胡紅波, 楊麗峰, 于 梅(中國計量科學研究院, 北京 100029)

1 引 言

加速度計特別是壓電加速度計在機械振動沖擊、狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷等工程技術領域廣泛應用,加速度計在使用之前必須經(jīng)過校準,以便確定其輸入與輸出之間的關系。目前校準加速度計,主要采用的是正弦振動與沖擊激勵的校準方式,相關ISO標準確定了校準所采用的設備以及校準方法等[1～3]。中國計量科學研究院建立的絕對法振動與沖擊加速度基標準裝置能夠在很寬的頻率范圍與較高沖擊加速度峰值條件下對加速度計進行精確校準[4,5]。

基于兩路正交輸出的零差激光干涉儀精度高、穩(wěn)定可靠,且相對成本較低,是實現(xiàn)基于正弦逼近法的絕對法振動校準的主要測量設備[6],因此分辨率不再是問題。零差干涉儀用于低頻振動校準時,低頻振動位移較大[7],但由于較大的振動速度會引起干涉信號較大頻移,故需要較高的采樣率來采集兩路干涉信號,加上低頻周期較長,多周期的采樣往往會造成低頻測量時數(shù)據(jù)量過大等問題,從而限制了低頻振動校準的下限。本文參考文獻[8,9],針對零差干涉儀低頻振動測量數(shù)據(jù)量過大造成干涉信號相位展開和計算正弦參數(shù)時的問題做了初步的分析,采用了一種所謂的動態(tài)相位展開算法,降低低頻振動時對干涉信號的采樣率,同時采用遞推的算法實現(xiàn)正弦參數(shù)的確定,試驗表明,本文所述的方法能夠有效地降低低頻測量時數(shù)據(jù)量,拓寬零差干涉儀用于低頻段校準的工作頻率下限。

2 零差干涉儀正交輸出信號的特性

零差干涉儀用于絕對法振動校準,主要有3個關鍵的算法:第1個是兩路正交信號的正交誤差修正[10];第2個是相位展開;第3個是如何從含有噪聲的位移時間序列中估計出幅度與相位。本文主要針對后面兩個問題進行分析。假設振動臺振動的位移為:

s(t)=s0cos (ω0t+φ0)

(1)

式中:s0為振動位移幅值;ω0=2 p f0為振動的角頻率;φ0為相位。則經(jīng)過修正后的一路零差干涉信號輸出如式(2)所示。

(2)

式中:λ為激光波長;L為零差干涉儀測量光與參考光光程差,兩者均為常數(shù)。利用歐拉公式將式(2)改寫成指數(shù)形式:

(3)

式(3)中,等式右邊兩項的第1個乘積部分為常數(shù),第2個乘積部分為雅克比-安格爾恒等式在調頻信號處理中的形式。由參考文獻[11]可知:

(4)

式中:Jn為第一類貝塞爾函數(shù)。

(5)

對式(5)進一步簡化,可得:

(6)

對式(6)進行傅里葉變換可得干涉信號對應的頻域表達式為:

exp(jnφ0)δ(f-nf0)

(7)

式中:δ(t)為狄拉克函數(shù)。

從式(7)中可以看出,零差干涉儀輸出信號的傅里葉變換中只包含振動臺振動頻率f0及其諧波成分。為了便于說明,假定振動臺工作的頻率f0=1 000Hz,加速度a0=100m/s2,此時理想的一路零差干涉信號及其傅里葉變換如圖1所示。

圖1 設定振動條件下的零差干涉信號及對應的幅度譜

從圖1可以看出,零差干涉信號的最高頻率成分約為51kHz,并且其包含的頻率成分均為振動頻率的高次諧波。另外,依據(jù)振動臺振動對應的速度vmax,零差干涉信號最高的頻率成分fmax=vmax×3.16MHz,也可計算出干涉信號最高頻率約為51kHz。

3 動態(tài)相位展開的算法

當振動臺工作頻率為10 Hz時,假定振動加速度為10 m/s2,此時對應的振動速度量約為0.16 m/s,則零差干涉儀輸出的兩路正交干涉信號最高頻率成分為500 kHz,依據(jù)采樣定理則采樣率至少需超過1 MHz才能保證信息不會丟失,為了保證采樣周期為10個振動周期,則采樣點數(shù)至少為106。通常實際測試過中,采樣率往往會大于奈奎斯特采樣頻率,即點數(shù)會更多。隨著振動頻率的降低,振動臺運動位移加大,振動速度量往往會更大,加上采樣持續(xù)時間相對會更長,從而采用點數(shù)會急劇增加,最終容易造成解算程序崩潰。作者在將零差干涉儀用于低頻振動測量時,采用了一種新的動態(tài)相位展開算法,能夠有效地降低低頻時的采樣率,從而降低低頻振動測量時所需采集的點數(shù),有效地拓寬了零差干涉儀用于低頻振動校準的頻率下限。該方法主要是利用了振動速度量是一個連續(xù)變化的過程,或者說不能突變的性質,同時利用了相同時刻的加速度量。

設采集到的兩路正交零差干涉信號分別為Ux(k)與Uy(k),k=0,1,…,N-1,按式(8)計算相位φ(k):

(8)

(9)

