淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

張 昆 張雨晴 (郵編：235000)

維果斯基指出，“教學(xué)在發(fā)展中能給予比包含在直接結(jié)果中更多的動(dòng)力.教學(xué)用之于學(xué)生思維中的某一個(gè)點(diǎn)，它能變更和改革許多其他點(diǎn).它在發(fā)展中更有久遠(yuǎn)的、而不單是最近的結(jié)果.……教學(xué)過程有自己的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，自己的順序，自己展開的邏輯；事實(shí)證明，在每一個(gè)學(xué)生的頭腦里，似乎存在內(nèi)部的、地下的過程網(wǎng).這個(gè)過程網(wǎng)是在教學(xué)進(jìn)程中產(chǎn)生和推進(jìn)的，但它有自己發(fā)展的邏輯.學(xué)校教學(xué)心理學(xué)的主要任務(wù)之一是揭示這一內(nèi)部邏輯，揭示由各種教學(xué)進(jìn)程引發(fā)的發(fā)展過程的內(nèi)部進(jìn)程.”[1]由于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性特征，決定了數(shù)學(xué)教學(xué)總是離不開維果斯基所論述的最近發(fā)展區(qū)這種內(nèi)涵的，即每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是知識(shí)結(jié)構(gòu)中的一個(gè)環(huán)節(jié)、一個(gè)項(xiàng)目作組成知識(shí)體系，這就決定了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略內(nèi)涵的由來.運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略途徑很多，本研究從教學(xué)設(shè)計(jì)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，用課例說明運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略的一項(xiàng)途徑.

1 數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性決定了教學(xué)設(shè)計(jì)中選擇最近發(fā)展區(qū)策略的一般性

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)具有結(jié)構(gòu)性、邏輯性、層層遞進(jìn)性的特點(diǎn)，除了最為原始的定義、公理、公設(shè)之外，其他具體知識(shí)點(diǎn)都是環(huán)環(huán)緊扣的數(shù)學(xué)知識(shí)遞進(jìn)之流中的一個(gè)環(huán)節(jié)，每一個(gè)環(huán)節(jié)都會(huì)前有“來龍”、后有“去脈”，這種“來龍”便構(gòu)成了學(xué)生當(dāng)下正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)(環(huán)節(jié))的培養(yǎng)基，當(dāng)下學(xué)習(xí)的那個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)就是“來龍”的最近發(fā)展區(qū)；而當(dāng)下的知識(shí)點(diǎn)(環(huán)節(jié))又構(gòu)成了“去脈”的培養(yǎng)基，這個(gè)“去脈”又構(gòu)成了當(dāng)下學(xué)習(xí)的那個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的最近發(fā)展區(qū)；學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)積累、認(rèn)知結(jié)構(gòu)的拓展、數(shù)學(xué)觀念體系的擴(kuò)充，就是由從“來龍”經(jīng)由“最近發(fā)展區(qū)”到“去脈”這樣一個(gè)梯級(jí)一個(gè)梯級(jí)地前進(jìn)的，這樣通過學(xué)生在教師指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為學(xué)生智囊中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)反過來可以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，如此形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生發(fā)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的雙螺旋式地上升.

由于在產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)總體時(shí)，其中的一些環(huán)節(jié)的建立途徑可能不只是一條途徑，因此，有些環(huán)節(jié)又是可以替代的.于是，一方面，當(dāng)學(xué)生新學(xué)習(xí)一個(gè)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，它的“來龍”——產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的培養(yǎng)基，可能存有幾種不同的先在的知識(shí)點(diǎn)，這就要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)進(jìn)行必要的選擇；另一方面，更為重要的是，教師必須對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)要具有一盤棋的思想，對(duì)依據(jù)某條線索而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)要了然于胸，在施教前面的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，就要考慮到這個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以作為后面學(xué)生將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)點(diǎn)——最近發(fā)展區(qū)的優(yōu)化了的培養(yǎng)基.教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，這種精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生發(fā)生這種數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不是一件容易的事，這就形成了數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中的最近發(fā)展區(qū)策略.這里，基于研究者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從自己的教學(xué)實(shí)踐眾多課例中選兩個(gè)典型的課例對(duì)最近發(fā)展區(qū)策略加以說明.

2 運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略的兩個(gè)課例

由于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性特征，理論上說，每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)活動(dòng)，的確需要也能夠通過最近發(fā)展區(qū)策略的過濾獲得課堂教學(xué)活動(dòng)過程的有效性.然而，在教師的教學(xué)實(shí)踐中如何運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略呢？研究者很難構(gòu)建一種一般性的運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略的模式，但是，理在用中方之妙，現(xiàn)舉兩個(gè)教學(xué)中的課例對(duì)此加以說明.

