姜紅梅

摘 要：組織課題學習研討活動能促進教師深入反思教法，強化對專業(yè)知識的領悟。數學課題活動能有效引導師生共同思考如何建立高度概括并揭示本質的數學模型；突破思維難點、提升思維水平；解決實際問題，積累實踐經驗。

關鍵詞：初中課題；模型；素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2018）11-0034-04

《義務教育數學課程標準（2011版）》（以下簡稱《課標》）中將初中階段的課程內容分為：“數與代數” “圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”四部分，其中“綜合與實踐”內容的設置目的在于訓練學生綜合運用知識與方法解決有關的實際問題，培養(yǎng)學生的問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力。人教版教科書在每章后面設置了一項內容——“數學活動”，但在實際教學中一些老師對這部分內容不夠重視，經常忽略“數學活動”及“課題學習”等內容對學生學習品質的升華功能，使得此部分授課環(huán)節(jié)處理得比較草率。筆者就“如何開展數學課題學習”主題以同課異構和評課研討的形式，對人教版八年級上冊“13.4課題學習——最短路徑問題”進行了較細致的探究，并將幾點反思整理出來，以期得到同行的指正。

思考一：如何建立數學模型？

問題一（將軍飲馬問題）：相傳，古希臘亞歷山大城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程來拜訪海倫，求教一個他百思不得其解的問題：從圖中的A城堡出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后回到B城堡，問到河邊的什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？

抽象過程：兩個城堡是兩個位置，所以抽象成點A和點B ，筆直的河岸抽象成直線l。問題轉化為：如圖1，點A， B在直線l同側，點P是直線l上一動點，當點P在什么位置時，PA+PB最?。?/p>

問題二（造橋選址問題）：如圖2，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN。橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

教材中的抽象過程體現得非常好，可以直接用。A和B兩地在一條河的兩岸，已經抽象為兩點，把河的兩岸看成一對平行線a和b，橋MN是垂直于兩條平行線的，問題轉變?yōu)橹恍杞鉀Q：當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最?。?/p>

實際問題轉化成數學問題時要體現抽象過程，數學抽象是舍去物理屬性從而得到數學研究對象的學科素養(yǎng)。就本例而言，某個位置用點表示，筆直的河岸、公路等用直線表示，有一定寬度的河流用一組平行線表示等；抽象思維要返回原來的實際問題，明確事物的數學本質是什么，進而以數學模型概括表示，從而高效地運用已知的數學知識分析和解決問題。

思考二：如何突破學習難點？怎樣在課題學習中提高思維能力？

如本節(jié)課的難點在于，利用對稱和平移的方法解決問題，以及證明線段和最小。

1.為什么作對稱點？怎么想到作對稱點的方法？

如圖3，不改變距離和PA+PB的情況下，如何將直線同側的兩點轉化成異側的兩點，不妨將點B固定，即不改變PB，將點A進行處理，即對PA進行等量代換，得到PA′——以點P為圓心，以PA為半徑的圓上各點到點P的距離都等于PA，是不是圓上任意一點都可以是A′，當然不行！為什么不行？因為無論點P在直線l上的哪個位置，必須始終保證PA′=PA。

在教學中有些教師處理這個問題的方法是讓學生進行小組討論，再找一個會做的（或提前預習過的）學生展示自己的作法，然后教師就可以對此進行后續(xù)的證明。是的，作對稱點之后解決了線段和最小的問題，但關鍵是怎么想到作對稱點的呢？筆者曾就這個問題與其他教師進行過討論，最后可將問題總結為“在點A和直線l的位置確定的條件下，在直線l的另一側確定一點A′，使得對于直線l上的任意一點P，都有PA′=PA″。如圖4，對于直線l上的任意一點P，都有PA′=PA，從而確定最后解決方案為：作點A的關于直線l的對稱點A′。

2.如何證明線段和最??？

在以往的教學過程中鮮見證明線段和最小的例子，缺乏解決問題的經驗，因此，應該讓學生有個認識過程?？梢栽谥本€l上先任選一點P′，連接P′A，P′B，通過測量等方法驗證PA+PB

以上過程中，學生經歷了由淺入深的認識過程，經歷了觀察、實驗、探究、歸納、推理的過程，先有實驗歸納，再有推理論證，將實驗幾何與論證幾何有機結合，推理論證在培養(yǎng)學生邏輯思維能力方面起著重要作用，而幾何實驗則是發(fā)現幾何命題和定理的有效途徑，在培養(yǎng)學生的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著很大作用。最后進行方法歸納：遇到類似的最值問題都可以這樣處理。

3.分別作點A、B的關于直線l的對稱點，得到的點P位置是相同的嗎？

在教學中，一般是作點A的關于直線l的對稱點A′，連接A′B，交直線l于點P，點P即為所求。若有學生作點B的關于直線l的對稱點B′，連接AB′，交直線l于點P，點P即為所求。老師會說都對，這樣作出來的點P位置是相同的。為什么相同？沒有人問，也沒人解釋，就這樣過去了。

