石宇

摘要：初中數(shù)學(xué)課堂上，思維訓(xùn)練應(yīng)成為重點(diǎn)。只有培養(yǎng)出學(xué)生良好的思維能力，才有助于后期發(fā)展。思維訓(xùn)練的前提是要求教師具備有效的提問能力，可以通過提問題開拓學(xué)生的思維空間；思維訓(xùn)練的成果是通過學(xué)生課堂上的發(fā)言直觀呈現(xiàn)、課后習(xí)題完成間接呈現(xiàn)；思維訓(xùn)練的方式是提升學(xué)生構(gòu)建模型、深層剖析、歸納概括的能力。這些內(nèi)容需要教師給學(xué)生留有思考空間，改變傳統(tǒng)的講授方式，而且有設(shè)計(jì)地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，借此更有效地達(dá)成知識的接受能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；思維；發(fā)言；訓(xùn)練

一、引言

在數(shù)學(xué)課堂中，如果有教無方，學(xué)生無法體會知識的內(nèi)涵。而這個“方”，包含一個重要的內(nèi)容——數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)。教師如何利用有限的課堂時(shí)間，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，成為重中之重。本文結(jié)合數(shù)學(xué)課堂中的案例，探究培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方法。

二、前提——提問的藝術(shù)

思維是需要發(fā)散的，正如外語單詞都是由詞根衍生而來的，只需要記住詞根，便可以分析出任意一個單詞的含義。只要教師為學(xué)生提供思維發(fā)散的問題平臺，便可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力?！八膯枴本褪且蠼處熖岢鏊念愑行У膯栴}，并給予學(xué)生足夠的思考時(shí)間，這樣便可以達(dá)成思維訓(xùn)練的目標(biāo)。

1.生成性問題

目前數(shù)學(xué)課堂采用學(xué)案教學(xué)法，在學(xué)案上給出學(xué)生本節(jié)課需要掌握的知識、完成的過程、練習(xí)的題目等內(nèi)容，這些問題含有確定的答案，試圖讓學(xué)生去猜測結(jié)果，學(xué)生思維沒有得到訓(xùn)練，只是簡單地應(yīng)用所學(xué)知識。而生成性的問題，是“不給出，留空間”。

例如，在《函數(shù)的圖象》一課中，需要訓(xùn)練學(xué)生分析圖象的能力、解答問題的能力。原有的學(xué)案中給出一個函數(shù)圖象，8個從淺入深的問題，讓學(xué)生逐一解答。在第一個班級中，學(xué)生10分鐘內(nèi)就寫出了答案，但同時(shí)出現(xiàn)以下問題：

（1）在解答第二道相似例題時(shí)，不會進(jìn)行舉一反三，又耗費(fèi)一段時(shí)間去重新思考解答；

（2）在課后作業(yè)完成中，沒有掌握有效的分析函數(shù)圖象的方法，完全利用舊知識進(jìn)行解答。

經(jīng)過調(diào)整，第二個班級的學(xué)案中只給出一個圖象，給學(xué)生的問題是：你能根據(jù)圖象提出哪些問題？課堂將20分鐘主動權(quán)交給學(xué)生，共有30多名學(xué)生進(jìn)行不同的提問并逐一解答，范圍和難度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過設(shè)定的8個問題。緊接著給出第二道例題，學(xué)生游刃有余地快速解決。

第二種具有生成性的問題，給學(xué)生很大的思維空間，但這種發(fā)散式的教學(xué)方式對教師是一個挑戰(zhàn)。第一，課前需要預(yù)設(shè)出學(xué)生必須掌握的知識并進(jìn)行合理分類，課上引導(dǎo)其挖掘出未思考到的內(nèi)容。第二，課上需要給學(xué)生留有足夠的思考時(shí)間，通過提出問題的順序，把握學(xué)生思維過程，由淺入深的教學(xué)過程需要的時(shí)間也是遞增的。但這也是一種變相的高效課堂，看似耗費(fèi)時(shí)間研究一個問題，但是卻可以從中解決多種問題。

2.建設(shè)性問題

這類問題是在數(shù)學(xué)課堂中最常見的，例如給出情境的問題、需要猜想結(jié)論的問題等，一般出現(xiàn)在壓軸題中。但這類問題在課堂上出現(xiàn)時(shí)，有時(shí)為了節(jié)約課堂時(shí)間，教師往往會急于引導(dǎo)學(xué)生走到自己的解決方式中而加以提示，這樣就完全喪失了問題的建設(shè)性。真正建設(shè)性問題的原則，是“只拋出，不插手”。

在課堂結(jié)尾部分，會針對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，有時(shí)考慮到學(xué)習(xí)能力的差異性，還會為尖子生擬定附加題，目的在于檢驗(yàn)學(xué)生是否通過新知掌握思考能力。如果教師可以將這兩類問題進(jìn)行階梯式地融合，轉(zhuǎn)變?yōu)榻ㄔO(shè)性問題，就可以幫助學(xué)生既完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，也幫助他們把握關(guān)鍵的問題和提高解決問題的能力。