北師大版初中教科書在其七年級(jí)下冊(cè)第23頁(yè)的完全平方公式這一節(jié)中，在通過實(shí)例帶領(lǐng)學(xué)生歸納出兩數(shù)和的完全平方式a+b2=a2+2ab+b2后，設(shè)置了讓學(xué)生“想一想”的問題，“你能用圖1解釋這一公式嗎？”；接著，又設(shè)計(jì)了讓學(xué)生“議一議”的問題，“a-b2=？你是怎樣做的？”經(jīng)由學(xué)生的探索與推導(dǎo)，得到了a-b2=a2-2ab+b2的結(jié)論；但遺憾的是，對(duì)于兩數(shù)差的完全平方公式，教科書中沒有像兩數(shù)和的完全平方公式一樣，對(duì)學(xué)生提出構(gòu)造一個(gè)圖形來加以解釋的要求.這是無可厚非的，因?yàn)椋湟?，這節(jié)課的要旨是促使學(xué)生完成“和與差的完全平方公式”形式的發(fā)現(xiàn)、記憶、理解與運(yùn)用，兩數(shù)和的完全平方公式其實(shí)已經(jīng)使用圖形加以解釋了，學(xué)生可以由此而生成可以使用幾何圖形解釋代數(shù)恒等式的觀念了；其二，需要從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)量力而行，兩數(shù)差的完全平方公式用幾何途徑加以解釋對(duì)這個(gè)年齡段的學(xué)生而言是比較困難的.

但是，兩數(shù)差的完全平方公式其實(shí)在使用圖形加以解釋作為產(chǎn)生“勾股定理”的優(yōu)化的最近發(fā)展區(qū)起著非常重要的作用，對(duì)此，需要進(jìn)一步分析.我們知道，在古希臘，由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的產(chǎn)生了“萬(wàn)物為數(shù)”(其中的“數(shù)”為可以公度的有理數(shù))的哲學(xué)觀點(diǎn)，當(dāng)西珀斯發(fā)現(xiàn)正方形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線不能公度時(shí)，這種“萬(wàn)物為數(shù)”哲學(xué)觀點(diǎn)的大廈便失去了基礎(chǔ)，這一學(xué)派便如喪考妣，于是，自此以后，希臘人便害怕無理數(shù)，幾乎放棄了代數(shù)學(xué).對(duì)于代數(shù)學(xué)中的公式就盡可能地使用幾何圖形的手段加以驗(yàn)證與解釋，而對(duì)代數(shù)學(xué)的演繹性推導(dǎo)始終持有懷疑態(tài)度.[2]在勾股定理的發(fā)現(xiàn)史上，雖然，相傳畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了“勾股定理”(西方人稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”)，它的發(fā)現(xiàn)方法是獨(dú)特的，也被我們的教科書引用著，然而，這種發(fā)現(xiàn)與我國(guó)趙爽所構(gòu)建的“勾股圓方圖”一樣，都是一種即興靈感的產(chǎn)物.

圖1

圖2

圖3

圖4

從數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的視角來看，出于希臘人對(duì)無理數(shù)恐懼的認(rèn)識(shí)，我們由此推測(cè)與猜想，勾股定理的產(chǎn)生就是人們?yōu)榱耸褂脦缀螆D形的途徑解釋“兩數(shù)和與差的完全平方公式”而帶來的副產(chǎn)品.因?yàn)椋?dāng)古希臘人在使用圖1來解釋“兩數(shù)和的完全平方公式”后，就必然會(huì)進(jìn)一步提出問題，如何使用與圖1相似的圖形來解釋“兩數(shù)差的完全平方公式”，這種提出問題的觀念是自然而然地產(chǎn)生的.提出了這樣的合適問題，就意味著成功了一半，在這個(gè)問題的引領(lǐng)下，人們就會(huì)對(duì)此進(jìn)行智力與思維的投入，便不難構(gòu)造出圖2，圖2可以很好地解釋“兩數(shù)差的完全平方公式”的形式.

研究者從數(shù)學(xué)史的視角，追蹤了產(chǎn)生作為勾股定理的這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的最近發(fā)展區(qū)的“來龍”——為使用圖形來解釋“兩數(shù)差的完全平方差公式”，這種發(fā)現(xiàn)為我們?cè)谡n堂教學(xué)中啟發(fā)學(xué)生發(fā)生勾股定理這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)找到了一條非常好的途徑，即依據(jù)“兩數(shù)差的完全平方差公式”的幾何解釋.基于這種數(shù)學(xué)史角度產(chǎn)生的認(rèn)識(shí)，下面的內(nèi)容是實(shí)錄研究者設(shè)計(jì)出的勾股定理的一種課堂教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).

