劉艦東，金 浩

(1.西安交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與金融學(xué)院，陜西 西安 710061； 2.西安科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710054)

一、引 言

通常假定金融數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的，但大量的研究表明，金融數(shù)據(jù)與正態(tài)分布相比是呈現(xiàn)尖峰厚尾的。由于證券回報(bào)序列的統(tǒng)計(jì)分布影響各種金融理論的發(fā)展，因此其他的分布如t分布、廣義誤差分布、雙曲線分布、混合正態(tài)分布、拉普拉斯分布和穩(wěn)定分布等被用來處理厚尾現(xiàn)象。穩(wěn)定分布具有良好的可加性且與市場的觀察行為相一致，能很好地描述金融市場的實(shí)際行為，因而備受人們青睞。許多國內(nèi)外學(xué)者，如Mittnik、武東、史曉平、劉萍、顧娟以及 Rydberg等分析了穩(wěn)定分布在金融學(xué)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用[1-6]；而Yohai和Maronna及Leipus和Viano則主要研究了在通訊系統(tǒng)中噪聲為穩(wěn)定分布的現(xiàn)象[7-8]。這些數(shù)據(jù)都不能被正態(tài)模型所描述，但卻能很好地被非正態(tài)的穩(wěn)定分布所擬合。

現(xiàn)在廣泛應(yīng)用于波動(dòng)性和相關(guān)性建模的ARCH模型被證實(shí)既能體現(xiàn)金融數(shù)據(jù)的聚集性,又能表現(xiàn)數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性，因而立即受到極大的重視，并迅速成為研究實(shí)證金融學(xué)和金融經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)的主要工具之一。ARCH(p)過程定義如下：

因?yàn)閗不僅出現(xiàn)于正則化收斂速度中，同時(shí)也出現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)量的極限分布中。但特征指數(shù)k是未知且難以估計(jì)，從而進(jìn)一步推廣和使用穩(wěn)定分布建模就受到了極大的限制。隨著計(jì)算機(jī)、計(jì)算方法和計(jì)算速度有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展也日益繁榮，對(duì)穩(wěn)定分布的研究又引起了人們極大的興趣。眾所周知，當(dāng)統(tǒng)計(jì)的極限分布不是正態(tài)的，Subsampling抽樣方法能夠一致近似統(tǒng)計(jì)量的極限分布。因此，Subsampling抽樣方法是克服上述問題的一種有效方法。

近30年來，在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中關(guān)于結(jié)構(gòu)變點(diǎn)的理論分析已有大量研究成果。韓四兒、Csorgo以及Andrews等研究了單個(gè)變點(diǎn)問題，而Bai和Andreou考慮了對(duì)多個(gè)結(jié)構(gòu)變點(diǎn)的檢驗(yàn)和估計(jì)[9-13]。但檢測基于穩(wěn)定分布的ARCH模型均值變點(diǎn)開始引起人們的注意。本文利用殘量平方累積和統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)，研究基于穩(wěn)定分布的ARCH模型均值變點(diǎn),并采用Subsampling抽樣方法一致近似統(tǒng)計(jì)量的極限分布，以避免估計(jì)特征指數(shù)k。

二、模型和假設(shè)

本文構(gòu)建模型如下：

(1)

H0：參數(shù)μt保持不變；

這里τ∈[0,1]在給出本文主要結(jié)論前，我們需要以下假設(shè)條件，以便得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布。

假設(shè)1：獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列εt是特征指數(shù)k滿足1

假設(shè)3：存在一個(gè)正整數(shù)序列qT=q，滿足當(dāng)T→時(shí)，q→，T-1aT·q2→0以及其中aT=inf{x：P(|εt|>x)≤T-1}。

在假設(shè)3中，通常假定q=[logT]ζ，ζ>1，而aT也可以表述成aT=T1/kL(T)，L是一個(gè)慢變函數(shù)。

三、主要結(jié)果

(2)

下面將闡述Subsampling 抽樣的具體步驟。

(3)

對(duì)于任意的x>0，令

(4)

并記

(5)

四、數(shù)值模擬

設(shè)置變點(diǎn)時(shí)刻為τ=0.3,0.7,且μ1=0,μ2=(0,0.5,1.0,1.5)。獨(dú)立同分布的零均值的隨機(jī)變量序列εt是特征指數(shù)k的穩(wěn)定分布,其中k=1.17，1.43，1.95，2。樣本容量分別依次取為T=200,500,800,檢驗(yàn)的顯著性水平為0.05,并用5 000次試驗(yàn)中拒絕原假設(shè)的百分?jǐn)?shù)作為經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值。b的選擇將影響檢驗(yàn)的結(jié)果。在本文中，令b的取值為總樣本容量的15%～20%。

