王新鵬, 張靜遠, 劉　洋

(1. 海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院, 湖北 武漢　430033;2. 海軍工程大學(xué) 教務(wù)處, 湖北 武漢　430033)

可靠性分析與評估是可靠性工程的重要組成部分,對于長期處于貯存條件下的裝備而言,在進行可靠性分析和評估前,需要根據(jù)統(tǒng)計的壽命信息確定裝備的貯存壽命分布。

目前裝備壽命分布的確定大多采用多種模型擬合擇優(yōu)法。利用統(tǒng)計的裝備壽命信息對常用的幾種裝備壽命分布進行擬合優(yōu)度檢驗[1-2],確定最佳的壽命分布模型。文獻[3-5]憑借積累經(jīng)驗選擇分布具有較大的不確定性。傳統(tǒng)的經(jīng)驗分布函數(shù)檢驗,如最小二乘法[6]、極大似然估計法[7]和極小χ2估計擬合[8]等方法對失效數(shù)據(jù)的樣本量要求較大。基于參數(shù)的Bootstrap擬合優(yōu)度檢驗對小樣本情況精度較高,但過程較為復(fù)雜[9]。

對于小樣本壽命數(shù)據(jù)條件下的擬合優(yōu)度檢驗,由于數(shù)據(jù)量較少,可能多種分布同時通過檢驗,且沒有綜合考慮模型的物理背景,效果不明顯,所以小樣本條件下的壽命分布需要綜合考慮選擇最佳的分布函數(shù)和分布的特性。

本文對常用的幾種壽命分布進行極小χ2估計和擬合優(yōu)度檢驗的基礎(chǔ)上,綜合各分布的物理背景及專家經(jīng)驗信息等,對通過檢驗的分布進行模糊綜合評價確定最佳的裝備貯存壽命分布模型。

1　可靠性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

隨著貯存時間的增加,受貯存環(huán)境的影響,裝備可靠性逐漸降低。統(tǒng)計從服役開始到時刻ti時間段內(nèi)某型裝備的總數(shù)ni中未失效的數(shù)量為si,統(tǒng)計的可靠性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為

(ni,si,ti),i=1,2,…,k

(1)

設(shè)該型裝備的貯存壽命為T,則T的壽命分布函數(shù)為

F(t)=P(T≤t)=1-R(t)

(2)

式中,R(t)為貯存可靠度。

檢測統(tǒng)計結(jié)果中未失效數(shù)據(jù)si可以看作是一個服從B(ni,pi)的二項分布的樣本,且pi=R(ti),則可以用ti時刻pi的極大似然估計對R(ti)進行估計,即

(3)

2　極小χ2估計與擬合優(yōu)度檢驗

2.1　常見的壽命分布類型

假設(shè)H0:F∈Ρ0,Ρ0={F(·;θ),θ∈Θ}是分布族,Θ為參數(shù)空間,根據(jù)裝備貯存可靠性的相關(guān)研究,常見的裝備壽命分布為:

1)指數(shù)分布:

{F(t;λ)=1-e-λt,λ∈R}

2)威布爾分布:

{F(t)=1-exp(-αtβ),α,β∈R}

3)對數(shù)正態(tài)分布:

2.2　構(gòu)造χ2統(tǒng)計量

設(shè)裝備的壽命分布為F(t,θ),設(shè)pi(θ)=1-F(ti,θ),i=1,2,…,k,基于統(tǒng)計數(shù)據(jù)si～B(ni,pi),則

(4)

當(dāng)ni→∞時,根據(jù)中心極限定理得:

(5)

對式(5)兩邊取平方,將式(3)代入可得:

(6)

令

(7)

當(dāng)ni→∞時,χ2(θ)統(tǒng)計量的漸近分布是自由度為k的χ2分布。

2.3　參數(shù)估計

(8)

2.4　擬合優(yōu)度檢驗

利用極小χ2估計的參數(shù)估計結(jié)果分別對上述分布函數(shù)進行擬合優(yōu)度檢驗,設(shè)各個分布的待估參數(shù)數(shù)量為m,則對于各個分布的χ2統(tǒng)計量的漸近分布的自由度為k-m。

擬合優(yōu)度p為

(9)

擬合優(yōu)度p值衡量假定分布與統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)的擬合程度,p值越大,擬合程度越好,所以可以通過各個分布p值來確定壽命分布。但由于壽命數(shù)據(jù)樣本量較小,可能會造成幾種分布的p值相近,所以需要利用模糊Bayes方法進行綜合評價,確定最佳的壽命分布函數(shù)。

3　模糊貝葉斯方法確定壽命分布

3.1　Bayes方法

Bayes方法能夠綜合利用歷史信息和樣本數(shù)據(jù)確定裝備的壽命分布。對于連續(xù)性隨機變量,Bayes定理可表示為

(10)

