山西省晉中市昔陽縣中學(xué)校 李旭虹

一、整體思想的要點概述

（一）整體思想的定義

數(shù)學(xué)中的“整體思想”是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)思想方法之一。整體思想方法就是指在研究問題時從整體出發(fā),對問題的整體形式、結(jié)構(gòu)、特征進行綜合分析、整體處理的思想方法。利用整體思想分析問題,往往可以找到最合理、最簡捷、最實用的解題方法,起到化難為易、化繁為簡的作用,提高解題效率。

（二）整體思想解題方法指導(dǎo)

第一，運用整體思想解題時，首先要擁有極強的整體意識，站在宏觀的角度考慮問題。

第二，運用整體思想解題時，要有靈活的思維方式，從問題的正向、逆向等不同角度去看問題，運用集中、發(fā)散、直觀、抽象等思維模式來考慮問題。

第三， 運用整體思想解題時，就是運用整體的集合性、非加和性、相對性、多維性及統(tǒng)一性，從不同的角度整體處理、整體代入、整體消元、整體變形等特性處理問題。

第四，運用整體思想進行問題轉(zhuǎn)換時，一定要注意問題的等價性。

二、整體思想在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）整體思想在代數(shù)中的應(yīng)用

1.在數(shù)學(xué)式中的應(yīng)用

在解有關(guān)數(shù)學(xué)式問題時，有時需要進行整體的變形和構(gòu)造，然后利用變形后的式子進行解題運算，從而達到解決問題的目的。

【例1】 已知m、n為兩個不相等的實數(shù)，并且滿足-的值。

分析：按照常規(guī)解法，根據(jù)已知條件分別求出m、n的值，再代入求解，這樣計算會顯得比較復(fù)雜.而通過觀察所給條件，可以把m、n可以看成是方程的兩個根，變形后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系整體求解。

解：由且mn≠，得m、n是方程的兩個不等實根.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：

2.在不等式中的應(yīng)用

從問題的整體結(jié)構(gòu)入手，將問題看做一個整體M，接著構(gòu)造一個相應(yīng)的整體N，然后分析M，N之間的關(guān)系，從而達到解題的目的。

（二）整體思想在函數(shù)中的應(yīng)用

1.在三角函數(shù)中的應(yīng)用

在三角函數(shù)解題時，對角的整體認識和等價化歸在其中有著很重要的作用。

【例2】 已知,α β是銳角，且滿足

2.在復(fù)合函數(shù)中的應(yīng)用

在一些復(fù)合函數(shù)的計算中，計算定義域是個難點，在計算的時候千萬不要想當(dāng)然，往往是“整體”替代范圍不變，而不是單個范圍不變.因此，掌握整體思想是必然的。

【例3】已知函數(shù)試求函數(shù)的表達式.

解：將2 3x+ 看成整體，看成整體，故有

∴有計算可得

∴函數(shù)的表達式為：

3.在方程函數(shù)不等式整體運用

【例4】已知是定義在上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若解關(guān)于x的不等式：

分析：整體思維意識指導(dǎo)我們，對不等式左端中括號內(nèi)的應(yīng)視為一個整體，把它看成是函數(shù)f(x)的自變量x所取的一個值，這樣就可把不等式左端是為f(x)的一個函數(shù)值.同時也可將不等式右端的0看成是一個函數(shù)值，如于是站在宏觀的高度來看要解的不等式，實際上是已知一個函數(shù)的兩個函數(shù)值的大小關(guān)系，來確定它們所對應(yīng)的兩個自變量的值的大小關(guān)系，者可以利用函數(shù)的單調(diào)性來解決。

解：∵f(x)是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，上是增函數(shù).又不等式

（三）整體思想在幾何中的應(yīng)用

1.在平面幾何中的應(yīng)用

在解決幾何問題時，尤其是不規(guī)則的圖形時，往往會利用到整體補形思想.整體補形思想指的是依照已知的圖形，將不規(guī)則的圖形簡單的拼接成規(guī)則的完整圖形，從而達到簡化問題的目的.整體補形時一般會將原圖補成一些常見的規(guī)則圖形，如：等邊三角形、正方形、長方形、等腰梯形等。

2.在立體幾何中的應(yīng)用

整體補形思想不僅適用于平面幾何問題，其同樣適用于立體幾何問題，對基本圖形整體理解，將不規(guī)則圖形補成規(guī)則圖形，更方便解題。

3.在解析幾何中的應(yīng)用

在解決有關(guān)直線和圓錐曲線問題時，常利用整體思想，整體變形，設(shè)而不求等方法，可避免求交點等復(fù)雜計算，從而更加簡潔明了的求出問題。

三、結(jié)束語

綜上可得，整體思想可用于代數(shù)化簡求值，解析幾何，三角函數(shù)等多個方面。在遇到有關(guān)類似的數(shù)學(xué)問題時，要不拘泥于細節(jié)，要從全局著眼考慮問題，熟練掌握整體思想解題的策略,如整體換元，整體變形，整體約簡，整體構(gòu)造等，使得問題得以明朗花。希望本文能使大家找到解題的思路和方法，多加練習(xí)，為學(xué)習(xí)其他知識奠定良好的基礎(chǔ)。