從表1～4中可以看出，當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，模擬結(jié)果表明拒絕率沒有出現(xiàn)扭曲的現(xiàn)象且都接近顯著水平5%，沒有過分地拒絕原假設(shè)，這樣統(tǒng)計(jì)量犯第一類概率錯(cuò)誤較低。當(dāng)備擇假設(shè)成立，統(tǒng)計(jì)量的拒絕率有以下幾個(gè)特征。1.隨著樣本容量T增大，經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值都有明顯的增大。當(dāng)k=1.43，μ2=0.5，τ=0.3樣本容量T從200變化到800，經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值能夠從0.731變化到0.929。2.更大的跳躍幅度導(dǎo)致更大的經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值。當(dāng)k=1.17，T=500，τ=0.3，跳躍幅度μ2從0.5變化到1.5，經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值能夠從0.706變化到0.859。3.由變點(diǎn)時(shí)刻不同所引起經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值的差異不明顯。這表明利用基于Subsampling的RCUSQ統(tǒng)計(jì)量對(duì)基于穩(wěn)定分布的ARCH模型進(jìn)行均值變點(diǎn)檢驗(yàn)是合理的。

表1 Subsampling檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值(μ1=0，k=2)

表2 Subsampling檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值(μ1=0，k=1.95)

表3 Subsampling檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值(μ1=0，k=1.43)

表4 Subsampling檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值(μ1=0，k=1.17)

此外我們還發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象。首先，當(dāng)特征指數(shù)k=2，見表1，經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值與k=1.95的情形基本一致，見表2。例如當(dāng)μ2=1，T=800，τ=0.7，k=1.95對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值為0.986，而k=2對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值為0.998。這是因?yàn)楸M管特征指數(shù)k=1.95對(duì)應(yīng)的是方差無窮厚尾序列，但其尾部分布并不比正態(tài)序列的尾部“厚”很多，所以統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的效果在這兩種情形下沒有太大的差異。其次，從表3和4中可以看出，當(dāng)特征指數(shù)k=1.43和k=1.17，統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)結(jié)果與k=1.95時(shí)的檢驗(yàn)結(jié)果相比有明顯的區(qū)別。特別當(dāng)k=1.17，經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值達(dá)到最小，其原因可能是穩(wěn)定序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由特征指數(shù)k刻畫所導(dǎo)致：特征指數(shù)k越小，觀察值序列則會(huì)更多地出現(xiàn)“奇異”點(diǎn)現(xiàn)象。正是這些“奇異”點(diǎn)導(dǎo)致了變點(diǎn)時(shí)刻前后分布函數(shù)發(fā)生了改變，并最終影響了統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)效果。

五、實(shí)證分析

圖1 陸家嘴股票收益原始序列，1≤t≤300

圖2 陸家嘴股票收益原始序列，1≤t≤80

圖3 陸家嘴股票收益原始序列，81≤t≤300

設(shè)定檢驗(yàn)水平為0.05，用基于Subsampling的RCUSQ統(tǒng)計(jì)量對(duì)收益序列進(jìn)行檢驗(yàn)，接受均值變點(diǎn)存在的假設(shè)并得到變點(diǎn)估計(jì)k*=[Tτ]=80。根據(jù)BIC準(zhǔn)則確定ARCH(1)過程的階數(shù),并得到如下模型：

這里εt是特征指數(shù)k=1.48的穩(wěn)定序列。事實(shí)上,導(dǎo)致均值變點(diǎn)的原因很有可能與上海陸家嘴金融貿(mào)易區(qū)開發(fā)股份有限公司承建的陸家嘴世紀(jì)金融廣場于2015年3月31日(k*=80)奠基有關(guān)。項(xiàng)目位于陸家嘴金融貿(mào)易區(qū)核心地域，總占地面積約5.34萬平方米，總建筑規(guī)模約44萬平方米。基地包括5幢完全適合國際金融機(jī)構(gòu)總部和跨國公司總部使用的高標(biāo)準(zhǔn)甲級(jí)寫字樓和1座商業(yè)配套中心。陸家嘴世紀(jì)金融廣場將進(jìn)一步提升塘東總部基地各建筑群之間的協(xié)同效應(yīng)。從圖1中可以看出,公司承擔(dān)此次上海浦東地區(qū)2015年的重點(diǎn)工程項(xiàng)目，極大地影響了投資者的信心,并使得投資者對(duì)公司未來的發(fā)展持樂觀態(tài)度,從而使得公司股票價(jià)格短期內(nèi)迅速上升。將整個(gè)觀察值序列分為兩段子區(qū)間[1,80]和[81,300]，見圖2和3,它們的均值估計(jì)分別為35.23和47.74。顯然,變點(diǎn)估計(jì)時(shí)刻k*=80以后的平均收益要比k*=80以前的平均收益高,這與圖1觀測到的信息是吻合的。