例如，在研究距離與時(shí)間的函數(shù)圖象時(shí)，教師要求學(xué)生觀察圖象說出小明在做什么運(yùn)動，然后說出運(yùn)動的全過程，于是學(xué)生給出以下描述：小明一直在向前走、中途停止運(yùn)動、后期走得比前期快等。之后，教師要求學(xué)生解釋原因：“僅憑觀察你知道他運(yùn)動得快慢嗎？”“你不能確定的是哪個階段？”“如何說明他的行走方向？”表面上看，這些問題很好解決，可一旦學(xué)生想深入探究教師提問的原因，就會發(fā)現(xiàn)問題很難回答。假如不提這些問題，學(xué)生學(xué)習(xí)不到其中的思考方式。

3.追問性問題

數(shù)學(xué)考試是要求學(xué)生針對解決一個問題即可。但數(shù)學(xué)課堂，需要讓學(xué)生具備觸類旁通的能力，因而教師必須通過有限的題目進(jìn)行演變。追問性問題的原則，是“求深入，達(dá)目標(biāo)”。

“你為什么這么認(rèn)為？”應(yīng)該成為教師與學(xué)生最常用的互動方式。教師針對題目中的問題，追問學(xué)生思考的切入點(diǎn)、解決的方式、答題的思路、考察的知識點(diǎn)等，要求學(xué)生有順序的分析問題，并可以刨根問底地挖掘出隱含問題。教師可以通過追問的方式，強(qiáng)化學(xué)生不斷探究的能力，讓學(xué)生通過不斷地思考，深刻地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)容。

4.轉(zhuǎn)化性問題

數(shù)學(xué)課堂的主體由教師轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生，傾聽學(xué)生的回應(yīng)將成為提高思維能力的最大助力。這個過程中，教師可以重新定位所要提出的問題。轉(zhuǎn)化性問題的原則，就是“重傾聽，尋思考”。

當(dāng)教師一味地以需要完成教學(xué)任務(wù)為目的而提出問題時(shí)，很多學(xué)生已經(jīng)不會思考了，只會猜測教師要的答案。在課堂上，教師真正要傾聽的是學(xué)生提出的問題、說出的思路等。因此從傾聽學(xué)生的每一句話人手，抓住他的思考過程，有時(shí)只需要教師一個點(diǎn)睛之筆，就可以順利打通學(xué)生的“任督二脈”。

三、方式——思維的訓(xùn)練

1.集思廣益——構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

初中數(shù)學(xué)接觸到的題型非常有限，而且題目都可以模型化。如果學(xué)生在做題過程中，可以在腦海中構(gòu)建出所需要的數(shù)學(xué)模型，并找到這一類題型的處理方式，就可以產(chǎn)生相應(yīng)的思維方式，可以“直覺”地處理問題。

例如，在處理函數(shù)圖象的問題時(shí)，最基本的模型就是平面直角坐標(biāo)系與一條線之間的關(guān)系，而整個平面直角坐標(biāo)系的本質(zhì)就是由兩個軸和無數(shù)個點(diǎn)組成，因此只需關(guān)注兩者之間的交集——所有的折點(diǎn)。如果問題加深到兩條線，只需再額外關(guān)注兩條線之間的交點(diǎn)。這種數(shù)學(xué)思維的整理，便是從不同的題目中吸收關(guān)鍵，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

2.深思熟慮——分析深層含義

學(xué)生需要學(xué)會自己分析題目背后的深層含義，這樣才能在應(yīng)對不同問題時(shí)做到舉一反三。

例如2005年長春市中考數(shù)學(xué)選擇題：十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當(dāng)你抬頭看信號燈時(shí)，求黃燈的概率。熟悉生活的學(xué)生，從數(shù)學(xué)思維角度加以分析，就可以順利解決。同時(shí)在這個背景下，還可以挖掘出相似類型題，從數(shù)據(jù)分析角度出發(fā)可以求出相應(yīng)概率，從圖表分析角度思考可以得出條形統(tǒng)計(jì)圖。

3.思前想后——?dú)w納知識網(wǎng)絡(luò)

在數(shù)學(xué)課本每個章節(jié)最后的復(fù)習(xí)部分，會列出一個知識框架圖。教師在課堂上與學(xué)生共同分析每步相互連結(jié)的原因，但是如果讓學(xué)生自己列框架圖，他們會強(qiáng)行回憶書中的寫法，造成思路混亂。

所以，在我的復(fù)習(xí)課堂上，會嘗試讓學(xué)生自己寫出本章所有的知識點(diǎn)、需要掌握的題型、自己的額外思考等，然后將這些內(nèi)容按照自己喜歡的方式進(jìn)行排序、分類，在互相分享的過程中進(jìn)行補(bǔ)充。這種效果遠(yuǎn)超越記憶方式，雖需要進(jìn)行長時(shí)間訓(xùn)練，但卻遵循每個人的思維方式，因而印象深刻。