師：我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過“兩數(shù)和的完全平方差”，可以設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形，使用這個(gè)幾何圖形的面積來表示完全平方式——(a+b)2=a2+2ab+b2？

生1：只要構(gòu)建一個(gè)以邊長(zhǎng)為a+b的正方形(如圖1)，就可以解決這個(gè)問題.

So L1=950×(I4-1)+b1-440+517+475=950×I4+b1-398, L2=A1-440-200-(950×I4+b1-398)=A1-950×I4-b1-242

師：大家類比上述用圖形表示代數(shù)式的方法提出一個(gè)新問題嗎？

生2：可以.能夠構(gòu)造一個(gè)幾何圖形解釋完全平方差公式(a-b)2=a2-2ab+b2嗎？

師：生2所提出的問題可解嗎？

生3：可以，只要將圖1變成圖2，就可以達(dá)到目的.圖2中的面積關(guān)系為(a-b)2=(a+b)2-4ab=a2-2ab+b2，這正是完全平方差公式.

師：現(xiàn)在，我向大家提出一個(gè)新問題，假如要研究一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形的三邊關(guān)系，可以借助于上述這些研究結(jié)果中的圖形，用以發(fā)現(xiàn)這個(gè)直角三角形三邊之間是否存有某種確定的關(guān)系嗎？

圖5

無獨(dú)有偶，在中國(guó)古算中，中國(guó)古人歸納出來的“出入相補(bǔ)”原理，應(yīng)用得相當(dāng)普遍與成熟，有據(jù)可查的是劉徽(約公元225-約公元295)在其所撰的《九章重差圖》利用這個(gè)原理證明了勾股定理，可遺憾的是《九章重差圖》早已失傳了，我們現(xiàn)在已經(jīng)找不到劉徽所構(gòu)建的那個(gè)圖形了.趙爽(約公元182-約公元250)為《周髀算經(jīng)》勾股圓方圖寫注道，“案弦圖又可以勾、股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四，以勾股自差自乘為中黃實(shí).加差實(shí)亦成弦實(shí)”[4].如圖5，教科書為了幫助教師施教，學(xué)生學(xué)習(xí)，在驗(yàn)證勾股定理結(jié)論時(shí)，直接地給出了趙爽構(gòu)造出的圖5的結(jié)論，我們的許多教師也就依據(jù)教科書呈現(xiàn)的方式如法炮制，這損傷勾股定理課堂教學(xué)的有效性.如何構(gòu)建出圖5，具有極其重要教育價(jià)值，它的實(shí)現(xiàn)，教師非細(xì)心地把握學(xué)生構(gòu)建時(shí)的心理活動(dòng)環(huán)節(jié)不可.研究者依據(jù)數(shù)學(xué)史料展開的分析，就是為了解決教科書的呈現(xiàn)不足的缺陷，獲得了如此的教學(xué)過程.

由分析產(chǎn)生勾股定理的歷史來源的心理過程及基于此對(duì)勾股定理這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)，我們清楚地認(rèn)識(shí)到，認(rèn)識(shí)與選擇產(chǎn)生某個(gè)具體知識(shí)點(diǎn)(相對(duì)于先在的知識(shí)的最近發(fā)展區(qū))的教學(xué)活動(dòng)的培養(yǎng)基不是一件容易事.數(shù)學(xué)教師必須要依據(jù)那個(gè)將要教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的特點(diǎn)，采用相應(yīng)(例如，勾股定理使用了歷史的分析與心理的分析，尋訪發(fā)生勾股定理認(rèn)識(shí)(或模擬)的原創(chuàng)者是如何形成趙爽“勾股圓方圖”的真實(shí)心理活動(dòng)過程.

課例2從“向量的數(shù)量積的定義”表示向量的數(shù)量積與“向量數(shù)量積的坐標(biāo)”表示向量的數(shù)量積中產(chǎn)生兩角差的余弦公式.

“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”這一章[5]中(見文[5]第125頁(yè)到126頁(yè)).首先，選擇“兩角差的余弦公式”作為突破口(這是因?yàn)檫@個(gè)公式利于推導(dǎo))；其次，使用這個(gè)公式的結(jié)論推導(dǎo)出其他公式(兩角和、差的正弦公式、兩角和的余弦公式與兩角和、差的正切公式).那么，如何首先突破“兩角差的余弦公式”呢？教材的編制思路是，其一，引導(dǎo)學(xué)生猜想兩角差的余弦公式的形式；其次，啟發(fā)學(xué)生使用向量的數(shù)量積的定義表示與坐標(biāo)表示這兩種不同的運(yùn)算途徑證明了前面經(jīng)由猜想而得到的公式.

