摘要：質(zhì)點力學(xué)的問題，既可以用牛頓力學(xué)也可以用拉格朗日力學(xué)（還有哈密頓原理）中的任何一種基本原理來表述。經(jīng)典力學(xué)中惟一可以用實驗加以驗證的是牛頓第二定律，也正是這一定律，構(gòu)成了牛頓質(zhì)點力學(xué)的基礎(chǔ)，而拉格朗日力學(xué)卻要求抽象的虛位移、虛功，顯然這種依賴于思維的原理是不可能用實驗加以驗證的。、

關(guān)鍵詞：牛頓力學(xué)；拉格朗日力學(xué)；聯(lián)系；區(qū)別

下面就兩種力學(xué)理論的主要聯(lián)系和區(qū)別進行說明：

一、兩種理論的區(qū)別

（一）力學(xué)規(guī)律的比較

牛頓力學(xué)的基本觀念：時間的絕對性與時空分離的觀念，使得它只適用于物體運動速度遠小于光速的范圍，為了擺脫經(jīng)典概念的束縛，而且成為自然地過渡向非經(jīng)典力學(xué)的橋梁，拉格朗日力學(xué)為這種過渡做出了最好的準(zhǔn)備。

拉格朗日方程是以達朗伯原理為基礎(chǔ)，而達朗伯原理的出發(fā)點是牛頓運動方程，后面進行的所有推導(dǎo)都只是改變表述的形式。如引進廣義坐標(biāo)是為了使變量獨立，利用虛功原理是為了去掉約束力的貢獻，這些過程既沒有增加也沒有減少力學(xué)規(guī)律的內(nèi)容。但它得到的力學(xué)系統(tǒng)在完全一般性廣義坐標(biāo)描下具有不變形式的動力學(xué)方程，概括了比牛頓力學(xué)要廣泛得多的系統(tǒng)，同時它也提供對力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)、穩(wěn)定性、振動方程作一般性研究的可能，并發(fā)

展研究了非完整系統(tǒng)，特別是非線性完整系統(tǒng)的研究。

（二）理論研究的切入點的比較

拉格朗日力學(xué)與牛頓力學(xué)的著眼點是不一樣的。牛頓力學(xué)方法是以質(zhì)點為對象，把著眼點放在作用于物體上的外界因素（力），在處理質(zhì)點系統(tǒng)問題時，須分別考慮各個質(zhì)點所受的力，然后來推斷整個質(zhì)點系統(tǒng)的運動，而拉格朗日在處理問題時，以整個力學(xué)系統(tǒng)作為對象，用廣義坐標(biāo)來描述整個力學(xué)系統(tǒng)的位形，著眼于體系的能量（如動能和勢能）概念。實際上在拉格朗日表述中沒有一處引入過力的概念，這主要是因為能量是標(biāo)量，并且一系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)是不隨坐標(biāo)變化而變化的；在力學(xué)系統(tǒng)受到理想約束時，可在不考慮約束力的情況下來解決系統(tǒng)的運動問題；另外牛頓力學(xué)用矢量（如力速度、角速度、力矩等）形式來考慮力學(xué)系統(tǒng)，而在拉格朗日力學(xué)中運動方程完全是在位形空間以標(biāo)量運算的形式獲得的因而往往我們可以把在普通空間中很復(fù)雜的運動方程變換到位形空間，并適當(dāng)選擇位形空間可使問題得到很大的簡化如求解雙擺問題、陀螺運動等等）。

（三）方程形式的比較

拉格朗日動力學(xué)方程取較簡潔的形式。對于有n個質(zhì)點所組成，受到k個約束條件限制的力學(xué)體系，應(yīng)用牛頓定律將需要3n+k個方程聯(lián)立求解，而用拉格朗日方程只有3n-k個，約束越多，這一優(yōu)點就越明顯。另外，在上述已談到，牛頓運動方程是從物體受力角度導(dǎo)出的，而拉格朗日方程是從能量的角度來寫動力學(xué)方程的，這樣的好處是：一是，力是矢量，能量是標(biāo)量，一般來說處理標(biāo)量比處理矢量要方便。二是，力僅是力學(xué)范圍內(nèi)的一個物理量，而能量則是整個物理學(xué)的一個基本物理量，這就為把力學(xué)規(guī)律應(yīng)用到其他物理學(xué)領(lǐng)域開辟了可能性，使拉格朗日方程成為力學(xué)和物理學(xué)其他分支相聯(lián)系的橋梁。但由拉格朗日方程得到的各種表達式的物理圖像，又不如應(yīng)用牛頓運動方程式那樣直觀和簡單。

二、兩種理論的聯(lián)系

從以上我們看到似乎牛頓力學(xué)與拉格朗日力學(xué)的觀點有著根本的差異，好像是兩套理論來解力學(xué)問題，其間沒有相同的地方，實際上，這是一種表面現(xiàn)象，由下面我們可看到它們對質(zhì)點動力學(xué)所做出的正確描述都是等價的，只不過是觀點不同，而結(jié)果是相同的。

122.1兩種理論的方程

考慮保守情形考慮保守系情形，選取直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，對單個質(zhì)點：

拉格朗日方程為：

i=1，2，3……

拉格朗日函數(shù)：L=T-U

方程可寫為：

對保守系：

故上式可寫為：

又對保守系：

則

即

這正是牛頓第二定律的表達式，表明在廣義坐標(biāo)就是直角坐標(biāo)情形下，拉格朗日方程和牛頓動力學(xué)方程是完全等價的。

2.2兩種理論的力的分類

在質(zhì)點系牛頓力學(xué)，將力分為外力和內(nèi)力的結(jié)果，導(dǎo)致了有關(guān)內(nèi)力的一個特別的公理，即牛頓第三定律：

同樣，拉格朗日力學(xué)中每一個有界力要不是一個“約束力”，要不就不是約束力（稱之為“給定力”），也需要有一個關(guān)于約束力的特別的公理，這個公理就是達朗貝爾原理：在質(zhì)點系動力學(xué)問題中，約束力總體可以不予考慮；單從力分類所存在的公理角度來看牛頓力學(xué)與拉格朗日力學(xué)等價，這種等價只是對應(yīng)于內(nèi)力和外力、約束力和給定力所各自相應(yīng)的公理存在而言。當(dāng)然，不管是內(nèi)力還是外力都可能包含有約束力和給定力，也就是它們對力的分類是不相當(dāng)?shù)?，不過在這我們只是從存在的“公理”來看等價的。

3.總結(jié)

綜上所述：牛頓力學(xué)在數(shù)學(xué)處理方面著重于幾何和矢量的應(yīng)用，拉格朗日力學(xué)則偏重于解析數(shù)學(xué)，它們處理問題的出發(fā)點不一樣，但所得的結(jié)論是一致的。在學(xué)習(xí)中我們看到在拉格朗日力學(xué)中并沒有在任何意義上建立新的理論，只不過是在力學(xué)中引人虛位移和虛功的概念把牛頓觀點進行擴展的結(jié)果，這也正是這兩種不同風(fēng)格的力學(xué)理論，在力學(xué)范疇內(nèi)所包含的內(nèi)容完全等價的原因所在。但我們也看到，由于拉格朗日力學(xué)具有普適的表達方式，使它有可能超越力學(xué)范圍，推廣到其他學(xué)科中應(yīng)用。

【作者簡介：翟晨光 （1998-） 男 漢族 河北石家莊市人 學(xué)生 本科 西北工業(yè)大學(xué) 飛行器設(shè)計與工程 】