六、結(jié) 論

本文研究了基于穩(wěn)定分布的ARCH模型均值變點(diǎn)Subsampling檢驗(yàn)，在原假設(shè)條件成立時(shí)，殘量平方累積和統(tǒng)計(jì)量的極限分布是一個(gè)Levy過程函數(shù)，因?yàn)闃O限分布是完全依賴于特征指數(shù)k，導(dǎo)致檢驗(yàn)臨界值難以求得，使得統(tǒng)計(jì)量失去檢驗(yàn)功效。本文利用Subsampling抽樣方法確定檢驗(yàn)必需的臨界值從而避免估計(jì)特征指數(shù)k。從本文的證明可以看出，即使不知道統(tǒng)計(jì)量極限分布的具體表達(dá)式，我們?nèi)钥衫肧ubsampling方法進(jìn)行有效的檢驗(yàn)。和大多數(shù)非參數(shù)方法一樣,“帶寬”b的選擇會(huì)一定程度影響Subsampling檢驗(yàn)的效果。本文取總樣本容量的20%作為b樣本容量。數(shù)值模擬結(jié)果表明經(jīng)驗(yàn)勢函數(shù)值較接近預(yù)先設(shè)定的檢驗(yàn)水平?？傊?對(duì)于基于穩(wěn)定分布的ARCH模型均值變點(diǎn)的檢驗(yàn)問題，殘量平方累積和的Subsampling檢驗(yàn)仍不失為一種有效的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1] Mittnik S，Rachev S T.Stable Paretian Models in Finance[M].New York：Wiley，2000.

[2] 史曉平,繆柏其,葛春蕾.對(duì)稱的穩(wěn)定分布參數(shù)變點(diǎn)估計(jì)的相合性[J].中國科學(xué)A，2008,38(4).

[3] 顧娟,茆詩松.穩(wěn)定分布的參數(shù)估計(jì)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2002,18(4).

[4] 劉麗萍,馬丹,唐曉彬.基于高維數(shù)據(jù)的改進(jìn)CCC-GARCH模型的估計(jì)及應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2016,31(9).

[5] 武東,湯銀才.基于穩(wěn)定分布的PARCH模型[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2007(4).

[6] Rydberg T H.Realistic Statistical Modelling of Financial Data[J].Journal of International Statistical Review，2010,68(3).

[7] Yohai S J，Marnooa R A.Asymptotic Behavior of Least-squares Estimates for Autoregressive Processes with Infinite Variance[J].Journal of Annals of Statistics，1977,5(3).

[8] Leipus R，Viano M C.Modelling Long-memory Time Series with Finite or Infinite Variance：A General Approach[J].Journal of Time Series Analysis，2010,21(1).

[9] 韓四兒,田錚,黨懷義.厚尾相依序列均值變點(diǎn)的截尾估計(jì)及其收斂性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，23(6).

[10] Csorgo M，Horvath L.Limit Theorems in Change-point Analysis[M].New York：John Wily & Sons，1997.

[11] Andrews D W K，Ploberger W.Optimal Tests When a Nuisance Parameter is Present only Under the Alternative[J].Journal of Econometirca，1992,62(6).

[12] Bai J，Perron P.Computation and Estimation of Multiple Structural Change Models[J].Journal of Applied Econometrics，2003,18(1).

[13] Andreou E，Ghysels E.Detecting Multiple Breaks in Financial Market Volatility Dynamics[J].Applied Econometrics，2002,17(5).

[14] Kokoszka P，Wolf M.Subsampling the Mean of Heavy-tailed Dependent Observations[J].Journal of Time Series Analysis，2010,25(2).

[15] Hall P，Yao Q.Inference in ARCH and GARCH Models with Heavy-tailed Errors[J].Journal of Econometrica，2003,71(1).

[16] Jin H，Zhang J.Subsampling Tests for Variance Changes in the Presence of Autoregressive Parameter Shift[J].Journal of Multivariate Analysis，2010，101(10).

[17] Jach A，Kokoszka P.Subsampling Unit Root Tests for Heavy-tailed Observations[J].Methodology and Computing in Applied Probability，2004,6(1).