眾所周知，“兩角差的余弦公式”具有很多種推導(dǎo)方法，也就是說，它的“來龍”的最近發(fā)展區(qū)不只一條線索，教科書以一種平面坐標(biāo)幾何圖形的表達(dá)式(見文[5]第125頁(yè)，圖3.1-2)與向量的數(shù)量積兩種不同的算法(見文[5]第125頁(yè)，圖3.1-3)作為它的兩個(gè)最近發(fā)展區(qū)，產(chǎn)生了兩條相去甚遠(yuǎn)的探究思路，其實(shí)是對(duì)眾多的推導(dǎo)方法通過比較后的正確選擇.對(duì)于“平面坐標(biāo)幾何圖形的表達(dá)式”來說，作為最近發(fā)展區(qū)，我們很難找到它的出處，但是，對(duì)于向量的數(shù)量積的最近發(fā)展區(qū)，這正是“兩角差的三角公式”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的前一節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，因此，我們?cè)诮虒W(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可以在講完向量的數(shù)量積定義表示與坐標(biāo)表示之后，立即采用提出新問題的形式，產(chǎn)生兩角差的余弦公式.具體教學(xué)途徑可以這樣展開：

圖6

師：對(duì)于生1與生2同學(xué)計(jì)算結(jié)果，大家能夠發(fā)現(xiàn)什么嗎？

生3：比較①②，知abcos(α-β)=ab(cosαcosβ+sinαsinβ),兩邊都除以ab,知cos(α-β)=(cosαcosβ+sinαsinβ).

師：這就是我們下一章所要將的“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”的突破口——“兩角差的余弦公式”，大家牢記這個(gè)話題，我們到時(shí)候再與同學(xué)們一起研究.

這種數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)具有主動(dòng)出擊的意味，它不是靠等著學(xué)生到學(xué)習(xí)“兩角差的余弦公式”時(shí)才探究這個(gè)公式的產(chǎn)生，而是主動(dòng)地利用數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性，當(dāng)教師確認(rèn)了向量的數(shù)量積的兩種運(yùn)算途徑作為培養(yǎng)基而構(gòu)成了萌生“兩角差的余弦公式”的最近發(fā)展區(qū)，便乘勢(shì)向知識(shí)結(jié)構(gòu)的下一個(gè)環(huán)節(jié)發(fā)展，從而拉開了學(xué)生學(xué)習(xí)“兩角和與差的正弦、余弦和正切公式”的序幕.體現(xiàn)了教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)把握的精準(zhǔn)性與利用這種知識(shí)結(jié)構(gòu)促進(jìn)學(xué)生發(fā)生新知識(shí)環(huán)節(jié)的及時(shí)性，實(shí)踐證明，這比教科書的安排更合理，能增強(qiáng)教學(xué)的有效性.

3 課例中運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略的經(jīng)驗(yàn)

研究者出示了自己初中教學(xué)與高中教學(xué)各一課例，并且提供了詳細(xì)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)過程實(shí)錄，展示在課堂教學(xué)活動(dòng)中運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略的實(shí)踐途徑.要知道這種教學(xué)活動(dòng)過程的來由不是教科書明確給予的，也不是研究者可以不費(fèi)力氣信手拈來的，而是研究者在多年教學(xué)活動(dòng)積累起來的經(jīng)驗(yàn)與反思中，通過分析數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、分析學(xué)生發(fā)生具有這種特定數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)時(shí)繞不過去的心理過程、并仔細(xì)地進(jìn)行教學(xué)法加工，點(diǎn)滴積累、苦心積慮地探求數(shù)學(xué)教學(xué)技能技巧的結(jié)果.借此機(jī)會(huì)，簡(jiǎn)要地說說通過這兩個(gè)課例，形成運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略的經(jīng)驗(yàn).

其一，運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)策略要提請(qǐng)教師特別注意數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系.大多數(shù)時(shí)候，這種泛泛地閱讀未必可以起到多大作用，此時(shí)，尤其需要教師琢磨數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間的具體聯(lián)系環(huán)節(jié).課例1就是對(duì)這種觀點(diǎn)的最好說明，“兩數(shù)和或差的完全平方公式”的幾何解釋，構(gòu)成了勾股定理的最近發(fā)展區(qū)是經(jīng)由研究者長(zhǎng)期的教學(xué)思考而產(chǎn)生的結(jié)果，這里給出的課堂教學(xué)活動(dòng)過程只是對(duì)這種長(zhǎng)期教學(xué)思考的外化而已，可以說是經(jīng)過了“十月懷胎”之后的“一朝分娩”，研究者(讀者通過這個(gè)課例的閱讀也可以)深深地體會(huì)形成如此教學(xué)活動(dòng)過程時(shí)內(nèi)中的艱辛.