四、產(chǎn)物——精妙的表達(dá)

思維是不可以被具體描述的，因此教師需通過學(xué)生的表達(dá)，獲取學(xué)生的思維方式。這里提到“表達(dá)”的意義，絕不僅僅是從學(xué)生發(fā)言中獲取。初中學(xué)生在課堂上的發(fā)言程度有很大差異，要分析學(xué)生特點(diǎn)，才能有效地接收到每個學(xué)生不同方式的“表達(dá)效果”，這就是表達(dá)的精妙之處?！岸浴?，就是從兩種不同的發(fā)言發(fā)式，分析出學(xué)生的思考過程。

1.言之有物——發(fā)言傳遞所想

課堂中最直接的表達(dá)方式——發(fā)言。范仲淹曾說：“寧鳴而死，不默而生。”學(xué)生的表達(dá)能力越強(qiáng)，越能展現(xiàn)出他面對問題時(shí)的思考能力。結(jié)合數(shù)學(xué)課堂上對學(xué)生的觀察，發(fā)言大致可分為三種。

第一種，例如楊同學(xué)“想到什么就說什么”。這種方式有助于教師最直接地把握學(xué)生的思維過程，弊端是學(xué)生因?yàn)榭紤]不全面而出現(xiàn)偏差，同時(shí)會造成對其他學(xué)生的思路干擾。

第二種，例如劉同學(xué)“明確答案表達(dá)不清”。這種方式有助于教師幫助學(xué)生訓(xùn)練表達(dá)能力，但如果教師給予學(xué)生時(shí)間的不夠充足，就會打消學(xué)生的積極性。而這種表達(dá)欲望是需要教師保護(hù)的。

第三種，例如田同學(xué)“謹(jǐn)慎思考，而后表達(dá)”。這種方式有助于學(xué)生獲得肯定，但會錯過表達(dá)的最佳時(shí)機(jī)，而無法在課堂上與老師有效交流。

這三種發(fā)言方式都值得肯定，可以互相取長補(bǔ)短，證明若想得到思維訓(xùn)練，需要在一定時(shí)間的基礎(chǔ)上，提高學(xué)生對課堂的參與性、思考的獨(dú)立性和對問題的理解能力，這樣才能使學(xué)生通過發(fā)言傳遞自己的所想。

2.言之有理——思考傳遞所思

還有一部分同學(xué)，課堂上幾乎不發(fā)言，教師如果想了解他們，可以通過后期的答題過程，關(guān)注到學(xué)生對于問題的思考結(jié)果。這種方式不如發(fā)言直接，更需要教師關(guān)注學(xué)生的后期反饋。

發(fā)言不是完成任務(wù)，因而不發(fā)言的學(xué)生也可以通過教師的引導(dǎo)加以思考，可以通過眼神與老師有效交流，傳達(dá)出思考的結(jié)果。

五、升華——思維的靈動

數(shù)學(xué)思維需要通過訓(xùn)練形成，同時(shí)也需要靈動的思考過程。通過關(guān)注學(xué)生靈動的思考過程，繼而為接下來的教學(xué)做好準(zhǔn)備。死記硬背在面對數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型時(shí)就顯得手足無措。初中數(shù)學(xué)中，最重要的一部分是幾何學(xué)習(xí)，特別是動點(diǎn)題。如何將文字題干轉(zhuǎn)化為圖形，將圖形信息轉(zhuǎn)化為結(jié)論，成為學(xué)生需要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，也正是體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練成果的關(guān)鍵部分。

這里需要學(xué)生具備空間想象能力，在腦海中可以構(gòu)建出圖形的變化趨勢。同時(shí)需要學(xué)生有數(shù)學(xué)直覺思維，根據(jù)直觀想象，大膽地猜測相應(yīng)結(jié)論；還需要學(xué)生從猜想人手，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎肌⑼暾睦碚撘罁?jù)得出結(jié)論。整個過程，需要在數(shù)學(xué)課堂上對學(xué)生加以合理的思維訓(xùn)練。

思維的訓(xùn)練從開始的無從下手，到大膽放手。學(xué)生的大腦不是一臺機(jī)器，因此學(xué)生的思維是不可復(fù)制的，不可以將教師的思維模式強(qiáng)加給學(xué)生，而需要通過關(guān)注每個學(xué)生的思維特點(diǎn)，幫助學(xué)生找尋到自己的思維方式。

數(shù)學(xué)思維需要逐漸形成，掌握提問的藝術(shù)、訓(xùn)練的方式，關(guān)注表達(dá)的內(nèi)容，引導(dǎo)思維的靈動，這對教師提出了更高的要求。學(xué)會通過神奇的雙手去加以引導(dǎo)，給數(shù)學(xué)一點(diǎn)時(shí)間，這樣一定可以培養(yǎng)出靈動的數(shù)學(xué)思維。