統(tǒng)Duffing混沌弱信號檢測系統(tǒng)變量x和y輸出不收斂、只能進入窄域檢測等問題。

(2)實際聲波檢測實驗顯示Liu-cos混沌系統(tǒng)變量y和z具有廣域檢測性，收斂快，抗窄帶干擾能力強；間歇混沌信號分界線明顯、易于判別。

(3)對鎖相放大器、Duffing混沌系統(tǒng)和三維Liu-cos混沌系統(tǒng)弱信號檢測性能進行了對比，對比顯示了三維Liu-cos混沌弱信號檢測系統(tǒng)的諸多優(yōu)點, 對未來混沌系統(tǒng)弱信號檢測實際工程應用具有參考價值。

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