其二，由于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的特點(diǎn)不同，決定了知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系強(qiáng)弱遠(yuǎn)近不盡相同.課例1從“兩數(shù)和與差的完全平方差公式”到直角三角形的“勾股定理”的形式聯(lián)系環(huán)節(jié)非常弱，存在的距離非常遠(yuǎn)，研究者形成這樣的認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)掌握得非常好，知道古希臘人一般情況下總是盡可能地采用幾何背景解釋相關(guān)的代數(shù)恒等式，以此為起點(diǎn)，推測(cè)古希臘人在歐幾里得寫出的《原本》之前，就是使用了這種途徑得到了勾股定理這個(gè)結(jié)論的，于是，研究者分析也就是估計(jì)與設(shè)想古希臘人發(fā)現(xiàn)勾股定理的途徑，并將這些研究的成果引入了教學(xué)設(shè)計(jì)及基于此的課堂教學(xué)中.課例2中的“向量數(shù)量積的兩種不用的運(yùn)算途徑”構(gòu)成了“兩角差的余弦公式”的最近發(fā)展區(qū)，這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系非常直接，因此，教科書在處理“兩角差的余弦公式”就是利用這個(gè)最近發(fā)展區(qū).研究者發(fā)現(xiàn)，與其到施教“兩角差的余弦公式”時(shí)引進(jìn)“向量數(shù)量積的兩種不用的運(yùn)算途徑”，不如采用課例2的方法在“向量數(shù)量積的兩種不用的運(yùn)算途徑”時(shí)，直接設(shè)置問題情境，產(chǎn)生“兩角差的余弦公式”，更有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，獲得更好的課堂教學(xué)效果.

其三，教師要特別重視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)作結(jié)構(gòu)性的理解.研究者在這兩個(gè)課例的教學(xué)活動(dòng)如此使用“培養(yǎng)基”與最近發(fā)展區(qū)策略，就是這些數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的特點(diǎn)分析得非常到位，幾乎觸及到了這些知識(shí)點(diǎn)及其固有聯(lián)系的本質(zhì)，從而經(jīng)由教學(xué)法加工生成的教學(xué)預(yù)設(shè)，從這種教學(xué)預(yù)設(shè)出發(fā)，保證了研究者在課堂上啟發(fā)學(xué)生探究知識(shí)發(fā)生時(shí)，師生都顯得從容不迫、游刃有余，取得了非常理想的教學(xué)效果.

4 結(jié)語(yǔ)

要想數(shù)學(xué)課堂教學(xué)運(yùn)用好最近發(fā)展區(qū)策略，數(shù)學(xué)教師必須做好幾個(gè)方面的努力：首先，整體地掌握初中階段(初中教師)或高中階段(高中教師)進(jìn)入數(shù)學(xué)課程的全體知識(shí)；其次，多方位地探究這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系環(huán)節(jié)，找到(或從兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的多種聯(lián)系環(huán)節(jié)中選擇)知識(shí)的來龍去脈；再次，通過分析，揣測(cè)發(fā)生具體知識(shí)點(diǎn)認(rèn)識(shí)是學(xué)生所繞不過去的心理環(huán)節(jié)；最后，將知識(shí)點(diǎn)之間的最近發(fā)展區(qū)的環(huán)節(jié)與學(xué)生發(fā)生具有這種知識(shí)結(jié)構(gòu)環(huán)節(jié)的心理環(huán)節(jié)整合起來，通過教學(xué)法加工后，在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上呈現(xiàn)于學(xué)生面前.

1 [前蘇聯(lián)]維果斯基. 維果斯基教育論著選[M]. 余震求，譯. 北京：人民教育出版社，2005：228-242

2 [美]H·伊夫斯.數(shù)學(xué)史概論[M].歐陽(yáng)絳，譯. 張理京，校. 太原：山西人民出版社，1986：68-76

3 張昆.暴露思維過程的課堂教學(xué)創(chuàng)新實(shí)踐 [J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2018(6)：27-31

4 劉鈍. 大哉言數(shù)[M]. 沈陽(yáng)：遼寧教育出版社，1993：390-391

5 人民教育出版社，課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材開發(fā)中心(劉紹學(xué)主編).普通高中課堂標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)1必修④[M].北京：人民教育出版社，2007