式中:mk為待確定的整數(shù)。假定m0,m1已知,則可以計算2個初始時間的位移量s(0)與s(1),由式(10)可得從時刻0到時刻1的平均速度。

(10)

式中：Δt為采樣間隔。按式(11)可計算從時刻1到時刻2時的速度估計值。

v1→2=v0→1+a1×Δt

(11)

式中：a1為時刻1的加速度量,這個量可以通過同步采樣被校準的加速度計的輸出得到?？紤]到日常校準過程中,往往對被校準的加速度計的靈敏度有一定的先驗了解,能夠大概地估計出被校加速度計的靈敏度,或者可以在參考點的頻率下預先校準,也能得到較為可靠的同時刻加速度量的值。在得到了時刻2時的速度量后,可按式(12)得到時刻2的位移的估計值和對應的相移估計值。

(12)

式中：fractuum(x)=x-round(x),round函數(shù)值取離x最近的整數(shù)。由式(8)可知時刻2真實的相移值φ(2),于是可以得到相移估計值的誤差為:

(13)

(14)

利用式(12)計算得到的時刻2的位移估計值,最終得到時刻2的位移為:

(15)

至此時刻2的位移量就已經(jīng)確定了,依次即可確定后續(xù)值采樣點數(shù)N點的位移量。上述算法利用到了相同時刻的加速度量,由于算法利用了的相關振動機械量信息,故未采用由于數(shù)據(jù)量過大會引起程序無法執(zhí)行的常規(guī)相位展開算法。

采用這種算法計算的目的主要是為了降低采樣率,能夠采用的最低的采樣率與式(11)有關,即加速度量值的準確與否。假定加速度量估計的誤差為ae,則位移估計量的偏差為:

(16)

(17)

(18)

當振動臺工作頻率為10 Hz時,假定振動加速度量為10 m/s2,采樣率至少需要1 MHz以上,而采用該算法,假設加速度計靈敏度估計誤差為0.1,則采樣率只需1.78 kHz,不到2 kHz,這樣會極大地減小數(shù)據(jù)量,從而避免由于數(shù)據(jù)量過大造成后續(xù)處理程序的崩潰。

4 幅度和相位角參數(shù)確定的遞歸算法

基于前面解算得到位移信號s(k),標準推薦采用基于最小二乘法的正弦擬合方法。即計算式(19)中參數(shù)A,B,C的值。

s(k)=Acosωk-Bsinωk+C

(19)

由于利用最小二乘算法計算參數(shù)時需首先利用得到的數(shù)據(jù)構造數(shù)據(jù)矩陣,同時在參數(shù)計算的過程中還需用到矩陣求逆等運算,當采集得到的數(shù)據(jù)量較大的時候,矩陣相乘和求逆的運算量急劇增加,會給軟件的計算速度和存儲量帶來很大的負擔,并且極易造成軟件環(huán)境的崩潰。在低頻振動校準的時候,由于運動周期較長,不可避免的采樣持續(xù)時間也較長,故數(shù)據(jù)量往往會較大,難以采用標準推薦的一次實現(xiàn)算法計算得到參數(shù)的值。實際上這個問題是屬于參數(shù)辨識或者是曲線擬合的問題,在相關的學科中有很多算法可以解決這一問題。結合標準中推薦的計算方法,可以采用最小二乘遞推的算法來解決這一問題。遞推算法不但能夠減少計算量和存儲量的問題,還可以實現(xiàn)在線的辨識,也能夠跟蹤參數(shù)的變化。即參數(shù)當前時刻的估計值由前一時刻的估計值加上一定的修正量構成,其中修正項一般與殘差有關。加權遞推計算參數(shù)估計值為:

(20)

圖2 位移信號的擬合與參數(shù)值遞推計算結果

從圖2可以看出,正弦擬合的曲線較好地復現(xiàn)了含噪聲的振動位移,同時從振動的振幅與相位參數(shù)的遞推結果可以看出,大約經(jīng)過4 000步的遞推后,2個參數(shù)的值基本穩(wěn)定,遠遠小于實際采樣得到的點數(shù)。另外,在實際測試中可根據(jù)要求確定算法停止參數(shù)遞推的準則。

5 小 結

本文分析了零差干涉儀用于振動測量時兩路干涉信號的特點。同時詳細說明了在低頻振動測量時運用零差干涉儀的主要問題,即由于干涉信號頻率成分高,同時低頻采樣周期長,導致數(shù)據(jù)量會急劇增加而影響計算程序后續(xù)計算的問題。針對此問題,文中詳細地說明了一種動態(tài)相位展開的算法,該算法利用了振動過程中加速度量的信息,同時利用振動速度量運動的規(guī)律,實現(xiàn)了在較低采樣率下計算出振動位移量。在計算出振動位移量后,針對計算正弦運動參數(shù)計算的問題,采用了一種以最小二乘算法為基礎的遞推的計算方法,能夠有效地避免過多數(shù)據(jù)組成矩陣運算造成參數(shù)無法計算的問題。綜上所述,采用本文所述的方法能夠有效地降低低頻振動時所需要的數(shù)據(jù)量,拓寬零差干涉儀用于低頻振動校準的頻率下限,但其校準結果的評估有待進一步分析。

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