重新審視一下這個問題：如圖5，先作點A的關于直線l的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P。再證明作點B的關于直線l的對稱點B′，連接AB′經過點P。這相當于一個三點共線的問題。

證明思路1：作點B的關于直線l的對稱點B′，連接PB′，

∵點A，點A′關于直線l對稱，點B，點B′關于直線l對稱，

∴∠APC=∠A′PC

∠BPD=∠B′PD

∵∠A′PC=∠BPD

∴∠APC=∠B′PD

∵∠APC+∠APC=180°

∴∠B′PD+∠APC=180°

即A，P， B′在同一條直線上.

證明思路2：延長AP到B′，使PB′=PB，易證∠BPD=∠B′PD，利用等腰三角形三線合一的性質，證出點B，點B′關于直線l對稱。

以上兩種方法中，簡單地說，思路1是作B與B′對稱，證A，P，B′三點共線；思路2是作A，P，B ′三點共線，證B與B ′對稱。這個一題多解問題還是值得帶領學生研究的.

4.思維拓展

題1：如圖6，點A，B在直線l同側，在直線l上找一點P，使∠APC=∠BPD.

光行最速原理：光線所行進的“光程”最短。光線行進時入射角等于反射角，光行進的時間最短。由于在同一媒介中傳播，即光線行進的路程最短。這是物理學科的一個原理，其證明過程就是“將軍飲馬問題”的證明過程，可見數學學科是基礎性的學科，也體現了學科之間的聯系。

題2：如圖7，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請畫出最短路徑。

這是將“將軍飲馬問題”中的一條直線換成了兩條直線，解決問題的思路與原問題類似，只是需要作兩次軸對稱變換。

題3：如圖8，已知A（1，-1），B（6，-3），點M，N在x軸上且MN=2，求AMNB的最短路徑.

這是將問題放在了坐標系中，通過坐標系確定了已知點和已知直線的位置，便于計算線段長。但是解決問題的方法與前面的“造橋選址問題”類似，通過平移和軸對稱變換將問題解決。

以上問題是對教科書上兩個典型問題的運用和鞏固，都是通過軸對稱和平移等變換，把問題轉化為“兩點之間線段最短”的問題，滲透了化歸思想。

……

在進行這樣的教學活動時，教師是不是應該對問題有個全面的清晰的認識？設計數學活動或進行課題學習時，給學生充分的時間，讓學生有自己的體驗和認識，找出研究問題的方法，進而進行思考和行動。

思考三：數學活動和課題學習到底要學生學會什么？

“數與代數” “圖形與幾何” “統(tǒng)計與概率”的內容，師生都很重視，教學目標、學習目標都比較清晰；而作為“綜合與實踐”部分的數學活動和課題學習等相關內容，在實際教學中處理時，教學目標不是很清晰。

以三角形一章后面的數學活動“鑲嵌”為例來說，解決問題要用到多邊形的內角和公式，通過這個數學活動，學生可以經歷從實際問題抽象出數學問題，建立數學模型，綜合應用已有知識解決問題的過程，從而加深對相關知識的理解，提高思維能力。

這個活動可按照三個層次的實驗來設計：1.只用一種正多邊形進行鑲嵌，發(fā)現正三角形、正方形、正六邊形可以，正五邊形和其它正多邊形不行；2.只用兩種正多邊形進行鑲嵌；3.只用一種任意形狀的三角形、四邊形、五邊形……進行鑲嵌。記錄實驗結果、觀察實驗結果、解釋實驗結果，一方面使所學內容（多邊形的內角和公式）得到鞏固和運用，更重要的是在這樣的數學活動中，學生學會了研究問題的方法，思維能力得到很好的發(fā)展。表面上看，數學活動是對某個知識點的鞏固和運用，可是從深層次來思考，它的作用遠遠不僅于此。

《課標》中強調：積累數學活動經驗、培養(yǎng)學生應用意識和創(chuàng)新意識是數學課程的重要目標，應貫穿整個數學課程之中?！熬C合與實踐”是實現這些目標的重要和有效的載體。“綜合與實踐”的教學，重在實踐、重在綜合。重在實踐是指在活動中，注重學生自主參與、全過程參與，重視學生積極動腦、動手、動口；重在綜合是指在活動中，注重數學與生活實際、數學與其他學科、數學內部知識的聯系和綜合應用。在日常備課時多思考，學生認識事物需要一個過程，在一些教師認為簡單的地方，不要想當然地以為學生也都明白。多問幾個“為什么”，思考知識、方法背后隱藏的能力、素養(yǎng)等，才能真正落實《課標》的要求。