式中,h(θ|x)為后驗分布密度函數(shù);π(θ)為先驗分布密度函數(shù);p(x|θ)為條件分布密度函數(shù)。

模糊Bayes方法的先驗分布采用二級模糊評價,將影響參數(shù)的各個因素劃分為若干等級,按等級進行一級模糊綜合評價,再按因素集進行二級評價,得到先驗分布評價結(jié)果進而可以計算得到各分布的后驗分布。

3.2　先驗分布的模糊綜合評價

模糊綜合評價是根據(jù)評價對象和評價目標(biāo)要求建立模糊矩陣,通過各種判斷,由最佳隸屬度原則得到可靠結(jié)論的一種評價方法[10]。

模糊綜合評價的步驟為:

1)確定備擇集

設(shè)擬合優(yōu)度檢驗中通過檢驗的分布有k個分布通過檢驗,p值較大且相近。用Mk(k=1,2,…,m)表示分布函數(shù)模型,則備擇集V可由Mk組成:

V=(M1,M2,…,Mm)

(11)

2)確定因素集和評判集

綜合考慮專家經(jīng)驗及統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析影響裝備壽命分布確定的因素建立因素集U={u1,u2,u3},其中u1代表壽命分布函數(shù)的物理背景與該型裝備壽命數(shù)據(jù)物理機制的相符程度;u2代表相似裝備壽命分布函數(shù)的選取經(jīng)驗;u3代表分布函數(shù)模型使用的方便程度。不同因素又有不同的評判等級,從而建立評判集uij={ui1,ui2,…uin},其中uij為第i個因素的第j個評價。

3)確定評判矩陣

設(shè)評判對象按第i個因素的第j個uij評價,備擇集中第k個元素的隸屬度為rijk,則評判矩陣為

(12)

4)確定評判權(quán)重集

評判權(quán)重集為

(13)

則第i個因素的評判權(quán)重集為

Wi=(Wi1,Wi2,…Win)

(14)

5)確定一級模糊評判矩陣

第i個因素的一級模糊評判矩陣為

Ai=Wi°Ri=(ai1,ai2,…,aim)

(15)

由此可得,一級評判矩陣為

(16)

6)確定二級模糊評判

設(shè)因素權(quán)重集為W=(W1,W2,W3),由此可得

B=W·A=(b1,b2,…,bm)

(17)

則該型裝備各個壽命分布函數(shù)的先驗概率為:

P(Mk)=bk,(k=1,2,…,m)

(18)

3.3　壽命分布的確定

根據(jù)統(tǒng)計壽命數(shù)據(jù)和模糊綜合評價所得先驗分布,由Bayes定理得

(19)

令P(M)=max{P(Mk|T)},(k=1,2,…,m),則相應(yīng)的Mk為最佳的壽命分布函數(shù)模型。

4　實例計算與分析

4.1　裝備壽命數(shù)據(jù)

某型裝備處于自然貯存環(huán)境下的壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。

表1　某型裝備貯存壽命數(shù)據(jù)

4.2　極小χ2估計擬合方法確定先驗分布

利用極小卡方估計擬合方法計算3種壽命分布的參數(shù)估計和擬合優(yōu)度值如表2所示。

從表2中可以看出,威布爾分布和對數(shù)正態(tài)分布均通過檢驗,且擬合優(yōu)度值相等,從數(shù)學(xué)角度分析均可作為該型裝備的壽命分布,所以將兩者作為先驗分布進行模糊綜合評價確定最佳的壽命分布函數(shù)。

表2　極小卡方估計擬合方法計算結(jié)果

4.3　模糊貝葉斯方法確定壽命分布

根據(jù)極小卡方估計擬合方法確定的威布爾分布和對數(shù)正態(tài)分布作為備擇集:

V={威布爾分布M1,對數(shù)正態(tài)分布M2}。

建立因素集和評判集如表3所示。

表3　模糊因素集和評判集

由表3評判集及兩種分布的特性、物理背景等可得評判矩陣為

確定評判權(quán)重集為

W1=(0.5,0.3,0.2);
W2=(0.3,0.4,0.3);
W3=(0.3,0.5,0.2)；

從而可以計算一級評判矩陣為

因素權(quán)重集取W=(0.4,0.3,0.3),從而可以計算二級模糊評判矩陣為

B=(0.14,0.09)。

P(T|M1)=0.4896,P(T|M2)=0.4866，

由此可得

P(M1|T)=0.61,P(M2|T)=0.39。

所以該型裝備的壽命服從威布爾分布,分布函數(shù)為

F(t)=1-exp(-0.0012t1.7538)。

5　結(jié)束語

針對長期處于貯存狀態(tài)的裝備小樣本條件下壽命數(shù)據(jù)的特點,提出在極小χ2估計和擬合優(yōu)度檢驗的基礎(chǔ)上,利用模糊Bayes方法對先驗分布進行模糊綜合評價進而計算得到各壽命分布的后驗概率,確定該型裝備的最佳壽命分布函數(shù)模型。該方法利于程序化,且綜合考慮各分布的物理背景、裝備失效機理等信息,更能真實合理地反映裝備可靠性變化規(guī)律,具有較好的工程實用價值。